Corrigé du sujet
Exercice 1 :
1. Un nombre premier n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même. 935 se termine par 5, il est divisible par 5 (\(935 = 5 \times 187\)). La somme des chiffres de 687 vaut \(6 + 8 + 7 = 21\), multiple de 3, donc 687 est divisible par 3 (\(687 = 3 \times 229\)). Pour 719, on teste les nombres premiers jusqu’à \(\sqrt{719} \approx 26{,}8\) : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 et 23 ne divisent pas 719. Réponse A : 719 est premier.
2. La figure est un rectangle de 7 cm sur 5 cm auquel on a retiré, en bas à gauche, un rectangle. Le petit côté vertical codé comme le côté de 2 cm mesure 2 cm ; le rectangle retiré mesure donc \(7 – 2 = 5\) cm de long sur 2 cm de haut. Aire : \(7 \times 5 – 5 \times 2 = 35 – 10 = 25\). Réponse C : 25 cm².
3. En développant, \(f(x) = 3(x+1) = 3x + 3\) : c’est la forme \(ax + b\) avec \(a = 3\) et \(b = 3\). La fonction \(g\) contient \(x\) au dénominateur et \(h\) contient \(x^2\) : aucune des deux n’est affine. Réponse A.
4. La vitesse moyenne est la distance divisée par la durée : \(v = \dfrac{6\,980}{9} \approx 775{,}6\) km/h, ce qui donne 800 km/h à la centaine près. Réponse B : 800 km/h.
5. Prendre 60 % d’une quantité revient à la multiplier par 0,6 : \(730 \times 0{,}6 = 438\). Réponse A : 438 filles.
Exercice 2 :
1. Le point E est sur le segment [CD] et ED = EC, donc E est le milieu de [CD] : \(\text{ED} = \dfrac{40}{2} = 20\) cm.
Le triangle BED est rectangle en E. Par rapport à l’angle \(\widehat{\text{EBD}}\), le côté [ED] est le côté opposé et [BE] le côté adjacent. On utilise donc la tangente :
\[\tan \widehat{\text{EBD}} = \dfrac{\text{ED}}{\text{BE}} \quad \text{donc} \quad \text{BE} = \dfrac{\text{ED}}{\tan 30^\circ} = \dfrac{20}{\tan 30^\circ} \approx 34{,}64\ \text{cm}\]
Arrondie au millimètre : BE ≈ 34,6 cm. (Remarque : la longueur AB = 50 cm ne sert pas dans cette question.)
2. Le cerf-volant H est à la verticale de T, donc le triangle STH est rectangle en T, d’hypoténuse [SH] = 20,50 m (la corde). D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{SH}^2 = \text{ST}^2 + \text{HT}^2 \quad \text{donc} \quad \text{HT}^2 = 20{,}5^2 – 7{,}6^2 = 420{,}25 – 57{,}76 = 362{,}49\]
\[\text{HT} = \sqrt{362{,}49} \approx 19{,}04\ \text{m}\]
Arrondie au mètre, le cerf-volant volait à environ 19 m d’altitude.
3. On convertit la vitesse du vent en km/h. 15 nœuds correspondent à \(15 \times 0{,}514 = 7{,}71\) m/s. En une heure (3 600 s), l’air parcourt \(7{,}71 \times 3\,600 = 27\,756\) m, soit 27,756 km. Le vent peut donc atteindre environ 27,8 km/h, ce qui dépasse la limite de 20 km/h. Thomas ne peut pas faire voler son cerf-volant sans risque.
Exercice 3 :
1. a. Programme A avec 2 : \(2 + 4 = 6\), puis \(6 \times 3 = 18\). On obtient bien 18.
b. Programme B avec 2 : \(2 \times 5 = 10\), puis \(10 – 3 = 7\), puis on retire le nombre de départ : \(7 – 2 = 5\). On obtient bien 5.
2. a. En partant de \(x\) : on ajoute 4, ce qui donne \(x + 4\), puis on multiplie par 3 : \(f(x) = 3(x + 4)\). En distribuant le 3 : \(f(x) = 3x + 12\).
b. On cherche \(x\) tel que \(f(x) = 27\) :
\[3x + 12 = 27 \quad \Longleftrightarrow \quad 3x = 15 \quad \Longleftrightarrow \quad x = 5\]
Vérification : \(3 \times 5 + 12 = 27\). L’antécédent de 27 par \(f\) est 5.
3. a. En partant de \(x\) : \(5x\), puis \(5x – 3\), puis on soustrait \(x\) : \(g(x) = 5x – 3 – x\), soit \(g(x) = 4x – 3\). (On retrouve \(g(2) = 8 – 3 = 5\).)
b. On résout \(g(x) = 2\) :
\[4x – 3 = 2 \quad \Longleftrightarrow \quad 4x = 5 \quad \Longleftrightarrow \quad x = \dfrac{5}{4} = 1{,}25\]
Il faut choisir 1,25 avec le programme B pour obtenir 2.
4. Hugo obtient le même résultat avec les deux programmes, donc son nombre \(x\) vérifie \(f(x) = g(x)\) :
\[3x + 12 = 4x – 3 \quad \Longleftrightarrow \quad 12 + 3 = 4x – 3x \quad \Longleftrightarrow \quad x = 15\]
Vérification : \(f(15) = 45 + 12 = 57\) et \(g(15) = 60 – 3 = 57\). Hugo a choisi 15.
Exercice 4 :
1. La boite contient \(15 + 10 + 5 = 30\) billes indiscernables au toucher : chaque bille a la même chance d’être tirée. 5 d’entre elles sont bleues, donc la probabilité est \(\dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6}\). P(bleue) = 1/6.
2. Amandine lance le dé vert, qui a 6 faces dont une seule porte le 1 : elle gagne avec une probabilité de \(\dfrac{1}{6}\). Alexis lance le dé rouge, qui a 10 faces (de 0 à 9) dont une seule porte le 1 : sa probabilité de gagner est \(\dfrac{1}{10}\). Comme \(\dfrac{1}{6} \gt \dfrac{1}{10}\), c’est Amandine qui a le plus de chances de gagner.
3. On associe chaque couleur à toutes les faces du dé correspondant : 10 issues avec la bille rouge, 6 avec la verte et 4 avec la bleue, soit 20 issues :
- (R ; 0), (R ; 1), (R ; 2), (R ; 3), (R ; 4), (R ; 5), (R ; 6), (R ; 7), (R ; 8), (R ; 9) ;
- (V ; 1), (V ; 2), (V ; 3), (V ; 4), (V ; 5), (V ; 6) ;
- (B ; 1), (B ; 2), (B ; 3), (B ; 4).
Exercice 5 :
1. Les droites (BE) et (CD) sont coupées par la sécante (AD). Les angles \(\widehat{\text{BEA}}\) et \(\widehat{\text{CDA}}\) sont situés du même côté de la sécante et « au-dessus » de chacune des deux droites : ce sont des angles correspondants. Ils ont la même mesure, 110°. Or si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants égaux, elles sont parallèles. Les droites (BE) et (CD) sont donc parallèles.
2. Les points A, E, D d’une part et A, B, C d’autre part sont alignés, et les droites (BE) et (CD) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès dans les triangles AEB et ADC :
\[\dfrac{\text{AE}}{\text{AD}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{BE}}{\text{CD}} \quad \text{soit} \quad \dfrac{6}{15} = \dfrac{4}{\text{CD}}\]
\[\text{CD} = \dfrac{4 \times 15}{6} = \dfrac{60}{6} = 10\]
CD = 10 cm.
3. Le triangle ACD est un agrandissement du triangle ABE de coefficient \(k = \dfrac{\text{AD}}{\text{AE}} = \dfrac{15}{6} = 2{,}5\). Dans un agrandissement de rapport \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2\), ici \(2{,}5^2 = 6{,}25\). Donc :
\[\mathcal{A}_{\text{ACD}} \approx 11{,}3 \times 6{,}25 = 70{,}625\ \text{cm}^2\]
Soit environ 70,6 cm² au dixième, à partir de la valeur donnée. Remarque : comme 11,3 est déjà un arrondi, le calcul exact (\(\dfrac{1}{2} \times 15 \times 10 \times \sin 110^\circ \approx 70{,}48\)) donnerait 70,5 cm² ; la réponse attendue par l’énoncé est celle obtenue par « déduction », 70,6 cm².
4. Construction sur l’annexe 1, avec la règle graduée et le rapporteur :
- tracer un segment [AD] de 15 cm et placer E sur [AD] à 6 cm de A ;
- en E, tracer avec le rapporteur une demi-droite faisant un angle \(\widehat{\text{AEB}}\) de 110° avec [EA], et placer B sur cette demi-droite à 4 cm de E ;
- tracer la demi-droite [AB) ;
- en D, du même côté de (AD), tracer une demi-droite faisant un angle \(\widehat{\text{ADC}}\) de 110° avec [DA] ; elle coupe [AB) en C ;
- contrôle : on doit mesurer CD = 10 cm (question 2), et AC ≈ 20,7 cm.
Exercice 6 :
1. Chaque script trace 3 segments de 100 pas en tournant vers la droite du même angle après chaque segment. L’angle indiqué dans « tourner » est l’angle dont le lutin change de direction, pas l’angle intérieur de la figure : l’angle entre deux segments consécutifs vaut \(180^\circ\) moins l’angle de rotation.
- Script 1 : rotation de 60°, angle entre deux segments \(180 – 60 = 120^\circ\) : trois côtés d’un hexagone régulier, la ligne brisée ouverte. Script 1 → figure C.
- Script 2 : rotation de 90°, angles droits : trois côtés d’un carré. Script 2 → figure A.
- Script 3 : rotation de 120°, angle entre deux segments \(180 – 120 = 60^\circ\) : après trois côtés, le lutin est revenu à son point de départ, c’est un triangle équilatéral. Script 3 → figure B.
2. Le script de la figure D montre le principe : on avance de 20, puis 40, puis 60, puis 80 pas, en tournant de 90° à chaque fois ; la longueur augmente donc de 20 pas à chaque segment. Sur la figure E, on compte 13 segments, chacun plus long que le précédent d’une même quantité (le plus court fait la longueur d’une « marche »). On initialise la variable longueur à 20, on répète 13 fois, on avance de la valeur de la variable longueur, puis on lui ajoute 20. Script complété :
quand le drapeau vert est cliqué
mettre longueur à 20
stylo en position d'écriture
répéter 13 fois
avancer de (longueur) pas
tourner à droite de 90 degrés
ajouter 20 à longueur
fin de la boucle
Les cases à compléter sont donc : 20 dans « mettre longueur à », 13 dans « répéter », la variable longueur dans « avancer de », et 20 à ajouter à la variable longueur.
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