Corrigé du sujet
Exercice 1 :
1. Réponse C. L’urne contient \(3+2=5\) jetons, tous ayant la même chance d’être tirés, dont 2 blancs. La probabilité de tirer un jeton blanc est donc \(\dfrac{2}{5}\) (soit 0,4).
2. Réponse B. On se place à droite du solide, dans le sens de la flèche. On voit alors, à gauche, la colonne de trois cubes (la tour et le cube qui la porte, les cubes de la rangée avant étant cachés derrière le dernier d’entre eux). À droite, on voit le cube situé derrière la rangée avant, au niveau du sol, et le cube placé en dessous de lui. Cela donne une colonne de trois carrés, un carré accolé à droite du carré du bas et un carré sous ce dernier : c’est la vue B.
3. Réponse A. Les points B, H, A d’une part et B, D, C d’autre part sont alignés, et les droites (DH) et (AC) sont parallèles : on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles BDH et BCA.
\[\dfrac{\text{BD}}{\text{BC}}=\dfrac{\text{BH}}{\text{BA}}=\dfrac{\text{DH}}{\text{AC}} \quad\text{donc}\quad \dfrac{2}{10}=\dfrac{\text{DH}}{16}.\]
On en déduit \(\text{DH}=\dfrac{2\times 16}{10}=3{,}2\), soit DH = 3,2 cm.
4. Réponse A. Les dents s’engrènent une à une : quand la petite roue tourne d’une dent, la grande tourne aussi d’une dent. En 4 tours, la petite roue fait passer \(4\times 9=36\) dents. Pour la grande roue, 36 dents correspondent à \(36: 12=3\) tours complets.
5. Réponse C. L’homothétie de centre A qui transforme le carré ADCB en carré AGFE envoie chaque sommet sur le sommet correspondant, dans l’ordre : A sur A, D sur G, C sur F et B sur E. (Les points D et G sont de part et d’autre de A et AG = 2 AD : c’est l’homothétie de centre A et de rapport \(-2\).) Le triangle EGF est donc l’image du triangle formé par les antécédents de E, G et F, c’est-à-dire B, D et C : c’est le triangle BDC.
Exercice 2 :
1. a. On remplace \(x\) par 5 dans l’expression de \(f\) :
\[f(5)=5^2-5-6=25-5-6=14.\]
L’image de 5 par la fonction \(f\) est bien 14.
b. On cherche le nombre \(x\) tel que \(g(x)=4\), c’est-à-dire \(-2x=4\). En divisant par \(-2\) : \(x=\dfrac{4}{-2}=-2\).
L’antécédent de 4 par \(g\) est \(-2\) (le tableur le confirme : colonne D, \(g(-2)=4\)).
c. À la question 1. a., on a trouvé \(f(5)=14\). Dans le tableur, la cellule B2 montre aussi que \(f(-4)=14\). Deux antécédents de 14 par \(f\) sont donc \(-4\) et 5.
d. La cellule B2 doit calculer \(f\) en utilisant la valeur de \(x\) écrite en B1. On a pu saisir :
=B1^2-B1-6
(ou =B1*B1-B1-6). Comme la référence B1 est relative (elle n’est pas figée), elle devient C1, D1, … quand on étire la formule vers la droite.
e. Oui. On cherche dans le tableur une colonne où les lignes 2 et 3 donnent le même résultat. Dans la colonne C : \(f(-3)=6\) et \(g(-3)=6\). Dans la colonne H : \(f(2)=-4\) et \(g(2)=-4\). Les nombres \(-3\) et 2 ont la même image par \(f\) et par \(g\).
Remarque : ce sont les seuls. En effet, \(f(x)=g(x)\) revient à \(x^2-x-6=-2x\), soit \(x^2+x-6=0\). Or \((x+3)(x-2)=x^2-2x+3x-6=x^2+x-6\), donc l’équation s’écrit \((x+3)(x-2)=0\), dont les solutions sont \(-3\) et 2.
2. a. On développe le produit avec la double distributivité :
\[(x+2)(x-3)=x\times x-3x+2x-6=x^2-x-6.\]
On retrouve l’expression de \(f(x)\) : pour tout nombre \(x\), \(f(x)=(x+2)(x-3)\).
b. D’après la question précédente, l’équation \(f(x)=0\) s’écrit \((x+2)(x-3)=0\). C’est une équation produit : un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.
\(x+2=0\) donne \(x=-2\), et \(x-3=0\) donne \(x=3\).
L’équation \(f(x)=0\) a deux solutions : \(-2\) et 3. (Le tableur confirme \(f(-2)=0\).)
Exercice 3 :
1. Pour comparer, on écrit toutes les probabilités sous forme décimale :
- lion : 25 % \(=\dfrac{25}{100}=0{,}25\) ;
- guépard : \(\dfrac{1}{2}=0{,}5\) ;
- tigre : \(0{,}1\) ;
- chat à pieds noirs : \(\dfrac{6}{10}=0{,}6\).
Comme \(0{,}1 \lt 0{,}25 \lt 0{,}5 \lt 0{,}6\), c’est bien le chat à pieds noirs qui a la plus grande probabilité d’attraper sa proie.
2. Temps pour 100 m. On convertit la vitesse en mètres par seconde : 115 km = 115 000 m et 1 h = 3 600 s, donc
\[v=\dfrac{115\,000\ \text{m}}{3\,600\ \text{s}}\approx 31{,}94\ \text{m/s}.\]
Le temps se calcule par \(t=\dfrac{d}{v}\) :
\[t=\dfrac{100}{\dfrac{115\,000}{3\,600}}=\dfrac{100\times 3\,600}{115\,000}=\dfrac{360\,000}{115\,000}\approx 3{,}130\ \text{s}.\]
À 115 km/h, le guépard parcourt 100 m en 3,13 secondes environ (au centième près).
Baisse du nombre de guépards. La baisse est de \(1\,200-170=1\,030\) guépards. On la rapporte à la population de départ :
\[\dfrac{1\,030}{1\,200}\approx 0{,}858 \text{, soit environ } 85{,}8\ \%.\]
Arrondi à l’unité, cela fait 86 % : oui, il est vrai que le nombre de guépards a baissé d’environ 86 %.
3. Sur la carte, la croix du parc d’Etosha se trouve sous l’équateur, à peu près sur le parallèle marqué 20° : elle est donc dans l’hémisphère Sud. Elle se trouve aussi un peu à droite du méridien 0°, à environ la moitié de l’écart entre le méridien 0° et le méridien 30° Est.
Le parc national d’Etosha est situé à environ 20° Sud de latitude et 15° Est de longitude (une lecture proche, entre 15° et 20° Sud et entre 10° et 20° Est, est acceptable).
Exercice 4 :
1. Le triangle ABC est rectangle en C, son hypoténuse est [AB]. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{AB}^2=\text{AC}^2+\text{CB}^2 \quad\text{donc}\quad \text{CB}^2=\text{AB}^2-\text{AC}^2=17^2-2{,}6^2=289-6{,}76=282{,}24.\]
Une longueur étant positive, \(\text{CB}=\sqrt{282{,}24}=16{,}8\). On a bien CB = 16,8 m.
2. Dans le triangle ABC rectangle en C, on connaît les trois côtés. Par rapport à l’angle \(\widehat{\text{ABC}}\), [AC] est le côté opposé et [CB] le côté adjacent. On utilise la tangente :
\[\tan\widehat{\text{ABC}}=\dfrac{\text{AC}}{\text{CB}}=\dfrac{2{,}6}{16{,}8}\approx 0{,}155.\]
La calculatrice (touche arctan ou \(\tan^{-1}\)) donne \(\widehat{\text{ABC}}\approx 8{,}8^\circ\). (On trouve la même valeur avec le sinus : \(\sin\widehat{\text{ABC}}=\dfrac{2{,}6}{17}\).)
Comme \(8{,}8^\circ \gt 8{,}5^\circ\), oui, il y aura un surcoût des travaux pour ce terrain.
3. La base du prisme est le triangle ACB, rectangle en C. Son aire vaut la moitié du produit des deux côtés de l’angle droit :
\[\mathcal{A}_{\text{ACB}}=\dfrac{\text{AC}\times \text{CB}}{2}=\dfrac{2{,}6\times 16{,}8}{2}=21{,}84\ \text{m}^2.\]
La hauteur du prisme est CF, égale à AD = 30 m. D’où le volume :
\[V=21{,}84\times 30=655{,}2\ \text{m}^3.\]
Il faut enlever 655,2 m³ de terre.
Exercice 5 :
1. Un losange a ses quatre côtés de même longueur : le deuxième côté doit mesurer 20 comme le premier, donc \(a=20\).
Pour l’angle : quand le lutin tourne de \(t\) degrés, l’angle intérieur de la figure à ce sommet mesure \(180^\circ-t\). Tourner de 60° après le premier côté donne un angle intérieur de \(180^\circ-60^\circ=120^\circ\). Dans un losange, deux angles consécutifs sont supplémentaires, donc l’angle intérieur suivant doit mesurer \(180^\circ-120^\circ=60^\circ\), ce qui demande de tourner de \(180^\circ-60^\circ=120^\circ\). Donc \(b=120\).
Vérification : sur les deux passages de la boucle, le lutin tourne au total de \(2\times (60+120)=360\) degrés ; il revient à son point de départ avec son orientation de départ, ce qui est nécessaire pour fermer la figure.
2. Figure 3. D’après la question 1, après chaque « Losange », le lutin revient à son point de départ avec la même orientation. Le bloc « Motif A » trace donc trois losanges de même sommet de départ, en tournant à chaque fois de 60° dans le sens des aiguilles d’une montre. Chaque losange a un angle de 60° en ce sommet : les trois losanges se retrouvent accolés, sans se chevaucher, et couvrent \(3\times 60^\circ=180^\circ\) sous la ligne horizontale de départ. C’est la figure 3. (La figure 2 demanderait six losanges, et la figure 1 correspond à des rotations d’un autre angle, avec des losanges qui se chevauchent.)
3. Les trois losanges sont identiques, orientés de la même façon et décalés horizontalement : il n’y a pas de rotation entre eux, seulement un déplacement vers la droite. Sur la figure, l’écart entre deux losanges successifs (d’un point de départ au suivant) vaut deux fois la longueur d’un côté, soit \(2\times 20=40\) pas. Comme le bloc « Losange » relève le stylo à la fin, le déplacement ne laisse pas de trace. Un script possible :
définir Motif B
répéter 3 fois
Losange
avancer de 40
fin de la répétition
Le lutin, orienté vers la droite, trace un losange, revient à son point de départ, puis avance de 40 pas stylo relevé avant de tracer le losange suivant.
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