Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Affirmation 1 : fausse. Le calcul \(4 \times 5 \times 13 = 260\) est juste, mais 4 n’est pas un nombre premier puisqu’il est divisible par 2 (\(4 = 2 \times 2\)). Une décomposition en produit de facteurs premiers ne doit contenir que des nombres premiers. La bonne décomposition est \(260 = 2^2 \times 5 \times 13\).
Affirmation 2 : fausse. Dans chaque urne, les boules sont indiscernables au toucher, donc tous les tirages sont équiprobables.
Première urne : elle contient \(3 + 4 + 8 = 15\) boules dont 8 rouges, donc \(P(\text{rouge}) = \dfrac{8}{15}\).
Seconde urne : elle contient \(1 + 1 + 3 = 5\) boules dont 3 marquées C, donc \(P(\text{C}) = \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{15}\).
Comme \(\dfrac{8}{15} \lt \dfrac{9}{15}\), la probabilité d’obtenir une boule rouge est inférieure à celle d’obtenir une boule marquée C : l’affirmation est fausse.
Affirmation 3 : vraie. On isole \(x\) :
\[ 7x + 5 = 2x – 2 \iff 7x – 2x = -2 – 5 \iff 5x = -7 \iff x = \dfrac{-7}{5} = -1{,}4 \]
On peut vérifier : \(7 \times (-1{,}4) + 5 = -9{,}8 + 5 = -4{,}8\) et \(2 \times (-1{,}4) – 2 = -2{,}8 – 2 = -4{,}8\). Les deux membres sont égaux, donc \(-1{,}4\) est bien la solution.
Affirmation 4 : vraie. Les 10 pièces empilées forment un cylindre de rayon \(R = 1{,}9 : 2 = 0{,}95\) cm et de hauteur \(h = 10 \times 0{,}2 = 2\) cm.
\[ V = \pi \times 0{,}95^2 \times 2 = 1{,}805\,\pi \approx 5{,}67 \text{ cm}^3 \]
Arrondi à l’unité, le volume est bien de 6 cm³.
Affirmation 5 : vraie. On convertit la vitesse de l’éléphant en km/h. En 1 seconde il parcourt 5 m, donc en 1 heure, soit 3 600 secondes, il parcourt \(5 \times 3\,600 = 18\,000\) m, c’est-à-dire 18 km.
L’éléphant court donc à 18 km/h. Comme \(18 \gt 17\), l’éléphant est plus rapide que le cochon.
Exercice 2 :
1. a. Chaque passage de la moissonneuse coupe une bande de 12 m de large, mesurée sur [BC]. Après 5 passages, la largeur moissonnée à partir de B est :
\[ \text{BG} = 5 \times 12 = 60 \]
On a bien BG = 60 m.
b. Le point G appartient au segment [BC], donc \(\text{CG} = \text{BC} – \text{BG} = 150 – 60 = 90\).
On a bien CG = 90 m.
2. Les droites (GF) et (AB) sont toutes les deux perpendiculaires à (BC), donc elles sont parallèles. De plus, les points C, G, B d’une part et C, F, A d’autre part sont alignés. On peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles CGF et CBA :
\[ \dfrac{\text{CG}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{CF}}{\text{CA}} = \dfrac{\text{GF}}{\text{BA}} \]
Avec la première et la dernière fraction : \(\dfrac{90}{150} = \dfrac{\text{GF}}{200}\), donc
\[ \text{GF} = \dfrac{90 \times 200}{150} = \dfrac{18\,000}{150} = 120 \]
La longueur GF est bien de 120 m.
3. a. Le triangle CGF est rectangle en G : ses côtés de l’angle droit [CG] et [GF] servent de base et de hauteur.
\[ \mathcal{A}_{\text{CGF}} = \dfrac{\text{CG} \times \text{GF}}{2} = \dfrac{90 \times 120}{2} = \dfrac{10\,800}{2} = 5\,400 \]
L’aire du triangle CGF est bien de 5 400 m².
b. Le temps de travail est proportionnel à la surface. Pour 9 600 m², il faut 80 minutes ; on cherche le temps pour 5 400 m².
| Surface (m²) | 9 600 | 5 400 |
|---|---|---|
| Temps (min) | 80 | ? |
Par produit en croix :
\[ \dfrac{5\,400 \times 80}{9\,600} = \dfrac{432\,000}{9\,600} = 45 \]
Il faut 45 minutes pour moissonner la partie CGF.
4. La clôture fait le tour du champ : il faut calculer le périmètre du triangle ABC, donc d’abord la longueur AC.
Le triangle ABC est rectangle en B, d’hypoténuse [AC]. D’après le théorème de Pythagore :
\[ \text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 200^2 + 150^2 = 40\,000 + 22\,500 = 62\,500 \]
donc \(\text{AC} = \sqrt{62\,500} = 250\) m.
Le périmètre vaut \(200 + 150 + 250 = 600\) m. L’agriculteur doit acheter 600 m de clôture.
Exercice 3 :
1. a. La plus grande valeur du tableau est 405 kWh : la production a été la plus grande le samedi.
b. L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. La plus petite production est 322 kWh (mercredi).
\[ 405 – 322 = 83 \]
L’étendue est de 83 kWh.
c. On additionne les 7 productions puis on divise par 7 :
\[ \dfrac{381 + 363 + 322 + 329 + 393 + 405 + 376}{7} = \dfrac{2\,569}{7} = 367 \]
La production moyenne est de 367 kWh par jour.
2. Sur la semaine, la production totale est de 2 569 kWh. L’entreprise en revend 15 % :
\[ 2\,569 \times \dfrac{15}{100} = 385{,}35 \text{ kWh} \]
Chaque kWh est vendu 8 centimes , soit 0,08 € :
\[ 385{,}35 \times 0{,}08 = 30{,}828 \]
L’entreprise a gagné environ 30,83 € pendant ces 7 jours.
3. Dans le triangle OLV rectangle en V, on connaît le côté opposé à l’angle \(\widehat{\text{OLV}}\), OV = 7 m, et l’hypoténuse OL = 13,5 m. On utilise donc le sinus :
\[ \sin \widehat{\text{OLV}} = \dfrac{\text{OV}}{\text{OL}} = \dfrac{7}{13{,}5} \]
À la calculatrice (touche arcsin ou \(\sin^{-1}\)) : \(\widehat{\text{OLV}} \approx 31{,}2\)°.
Comme \(30 \lt 31{,}2 \lt 35\), la pente est dans l’intervalle recommandé : oui, sur ce toit, les panneaux solaires ont une production maximale.
Exercice 4 :
1. On remplace \(x\) par 6 :
\[ f(6) = 6^2 + 10 \times 6 + 16 = 36 + 60 + 16 = 112 \]
L’image de 6 par \(f\) est bien 112.
2. a. La cellule B2 doit calculer l’image du nombre écrit juste au-dessus, dans la cellule B1. En étirant vers la droite, B1 deviendra C1, D1… et chaque cellule calculera l’image de la valeur située au-dessus d’elle. La formule =A1*A1+10*A1+16 utiliserait la cellule A1, qui contient le texte \(x\) ; la formule avec \(-4\) écrit en dur donnerait toujours \(-8\) ; et le tableur ne connaît pas de variable \(x\).
La formule saisie est =B1*B1+10*B1+16.
b. Dans la colonne D, on lit \(f(-2) = 0\) : \(-2\) est un antécédent de 0 par \(f\).
3. a. On développe \((x+2)(x+8)\) par double distributivité :
\[ (x+2)(x+8) = x^2 + 8x + 2x + 16 = x^2 + 10x + 16 = f(x) \]
Donc \(f(x) = (x+2)(x+8)\).
b. Les antécédents de 0 sont les solutions de \(f(x) = 0\), c’est-à-dire de \((x+2)(x+8) = 0\). Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :
\(x + 2 = 0\) donne \(x = -2\) (déjà trouvé) ; \(x + 8 = 0\) donne \(x = -8\).
Vérification : \(f(-8) = 64 – 80 + 16 = 0\). Un autre antécédent de 0 est donc \(-8\).
Exercice 5 :
1. a. Construction en vraie grandeur :
- tracer le segment [BC] de 5 cm ;
- avec le compas, tracer deux arcs de rayon 5 cm centrés en B et en C : leur point d’intersection au-dessus de [BC] est A (triangle équilatéral ABC) ;
- tracer deux arcs de rayon 5 cm centrés en A et en C, du côté opposé à B : leur point d’intersection est D (triangle équilatéral ACD) ;
- relier A, B, C et D.
b. Le triangle ABC est équilatéral, donc AB = BC = CA = 5 cm. Le triangle ACD est équilatéral, donc AC = CD = DA = 5 cm. Les quatre côtés AB, BC, CD et DA du quadrilatère mesurent tous 5 cm.
Un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur est un losange : ABCD est un losange.
c. Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent 60°. Donc \(\widehat{\text{BCA}} = 60\)° (triangle ABC) et \(\widehat{\text{ACD}} = 60\)° (triangle ACD).
Le point A est à l’intérieur de l’angle \(\widehat{\text{BCD}}\), donc
\[ \widehat{\text{BCD}} = \widehat{\text{BCA}} + \widehat{\text{ACD}} = 60 + 60 = 120 \]
L’angle \(\widehat{\text{BCD}}\) mesure bien 120°.
2. Avec l’échelle, 5 cm correspondent à \(5 \times 10 = 50\) pas : tous les côtés se tracent donc en avançant de 50 pas.
Le lutin part de B en regardant vers C. Il trace [BC] (ligne 3), puis tourne à gauche de 60° (ligne 4) : c’est l’angle extérieur en C, puisque \(180 – 120 = 60\). Il trace alors [CD] (ligne 5 : 50 pas). En D, l’angle intérieur du losange vaut 60° (c’est un angle du triangle équilatéral ACD), donc il doit tourner de \(180 – 60 = 120\)° (ligne 6). La boucle recommence ensuite pour tracer [DA] et [AB].
Les lignes complétées sont :
5 avancer de (50) pas 6 tourner à gauche de (120) degrés
Le bloc complet :
1 définir Motif 2 répéter (2) fois 3 avancer de (50) pas 4 tourner à gauche de (60) degrés 5 avancer de (50) pas 6 tourner à gauche de (120) degrés
3. Après avoir tracé un motif, le lutin revient à son point de départ avec la même orientation (il a tourné en tout \(2 \times (60 + 120) = 360\)°).
Programme A : entre deux motifs, le lutin tourne seulement de 72° sur place. Les 5 losanges ont donc tous le même sommet de départ et sont tournés de 72° les uns par rapport aux autres (\(5 \times 72 = 360\)) : on obtient l’étoile de la figure 2.
Programme B : le lutin tourne de 72° puis avance de 25 pas avant le motif suivant. Les losanges ne partent plus du même point : leurs sommets de départ forment un petit pentagone, ce qui donne le moulinet de la figure 3.
Programme C : le lutin ne tourne pas, il avance seulement de 25 pas vers la droite. Les 5 losanges sont décalés horizontalement et se chevauchent : c’est la bande de la figure 1.
Le programme A permet de tracer la figure 2, le programme B la figure 3 et le programme C la figure 1.
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