Corrigé du brevet blanc de maths 2025 n° 2

L’énoncé de cette épreuve est sur la page Brevet blanc de maths 2025 avec sujet et corrigé n°2. : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Six questions indépendantes – 21 points

1. On donne cinq nombres décomposés en produits de facteurs premiers et l’on cherche ceux qui sont divisibles par 21.

Nombre 1	Nombre 2	Nombre 3	Nombre 4	Nombre 5
\(2^2\times 11\times 23\)	\(2^4\times 3^4\times 11\)	\(7^3\times 13\times 17\)	\(2\times 3\times 5\times 7\)	\(2^3\times 3^2\times 7\)

Comme \(21=3\times 7\) avec 3 et 7 premiers, un nombre est divisible par 21 si et seulement si sa décomposition contient à la fois le facteur 3 et le facteur 7.

• Nombre 1 : ni 3 ni 7, il n’est pas divisible par 21.
• Nombre 2 : le facteur 3 est présent, mais pas le facteur 7 : non divisible.
• Nombre 3 : le facteur 7 est présent, mais pas le facteur 3 : non divisible.
• Nombre 4 : \(2\times 3\times 5\times 7=(2\times 5)\times (3\times 7)=10\times 21\), il est divisible par 21.
• Nombre 5 : \(2^3\times 3^2\times 7=(2^3\times 3)\times (3\times 7)=24\times 21\), il est divisible par 21.

Seuls les nombres 4 et 5 sont divisibles par 21.

2. Écriture scientifique de \(0{,}000\,002\,76\) : on place la virgule après le premier chiffre non nul, ce qui revient à la décaler de 6 rangs vers la droite.

\[0{,}000\,002\,76=\mathbf{2{,}76\times 10^{-6}}\]

3. La comète Hale-Bopp a atteint la vitesse de 2 640 km/min. Il faut exprimer cette vitesse en m/s.

Une minute dure 60 secondes, donc en une seconde la comète parcourt 60 fois moins de distance :

\[\frac{2\,640}{60}=44 \text{ km/s}.\]

Comme 1 km = 1 000 m : \(44\times 1\,000=44\,000\). La vitesse est donc de 44 000 m/s.

4. On résout l’équation \((2x-7)(3x+1)=0\).

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :

• \(2x-7=0\) équivaut à \(2x=7\), soit \(x=\dfrac{7}{2}\) ;
• \(3x+1=0\) équivaut à \(3x=-1\), soit \(x=-\dfrac{1}{3}\).

L’équation admet deux solutions : \(\dfrac{7}{2}\) et \(-\dfrac{1}{3}\).

5. La fonction \(f\) est définie par \(f(x)=5x^2+2\). On calcule l’image de \(-3\) :

\[f(-3)=5\times (-3)^2+2=5\times 9+2=45+2=47.\]

L’image de \(-3\) par \(f\) est 47. (Attention : \((-3)^2=9\), et non \(-9\).)

6. Sur la figure ci-dessous (qui n’est pas à l’échelle), les points A, E, C sont alignés, les points B, D, C sont alignés, les droites (AB) et (ED) sont parallèles, avec AB = 5 cm, BD = 1 cm et CD = 3 cm. On cherche la longueur DE.

Les droites (AE) et (BD) sont sécantes en C, et les droites (ED) et (AB) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès dans les triangles CDE et CBA :

\[\frac{CD}{CB}=\frac{CE}{CA}=\frac{DE}{BA}.\]

Le point D appartient au segment [BC], donc \(CB=CD+DB=3+1=4\) cm. On utilise l’égalité \(\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{DE}{BA}\) :

\[\frac{3}{4}=\frac{DE}{5}\quad\text{donc}\quad DE=\frac{3\times 5}{4}=\frac{15}{4}=3{,}75.\]

Le segment [DE] mesure 3,75 cm.

Exercice 2 :

Tableur, statistiques et probabilités – 20 points

Une feuille de calcul donne les températures maximales Tmax (en °C) relevées à Strasbourg le 25 juin de chaque année, de 2010 à 2018 (source : meteociel.fr).

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
1	Année	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018
2	Tmax	29	23,1	22,6	17,4	23,4	25,7	25,2	26	24
4	Moyenne
5	Médiane	24
6	Étendue	11,6

1. Formule à saisir dans la cellule B4 pour calculer la moyenne de la série. Les neuf températures occupent les cellules B2 à J2, on les additionne puis on divise par 9 :

=SOMME(B2:J2)/9

(La formule =MOYENNE(B2:J2) convient aussi.)

2. Valeur approchée de la moyenne au degré près :

\[\frac{29+23{,}1+22{,}6+17{,}4+23{,}4+25{,}7+25{,}2+26+24}{9}=\frac{216{,}4}{9}\approx 24{,}04.\]

La température moyenne est d’environ 24 °C (au degré près).

3. Interprétation de la médiane, égale à 24 °C : en rangeant les neuf températures dans l’ordre croissant, la 5^e valeur est 24. Cela signifie qu’au moins la moitié des années de la série ont eu une température maximale inférieure ou égale à 24 °C le 25 juin, et au moins la moitié une température supérieure ou égale à 24 °C.

4. On ajoute l’année 2019 à la série : la nouvelle série (2010 à 2019) a une étendue de 18,5 °C. On cherche la température du 25 juin 2019.

L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. Avec seulement les années 2010 à 2018, elle vaut \(29-17{,}4=11{,}6\) °C. Comme l’étendue passe à 18,5 °C, la valeur de 2019 est forcément une nouvelle valeur extrême :

• si 2019 est la nouvelle valeur maximale, la plus petite reste 17,4 °C et la température de 2019 vaut \(17{,}4+18{,}5=35{,}9\) °C ;
• si 2019 était la nouvelle valeur minimale, elle vaudrait \(29-18{,}5=10{,}5\) °C, une valeur tout à fait improbable pour un après-midi de fin juin.

La réponse attendue est donc : le 25 juin 2019, il a fait 35,9 °C à Strasbourg (c’était d’ailleurs le début de la canicule de juin 2019).

Les questions suivantes portent de nouveau sur la série de 2010 à 2018.

5. On écrit chaque température sur une fiche (9 fiches) et on tire une fiche au hasard ; toutes les fiches ont la même probabilité d’être tirées. On range d’abord les températures dans l’ordre croissant :

17,4

22,6

23,1

23,4

24

25,2

25,7

26

29

Il y a 9 issues équiprobables : la probabilité d’un événement est le nombre de fiches favorables divisé par 9.

a. Probabilité que la température écrite soit 26 °C : une seule fiche porte 26, donc \(p=\dfrac{1}{9}\). La probabilité vaut \(\dfrac{1}{9}\).

b. Probabilité que la température soit inférieure ou égale à 24 °C : les fiches 17,4 ; 22,6 ; 23,1 ; 23,4 et 24 conviennent, soit 5 fiches. La probabilité vaut \(\dfrac{5}{9}\).

c. A-t-on plus de 40 % de chances de tirer une fiche où la température dépasse 25 °C ? Les fiches 25,2 ; 25,7 ; 26 et 29 conviennent, soit 4 fiches :

\[p=\frac{4}{9}\approx 0{,}444=44{,}4\ \%.\]

Comme \(44{,}4\ \%\gt 40\ \%\), l’affirmation est vraie : on a bien plus de 40 % de chances de tirer une température supérieure à 25 °C.

Exercice 3 :

Trigonométrie, Pythagore, agrandissement – 17 points

Sur la figure (qui n’est pas à l’échelle), le triangle ONM est rectangle en N, le triangle OPQ est rectangle en P et le triangle ORS est rectangle en R. On sait que ON = 6 cm et \(\widehat{MON}=32^\circ\) ; P est un point du segment [OM] et R un point du segment [OQ].

1. Calcul de MN arrondi au dixième. Dans le triangle OMN rectangle en N, [MN] est le côté opposé à l’angle \(\widehat{MON}\) et [ON] le côté adjacent :

\[\tan(\widehat{MON})=\frac{MN}{ON}\quad\text{donc}\quad MN=ON\times \tan(32^\circ)=6\times \tan(32^\circ)\approx 3{,}749.\]

MN mesure environ 3,7 cm.

2. On donne PQ = 2,5 cm et OQ = 6,5 cm ; on calcule OP. Le triangle OPQ est rectangle en P, d’hypoténuse [OQ]. D’après le théorème de Pythagore :

\[OP^2+PQ^2=OQ^2\quad\text{donc}\quad OP^2=OQ^2-PQ^2=6{,}5^2-2{,}5^2=42{,}25-6{,}25=36.\]

OP étant une longueur positive, \(OP=\sqrt{36}=6\). OP = 6 cm.

3. Les triangles ONM et OPQ sont-ils égaux (superposables) ? Ce sont deux triangles rectangles qui ont un côté de l’angle droit de même longueur : ON = OP = 6 cm. En revanche, leurs autres côtés de l’angle droit sont différents : \(MN\approx 3{,}7\) cm alors que PQ = 2,5 cm. (On peut aussi comparer les hypoténuses : \(OM=\dfrac{6}{\cos(32^\circ)}\approx 7{,}1\) cm, contre OQ = 6,5 cm.)

Les triangles ONM et OPQ ne sont donc pas égaux.

4. Le triangle OPQ est un agrandissement du triangle ORS, et OS = 3,25 cm. On cherche l’aire du triangle ORS.

Les hypoténuses se correspondent : [OQ] dans OPQ et [OS] dans ORS. Le coefficient d’agrandissement vaut

\[k=\frac{OQ}{OS}=\frac{6{,}5}{3{,}25}=2.\]

Dans un agrandissement de rapport \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2\), ici par \(2^2=4\). L’aire du triangle OPQ, rectangle en P, vaut

\[\mathcal{A}_{OPQ}=\frac{OP\times PQ}{2}=\frac{6\times 2{,}5}{2}=7{,}5 \text{ cm}^2.\]

L’aire de ORS est donc 4 fois plus petite :

\[\mathcal{A}_{ORS}=\frac{7{,}5}{4}=1{,}875 \text{ cm}^2.\]

L’aire du triangle ORS est 1,875 cm².

Exercice 4 :

Pentagone régulier et programmation Scratch – 19 points

1. DEFGH est un pentagone régulier dont tous les angles mesurent 108°, et le point E appartient à la demi-droite [Dy). On cherche la mesure de l’angle \(\widehat{FEy}\).

Les points D, E et y sont alignés dans cet ordre, donc les angles \(\widehat{DEF}\) et \(\widehat{FEy}\) sont supplémentaires :

\[\widehat{DEF}+\widehat{FEy}=180^\circ\quad\text{donc}\quad\widehat{FEy}=180^\circ-108^\circ=72^\circ.\]

L’angle \(\widehat{FEy}\) mesure 72°.

2. a. Il faut compléter les lignes 3 et 5 du bloc « pentagone » pour qu’il trace un pentagone régulier. Le lutin doit tracer 5 côtés, et après chaque côté il tourne de l’angle extérieur calculé à la question 1, soit 72°. Le bloc complété est :

1  définir pentagone
2  stylo en position d'écriture
3  répéter 5 fois
4      avancer de (longueur) pas
5      tourner ↺ de 72 degrés
6  relever le stylo

Ligne 3 : répéter 5 fois ; ligne 5 : tourner de 72 degrés. (Tourner de 108° serait une erreur classique : le lutin tourne de l’angle extérieur, pas de l’angle intérieur.)

2. b. Camille, Lou et Zoé ont chacun écrit un programme qui trace un pentagone puis son image par une translation, une symétrie centrale ou une rotation. Les trois programmes commencent de la même façon (effacer tout, aller à x : 0 y : 0, s’orienter à 90, mettre longueur à 60, pentagone) et ne diffèrent que par la ligne 7 :

• Camille : « avancer de 120 pas » puis pentagone ;
• Lou : « tourner ↻ de 60 degrés » puis pentagone ;
• Zoé : « tourner ↻ de 180 degrés » puis pentagone.

Il faut associer chaque élève à sa copie d’écran et à la transformation utilisée.

• Chez Camille, le lutin se déplace de 120 pas vers la droite sans changer d’orientation : le second pentagone est le premier glissé horizontalement, c’est une translation. Les deux pentagones sont côte à côte, sans se toucher (120 pas est plus grand que la largeur du pentagone) : c’est la copie d’écran 3.
• Chez Lou, le lutin reste au même point mais tourne de 60° : le second pentagone est l’image du premier par une rotation de centre l’origine et d’angle 60°. Les deux figures se chevauchent : c’est la copie d’écran 1.
• Chez Zoé, le lutin fait un demi-tour sur place : une rotation de 180° est une symétrie centrale de centre l’origine. Les deux pentagones n’ont qu’un sommet en commun et sont « tête-bêche » : c’est la copie d’écran 2.

Nom de l’élève	Numéro de la copie d’écran	Nom de la transformation
Camille	3	translation
Lou	1	rotation
Zoé	2	symétrie centrale

2. c. Sofia veut illustrer l’effet d’une homothétie sur un pentagone. On dispose de huit instructions et il faut indiquer leur ordre dans son programme.

Le programme commence par l’événement de départ, puis on initialise l’écran, la position, l’orientation et la longueur ; on trace un premier pentagone, on multiplie la longueur par 1,5 (homothétie de rapport 1,5), et on trace un second pentagone.

Instruction	Ordre d’apparition
effacer tout	2e
s’orienter à 90	4e
pentagone	6e
Quand le drapeau vert est cliqué	1re
mettre longueur à 60	5e
aller à x : 0 y : 0	3e
pentagone	8e
mettre longueur à (longueur * 1.5)	7e

Ce qui donne le programme de Sofia :

quand le drapeau vert est cliqué
effacer tout
aller à x : 0 y : 0
s'orienter à 90
mettre longueur à 60
pentagone
mettre longueur à (longueur * 1.5)
pentagone

Le second pentagone a des côtés de \(60\times 1{,}5=90\) pas : c’est un agrandissement de rapport 1,5 du premier, tracé à partir du même sommet (l’origine), qui joue le rôle de centre de l’homothétie.