Corrigé du sujet
Partie 1 — Automatismes :
Question 1
0,75 se lit « 75 centièmes », donc \(0{,}75 = \dfrac{75}{100}\). En simplifiant par 25, on obtient \(\dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4}\). N’importe quelle fraction égale convient : \(0{,}75 = \dfrac{3}{4}\).
Question 2
On ajoute deux nombres de signes contraires : on fait la différence des distances à zéro, \(4{,}7 – 3{,}5 = 1{,}2\), et on garde le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro, ici \(-4{,}7\). Donc \(-4{,}7 + 3{,}5 = -1{,}2\).
Question 3
Dans la première colonne, on passe de 6 à 12 en multipliant par 2. Le tableau étant proportionnel, on fait de même dans la deuxième colonne : \(a = 18 \times 2\), soit \(a = 36\). (On peut aussi remarquer que \(18 = 3 \times 6\), donc \(a = 3 \times 12 = 36\).)
Question 4
Le sac contient \(10 + 4 + 6 = 20\) boules, toutes équiprobables, dont 4 sont bleues. La probabilité cherchée est donc \(\dfrac{4}{20}\) : réponse B. (Attention, la réponse A \(\dfrac{1}{4}\) est fausse car \(\dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}\).)
Question 5
On isole \(x\) : on retire 16 aux deux membres, ce qui donne \(10x = -64 – 16 = -80\), puis on divise par 10 : \(x = -8\). Vérification : \(10 \times (-8) + 16 = -80 + 16 = -64\). Réponse C.
Question 6
La notation scientifique s’écrit \(a \times 10^{n}\) avec \(1 \leq\, a \lt 10\). Pour passer de 0,004 58 à 4,58, on déplace la virgule de 3 rangs vers la droite, donc on compense par \(10^{-3}\) : \(0{,}004\,58 = 4{,}58 \times 10^{-3}\). Réponse C (les réponses A et D sont égales au bon nombre mais 458 n’est pas compris entre 1 et 10).
Question 7
Le secteur de la réponse B est marqué d’un angle droit : il mesure 90°, c’est-à-dire \(\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}\) du disque. Il représente donc le quart des élèves : \(\dfrac{1}{4} \times 24 = 6\). 6 élèves ont choisi la réponse B.
Question 8
La figure est un rectangle de longueur 10 mm et de largeur 5 mm. Son périmètre vaut \(2 \times (10 + 5) = 30\) mm. Un périmètre est une longueur, il s’exprime en mm et non en mm² : réponse A.
Question 9
Dans le triangle DEF rectangle en E, l’hypoténuse est [DF] et le côté adjacent à l’angle \(\widehat{\text{EDF}}\) est [DE]. Donc \(\cos \widehat{\text{EDF}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{DF}} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}\). Réponse B.
Exercice 1 :
1. On lit dans la ligne « Pays-Bas », colonne « Or » : les Pays-Bas ont obtenu 27 médailles d’or.
2. Le total de l’Australie est 63 médailles, dont 17 en argent et 28 en bronze. Le nombre de médailles d’or est donc \(63 – 17 – 28 = 18\) : l’Australie a obtenu 18 médailles d’or.
3. La Grande-Bretagne a gagné 124 médailles au total, dont 31 en bronze. La proportion de médailles de bronze est :
\[\dfrac{31}{124} = 0{,}25 = \dfrac{25}{100}\]
Les médailles de bronze représentent donc 25 % des médailles britanniques. Comme \(25 \gt 20\), l’affirmation est vraie.
4. a. On range d’abord les 9 totaux dans l’ordre croissant :
\[56 \ ; \ 63 \ ; \ 71 \ ; \ 75 \ ; \ \mathbf{82} \ ; \ 89 \ ; \ 105 \ ; \ 124 \ ; \ 220\]
L’effectif est 9, un nombre impair. La médiane est la valeur du milieu, c’est-à-dire la 5e valeur, car il y a 4 valeurs avant elle et 4 valeurs après. La médiane de la série est 82 médailles.
b. Interprétation : au moins la moitié de ces 9 pays ont obtenu 82 médailles ou moins, et au moins la moitié en ont obtenu 82 ou plus.
5. Le nombre de médailles d’argent du Brésil passe de 20 à 26, soit une hausse de \(26 – 20 = 6\) médailles. On rapporte cette hausse à la valeur de départ :
\[\dfrac{6}{20} = 0{,}30 = \dfrac{30}{100}\]
On peut aussi utiliser le coefficient multiplicateur : \(\dfrac{26}{20} = 1{,}3 = 1 + \dfrac{30}{100}\). Le nombre de médailles d’argent du Brésil a augmenté de 30 %.
Exercice 2 :
1. Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [BC]. On calcule séparément :
\[\text{BC}^2 = 8^2 = 64\]
\[\text{AB}^2 + \text{AC}^2 = 6{,}4^2 + 4{,}8^2 = 40{,}96 + 23{,}04 = 64\]
On constate que \(\text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
2. Les droites (BD) et (CE) sont sécantes en A, les points B, A, D d’une part et C, A, E d’autre part sont alignés, et les droites (BC) et (DE) sont parallèles. On est dans la configuration « papillon » du théorème de Thalès, qui donne :
\[\dfrac{\text{AD}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AE}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{BC}}\]
On remplace par les longueurs connues : \(\dfrac{4{,}8}{6{,}4} = \dfrac{\text{AE}}{4{,}8} = \dfrac{\text{DE}}{8}\). Le rapport \(\dfrac{4{,}8}{6{,}4}\) vaut \(0{,}75\).
\[\text{DE} = 8 \times 0{,}75 = 6 \qquad \text{AE} = 4{,}8 \times 0{,}75 = 3{,}6\]
On a bien \(\text{DE} = 6\ \text{cm}\) et \(\text{AE} = 3{,}6\ \text{cm}\).
3. Les droites (BC) et (DE) sont parallèles et la droite (BD) les coupe. Les angles \(\widehat{\text{ABC}}\) (en B) et \(\widehat{\text{ADE}}\) (en D) sont situés de part et d’autre de la sécante (BD) et à l’intérieur de la bande formée par les deux parallèles : ce sont des angles alternes-internes. Or, lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-internes qu’elles forment sont égaux. Donc \(\widehat{\text{ABC}} = \widehat{\text{ADE}}\).
4. Comparons les angles des deux triangles :
- \(\widehat{\text{ABC}} = \widehat{\text{ADE}}\) d’après la question 3 ;
- \(\widehat{\text{BAC}} = \widehat{\text{DAE}} = 90°\) : ce sont des angles opposés par le sommet A, et \(\widehat{\text{BAC}}\) est droit d’après la question 1 ;
- la somme des angles d’un triangle vaut 180°, donc le troisième angle est aussi le même : \(\widehat{\text{ACB}} = 180° – 90° – \widehat{\text{ABC}} = 180° – 90° – \widehat{\text{ADE}} = \widehat{\text{AED}}\).
Les triangles ABC et ADE ont leurs trois angles égaux deux à deux : ils sont semblables. On peut le confirmer avec les longueurs : \(\dfrac{\text{AD}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AE}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{BC}} = 0{,}75\), les côtés sont proportionnels.
5. Les diagonales [BD] et [CE] du quadrilatère se coupent en A et sont perpendiculaires (question 1). Le quadrilatère BCDE se découpe donc en quatre triangles rectangles en A : ABC, ACD, ADE et AEB. L’aire d’un triangle rectangle est la moitié du produit des deux côtés de l’angle droit.
- \(\mathcal{A}_{\text{ABC}} = \dfrac{6{,}4 \times 4{,}8}{2} = 15{,}36\ \text{cm}^2\)
- \(\mathcal{A}_{\text{ACD}} = \dfrac{4{,}8 \times 4{,}8}{2} = 11{,}52\ \text{cm}^2\)
- \(\mathcal{A}_{\text{ADE}} = \dfrac{4{,}8 \times 3{,}6}{2} = 8{,}64\ \text{cm}^2\)
- \(\mathcal{A}_{\text{AEB}} = \dfrac{3{,}6 \times 6{,}4}{2} = 11{,}52\ \text{cm}^2\)
\[\mathcal{A}_{\text{BCDE}} = 15{,}36 + 11{,}52 + 8{,}64 + 11{,}52 = 47{,}04\ \text{cm}^2\]
Autre méthode plus rapide : un quadrilatère à diagonales perpendiculaires a pour aire la moitié du produit de ses diagonales. Ici \(\text{BD} = 6{,}4 + 4{,}8 = 11{,}2\) cm et \(\text{CE} = 4{,}8 + 3{,}6 = 8{,}4\) cm, d’où \(\dfrac{11{,}2 \times 8{,}4}{2} = 47{,}04\). L’aire du quadrilatère BCDE est 47,04 cm².
Exercice 3 :
Partie A
1. On place 3,6 sur l’axe des abscisses (rayon), on monte verticalement jusqu’à la courbe, puis on se déplace horizontalement jusqu’à l’axe des ordonnées. On lit une valeur d’environ 200 : l’image de 3,6 est environ 200, c’est-à-dire qu’une boule de rayon 3,6 cm a un volume proche de 200 cm³ (le calcul exact donne environ 195 cm³, ce qui confirme la lecture).
2. Cette fois on part de 660 sur l’axe des ordonnées, on trace l’horizontale jusqu’à la courbe, puis on redescend verticalement sur l’axe des abscisses. On lit environ 5,4 : une boule de volume 660 cm³ a un rayon d’environ 5,4 cm (on cherche ici un antécédent de 660).
Partie B
1. On applique la formule avec \(R = 2{,}5\) cm :
\[V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 2{,}5^{3} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 15{,}625 \approx 65{,}45\ \text{cm}^3\]
Arrondi à l’unité, le volume d’une boule est bien 65 cm³.
2. On cherche combien de fois 65 cm³ « rentre » dans 1 000 cm³ :
\[\dfrac{1\,000}{65} \approx 15{,}4\]
Avec la valeur plus précise \(65{,}45\), on trouve environ 15,3. Dans les deux cas, 15 boules utilisent moins de 1 000 cm³ (\(15 \times 65{,}45 \approx 982\) cm³), mais une 16e boule demanderait environ 1 047 cm³, ce qui dépasse la bobine. On peut fabriquer au maximum 15 boules.
3. Une masse volumique de 0,9 g/cm³ signifie que chaque cm³ de plastique pèse 0,9 g. La masse est proportionnelle au volume :
\[m = 0{,}9 \times 65{,}45 \approx 58{,}9\ \text{g}\]
En utilisant la valeur arrondie 65 cm³, on obtient \(0{,}9 \times 65 = 58{,}5\) g. Une boule pèse environ 59 g.
Exercice 4 :
1. Pour faire 16 sachets identiques en utilisant tous les bonbons, il faut que 112 et 140 soient tous les deux divisibles par 16. Or \(112 = 16 \times 7\), mais \(140 = 16 \times 8 + 12\) : 140 n’est pas divisible par 16 (\(140 : 16 = 8{,}75\)). On ne peut pas constituer 16 sachets.
2. On divise 140 successivement par les plus petits nombres premiers possibles :
\[140 = 2 \times 70 = 2 \times 2 \times 35 = 2 \times 2 \times 5 \times 7\]
Les facteurs 2, 5 et 7 sont premiers, donc \(140 = 2^{2} \times 5 \times 7\).
3. Le nombre de sachets doit diviser à la fois 112 et 140. Le nombre maximal de sachets est donc le plus grand diviseur commun de 112 et 140. On le lit dans les décompositions en prenant les facteurs premiers communs, chacun avec le plus petit exposant :
\[112 = 2^{4} \times 7 \qquad 140 = 2^{2} \times 5 \times 7\]
Les facteurs communs sont \(2^{2}\) et 7, donc le plus grand diviseur commun est \(2^{2} \times 7 = 28\). On pourra constituer au maximum 28 sachets.
Composition de chaque sachet : \(112 : 28 = 4\) et \(140 : 28 = 5\). Chaque sachet contiendra 4 bonbons à la fraise et 5 bonbons au caramel.
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