Corrigé du sujet
Exercice 1 :
1. Construction en vraie grandeur. On commence par le plus grand côté : on trace le segment [AC] de longueur 10,4 cm. Au compas, on trace un arc de cercle de centre A et de rayon 4 cm, puis un arc de cercle de centre C et de rayon 9,6 cm : leur point d’intersection est le point B. On place ensuite K sur le segment [CB] à 3 cm de C (arc de centre C et de rayon 3 cm). Enfin, on trace la parallèle à (AB) passant par K (avec la règle et l’équerre, en faisant glisser l’équerre, ou avec la perpendiculaire à (BC) en K puisque, comme on va le voir, (AB) est perpendiculaire à (BC)) : elle coupe [AC] en L. On laisse les arcs de cercle visibles.
2. Le plus grand côté est [AC]. On calcule séparément :
\[ \text{AC}^2 = 10{,}4^2 = 108{,}16 \]
\[ \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 4^2 + 9{,}6^2 = 16 + 92{,}16 = 108{,}16 \]
On constate que \(\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B (B est le sommet opposé au plus grand côté).
3. Les points C, K, B d’une part et C, L, A d’autre part sont alignés, et les droites (KL) et (AB) sont parallèles. Le triangle CKL est donc une réduction du triangle CBA et, d’après le théorème de Thalès :
\[ \dfrac{\text{CK}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{CL}}{\text{CA}} = \dfrac{\text{KL}}{\text{BA}} \]
On utilise la première égalité : \(\dfrac{3}{9{,}6} = \dfrac{\text{CL}}{10{,}4}\), d’où, par produit en croix :
\[ \text{CL} = \dfrac{3 \times 10{,}4}{9{,}6} = \dfrac{31{,}2}{9{,}6} = 3{,}25 \]
Donc CL = 3,25 cm.
4. Le triangle ABC est rectangle en B. Pour l’angle \(\widehat{\text{CAB}}\), le côté [AB] est le côté adjacent et [AC] l’hypoténuse. On utilise donc le cosinus :
\[ \cos \widehat{\text{CAB}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}} = \dfrac{4}{10{,}4} \]
La calculatrice (touche « arccos » ou \(\cos^{-1}\)) donne \(\widehat{\text{CAB}} \approx 67{,}38^\circ\), soit \(\widehat{\text{CAB}} \approx 67^\circ\) au degré près.
Exercice 2 :
1. Si l’arête du cube mesure \(a\), son volume est \(a^3\). Avec une arête de \(3a\), le volume devient \((3a)^3 = 3^3 \times a^3 = 27a^3\). Dans un agrandissement de rapport \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^3\). Réponse D : 27.
2. On remplace \(x\) par \(-4\) en n’oubliant pas les parenthèses :
\[ (-4)^2 + 3 \times (-4) + 4 = 16 – 12 + 4 = 8 \]
Réponse A : 8.
3. On met les deux fractions au même dénominateur 12 :
\[ \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12} \]
La réponse B (0,583) n’est qu’une valeur approchée de \(\dfrac{7}{12} = 0{,}58333\ldots\), elle n’est donc pas égale à la somme. Réponse C : \(\dfrac{7}{12}\).
4. Une notation scientifique s’écrit \(a \times 10^n\) avec \(1 \leq\, a \lt 10\), ce qui élimine les réponses A et B. Or 1 500 000 000 = 1,5 milliard et un milliard vaut \(10^9\) : \(1\,500\,000\,000 = 1{,}5 \times 10^9\). Réponse D.
5. On développe avec l’identité remarquable \((a-b)(a+b) = a^2 – b^2\) :
\[ (x-2)(x+2) = x^2 – 2^2 = x^2 – 4 \]
Réponse A : \(x^2-4\).
Exercice 3 :
1. a. La symétrie de centre O est un demi-tour autour de O : le polygone en haut à gauche va en bas à droite. L’image du polygone ① est le polygone ③.
b. La rotation de centre O qui envoie ① (en haut à gauche) sur ② (en haut à droite) est un quart de tour dans le sens des aiguilles d’une montre. Par ce même quart de tour, le polygone ④ (en bas à gauche) vient en haut à gauche. L’image du polygone ④ est le polygone ①.
2. Le polygone ⑤ a exactement la même position et la même orientation que ① dans le carré voisin, qui est décalé vers la droite d’une longueur égale au côté du carré. On passe de ① à ⑤ par la translation de vecteur \(\vec{\text{AB}}\) (qui transforme A en B).
3. a. Pour couvrir le tissu sans découpe, il faut placer un nombre entier de carrés dans la longueur et un nombre entier de carrés dans la largeur : le côté du carré doit donc être un diviseur commun de 315 et de 270. Or :
\[ 315 = 9 \times 35 \quad \text{et} \quad 270 = 9 \times 30 \]
9 divise à la fois 315 et 270, on peut donc choisir des carrés de 9 cm de côté : on en place 35 dans la longueur et 30 dans la largeur.
b. Le tissu est recouvert par 35 colonnes de 30 carrés :
\[ 35 \times 30 = 1\,050 \]
1 050 carrés de 9 cm de côté seront imprimés sur le tissu. On peut vérifier avec les aires : \(315 \times 270 = 85\,050\ \text{cm}^2\) et \(85\,050 : 81 = 1\,050\).
Exercice 4 :
1. On range les temps dans l’ordre croissant (le plus petit temps correspond à la première place) :
\[ 52{,}93 \ ;\ 53{,}23 \ ;\ 53{,}35 \ ;\ 53{,}61 \ ;\ 54{,}04 \ ;\ 54{,}07 \ ;\ 54{,}52 \ ;\ 54{,}56 \]
La troisième nageuse est celle qui a le troisième meilleur temps : Charlotte Bonnet a nagé en 53,35 secondes.
2. La vitesse moyenne est la distance divisée par la durée :
\[ v = \dfrac{100\ \text{m}}{52{,}93\ \text{s}} \approx 1{,}889\ \text{m/s} \]
La vitesse moyenne est d’environ 1,9 m/s au dixième près.
3. Moyenne : on additionne les 8 temps et on divise par 8.
\[ \dfrac{53{,}23 + 54{,}04 + 53{,}61 + 54{,}52 + 53{,}35 + 52{,}93 + 54{,}56 + 54{,}07}{8} = \dfrac{430{,}31}{8} \approx 53{,}79\ \text{s} \]
Médiane : la série compte 8 valeurs (nombre pair). Dans la liste rangée de la question 1, la médiane est la moyenne des 4e et 5e valeurs :
\[ \dfrac{53{,}61 + 54{,}04}{2} = 53{,}825\ \text{s} \]
Conclusion : la moyenne (environ 53,79 s) et la médiane (53,825 s) sont très proches ; elles valent toutes les deux environ 53,8 s au dixième près, la médiane étant très légèrement supérieure à la moyenne.
4. La Grande-Bretagne et l’Italie ont obtenu ensemble \(13 + 8 = 21\) médailles d’or, alors que la Russie en a obtenu 23. Comme \(21 \neq 23\), c’est faux : elles en ont 2 de moins que la Russie.
5. La France a remporté 12 médailles au total, dont 4 en or. La proportion de médailles d’or est :
\[ \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333 \text{, soit environ } 33{,}3\,\% \]
Comme \(33{,}3\,\% \lt 35\,\%\), c’est faux.
6. Le total d’une ligne est la somme des médailles d’or, d’argent et de bronze, c’est-à-dire des cellules C2, D2 et E2. On a pu saisir =SOMME(C2:E2) (ou =C2+D2+E2). En étirant vers le bas, la formule devient automatiquement =SOMME(C3:E3), =SOMME(C4:E4), etc.
Exercice 5 :
Pour tout l’exercice, on peut lister les issues dans un tableau à double entrée : 3 boules bleues et 4 boules rouges donnent \(3 \times 4 = 12\) tirages, tous équiprobables.
| bleue \ rouge | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | (2 ; 2) | (2 ; 3) | (2 ; 4) | (2 ; 5) |
| 3 | (3 ; 2) | (3 ; 3) | (3 ; 4) | (3 ; 5) |
| 4 | (4 ; 2) | (4 ; 3) | (4 ; 4) | (4 ; 5) |
1. a. Parmi les numéros 2, 3, 4 et 5, les nombres premiers sont 2, 3 et 5 (4 est divisible par 2). Le tirage \((2\,;\,3)\), par exemple, donne deux nombres premiers : l’évènement « on obtient deux nombres premiers » est possible. En revanche, la plus grande somme possible est \(4 + 5 = 9\), qui est inférieure à 12 : l’évènement « la somme est égale à 12 » est impossible.
b. La boule bleue doit porter 2 ou 3 et la boule rouge 2, 3 ou 5. Les tirages favorables sont \((2\,;\,2)\), \((2\,;\,3)\), \((2\,;\,5)\), \((3\,;\,2)\), \((3\,;\,3)\) et \((3\,;\,5)\), soit 6 tirages sur 12. La probabilité cherchée est \(\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\).
2. Un double n’est possible qu’avec un numéro présent dans les deux urnes : 2, 3 ou 4. Les tirages favorables sont \((2\,;\,2)\), \((3\,;\,3)\) et \((4\,;\,4)\), soit 3 tirages sur 12 équiprobables. La probabilité d’obtenir un double est donc \(\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}\), comme annoncé.
3. a. On veut 1 000 répétitions, et les numéros vont de 2 à 4 dans l’urne bleue et de 2 à 5 dans l’urne rouge. A = 1 000, B = 4 et C = 5.
b. Il faut effectuer un nouveau tirage à chaque répétition, avant de tester s’il s’agit d’un double. Le bloc « Tirer deux boules » se place dans la boucle « répéter », juste avant le bloc « si … alors ».
c. Le compteur doit être remis à zéro une seule fois, au début. Le bloc « mettre Nombre de doubles à 0 » se place juste après « quand drapeau vert est cliqué », avant la boucle « répéter ».
d. La fréquence est le nombre de doubles divisé par le nombre total de tirages, c’est-à-dire 1 000. Il faut choisir la proposition ② « dire Nombre de doubles / 1000 ».
Le script principal complet est donc :
quand drapeau vert est cliqué
mettre [Nombre de doubles] à 0
répéter 1000 fois
Tirer deux boules
si (Boule bleue) = (Boule rouge) alors
ajouter 1 à [Nombre de doubles]
fin
dire (Nombre de doubles) / 1000
D’après la question 2, la fréquence affichée devrait être proche de \(\dfrac{1}{4} = 0{,}25\).
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