Ce que vous trouverez dans ce livre
- 22 chapitres répartis entre Semestre 1 et Semestre 2
- Les savoir-faire visés annoncés en ouverture de chaque chapitre
- Six sortes d'encadrés, dont Méthode, Démonstration et Attention
Au semestre 1, on bâtit le socle : logique et ensembles, applications et relations d'ordre, récurrence et dénombrement, puis la borne supérieure qui rend possible toute l'analyse. Viennent ensuite les suites avec le théorème de Bolzano-Weierstrass, la continuité jusqu'au théorème de Heine, la dérivation avec Rolle et les accroissements finis, l'arithmétique de Bézout et Fermat, les polynômes et le pivot de Gauss.
Le second semestre s'ouvre sur l'intégrale de Riemann, construite à partir des fonctions en escalier, puis enchaîne équations différentielles linéaires, formules de Taylor et développements limités. L'algèbre linéaire prend alors toute la place : espaces vectoriels, dimension, formule de Grassmann, puis théorème du rang, changement de base, déterminants et formules de Cramer. Deux chapitres de géométrie et de probabilités sur un univers fini terminent l'année.
Pour qui ?
Vous êtes en L1 de mathématiques et cherchez un texte où chaque énoncé est prouvé, rangé semestre par semestre, à relire la veille de chaque TD ? Ce livre est fait pour vous.
Le programme, chapitre par chapitre
Les leçons du livre et leurs grandes parties, avec la page où commence chaque chapitre.
| Chapitre | Au programme | Début |
|---|---|---|
| Semestre 1 | ||
| 1Logique, raisonnement et ensembles | Assertions et connecteurs logiques · Implication, contraposée et équivalence · Quantificateurs et langage formel · Les modes de raisonnement · Ensembles et opérations ensemblistes · Ensemble des parties et produit cartésien · Fonctions indicatrices | p. 8 |
| 2Applications et relations binaires | Applications : définition, graphe, restriction et prolongement · Image directe et image réciproque · Composition d'applications · Injections, surjections, bijections · Application réciproque d'une bijection · Relations binaires et relations d'équivalence · Relations d'ordre, majorants et minorants | p. 22 |
| 3Entiers naturels, récurrence et dénombrement | L'ensemble des entiers naturels et le bon ordre · Le raisonnement par récurrence · Symboles somme et produit · Sommes télescopiques et sommes usuelles · Ensembles finis : les bases du dénombrement · Listes, arrangements et permutations · Combinaisons, formule de Pascal et binôme de Newton | p. 34 |
| 4Nombres complexes et trigonométrie | Construction du corps des nombres complexes · Module et inégalité triangulaire · Trigonométrie et exponentielle complexe · Applications à la trigonométrie · Racines carrées et équations du second degré · Racines n-ièmes de l'unité et d'un complexe · Interprétation géométrique des nombres complexes | p. 47 |
| 5Nombres réels et borne supérieure | Les nombres réels, un corps totalement ordonné · Valeur absolue et intervalles de R · Majorants, minorants et borne supérieure · Propriété d'Archimède et partie entière · Densité de Q et de R\Q dans R · Approximations décimales d'un réel | p. 63 |
| 6Suites numériques | Suites numériques : premières définitions · Définition de la limite d'une suite · Opérations sur les limites et théorèmes de comparaison · Borne supérieure et théorème de la limite monotone · Suites extraites et théorème de Bolzano-Weierstrass · Suites récurrentes u(n+1) = f(u(n)) · Suites arithmético-géométriques et récurrentes linéaires d'ordre 2 | p. 74 |
| 7Limites et continuité des fonctions | Limite d'une fonction en un point · Caractérisation séquentielle et opérations · Continuité des fonctions · Le théorème des valeurs intermédiaires · Fonctions continues sur un segment · Théorème de la bijection continue · Continuité uniforme et théorème de Heine | p. 88 |
| 8Dérivation et accroissements finis | Nombre dérivé et dérivation en un point · Dérivabilité à gauche et à droite · Opérations sur les fonctions dérivables · Extremum local et théorème de Rolle · Les accroissements finis · Monotonie et signe de la dérivée · Dérivées successives et fonctions de classe C^n | p. 101 |
| 9Fonctions usuelles et fonctions réciproques | Fonctions réciproques et théorème de la bijection · Logarithme, exponentielle et fonctions puissances · Croissances comparées · Fonctions trigonométriques et fonctions trigonométriques réciproques · Fonctions hyperboliques · Fonctions homographiques, asymptotes et branches infinies | p. 115 |
| 10Arithmétique des entiers | Divisibilité dans l'anneau des entiers · La division euclidienne dans Z · PGCD et algorithme d'Euclide · Théorème de Bézout, lemme de Gauss et PPCM · Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers · Congruences modulo n et petit théorème de Fermat | p. 129 |
| 11Polynômes et fractions rationnelles | L'anneau des polynômes K[X] · Division euclidienne des polynômes · Racines, multiplicité et polynôme dérivé · Factorisation des polynômes dans C[X] et R[X] · Relations entre coefficients et racines · PGCD de polynômes, Bézout et irréductibles · Fractions rationnelles et décomposition en éléments simples | p. 142 |
| 12Systèmes linéaires et calcul matriciel | Systèmes linéaires : définition et interprétation géométrique · Opérations élémentaires et méthode du pivot de Gauss · Structure de l'ensemble des solutions · Les matrices et leurs opérations · Matrices carrées particulières · Écriture matricielle, matrices inversibles et rang | p. 156 |
| Semestre 2 | ||
| 13Intégrale de Riemann et calcul de primitives | Fonctions en escalier et subdivisions · Construction de l'intégrale de Riemann · Classes de fonctions intégrables · Propriétés de l'intégrale · Sommes de Riemann · Théorème fondamental de l'analyse · Techniques de calcul de primitives | p. 170 |
| 14Équations différentielles linéaires | Équations différentielles linéaires du premier ordre · Résolution de l'équation homogène · Solution particulière et problème de Cauchy · Équations du second ordre à coefficients constants · Recherche d'une solution particulière au second ordre · Lien avec les suites récurrentes linéaires | p. 184 |
| 15Formules de Taylor et développements limités | Relations de comparaison : o, O et équivalents · Les trois formules de Taylor · Développements limités : définition et existence · Opérations sur les développements limités · Applications des développements limités · Développements asymptotiques | p. 196 |
| 16Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels | La structure d'espace vectoriel · Exemples fondamentaux d'espaces vectoriels · Sous-espaces vectoriels · Sous-espace engendré et combinaisons linéaires · Somme de sous-espaces, somme directe et supplémentaires · Droites, plans et hyperplans vectoriels | p. 210 |
| 17Familles libres, bases et dimension | Familles libres, liées et génératrices · Bases et coordonnées · Espaces de dimension finie et théorème de la base incomplète · Dimension d'un espace vectoriel · Dimension d'un sous-espace et formule de Grassmann · Rang d'une famille et recherche de bases par le pivot | p. 225 |
| 18Applications linéaires | Définition des applications linéaires · Opérations sur les applications linéaires · Noyau et image d'une application linéaire · Détermination par l'image d'une base · Rang et théorème du rang · Projecteurs et symétries · Formes linéaires et hyperplans | p. 238 |
| 19Matrice d'une application linéaire et changement de base | Matrice d'une application linéaire dans des bases · Opérations sur les applications et sur les matrices · Matrice de passage et formules de changement de base · Matrices équivalentes, matrices semblables et rang · Trace d'une matrice et d'un endomorphisme · Interpréter matriciellement un projecteur ou une symétrie | p. 250 |
| 20Déterminants | Le groupe symétrique et la signature · Formes n-linéaires alternées · Déterminants d'une famille, d'un endomorphisme, d'une matrice · Calcul pratique d'un déterminant · Comatrice et formules de Cramer | p. 262 |
| 21Géométrie du plan et de l'espace | Repères cartésiens du plan et de l'espace · Produit scalaire dans le plan et dans l'espace · Équations cartésiennes et paramétriques de droites et de plans · Produit vectoriel et produit mixte · Distance d'un point à une droite ou à un plan · Positions relatives de droites et de plans · Cercles et sphères | p. 275 |
| 22Probabilités sur un univers fini | Expérience aléatoire, univers fini et événements · Probabilités sur un univers fini · Probabilités conditionnelles · Indépendance d'événements · Variables aléatoires finies et lois · Espérance et variance · Lois uniforme, de Bernoulli et binomiale | p. 293 |
Feuilleter deux pages
Deux pages du livre, telles qu'elles s'impriment. Cliquez sur une page pour l'agrandir.
Mode d'emploi en quatre temps
Repérer les objectifs
Commencez par la liste placée sous le titre du chapitre : elle dit ce que vous devrez réussir seul une fois la lecture terminée.
Reconstruire au brouillon
Masquez la preuve d'un théorème et tentez de la retrouver sur une feuille. Un tel effort vaut davantage que dix relectures passives.
Éviter les pièges
Arrêtez-vous sur chaque mise en garde : le « ou » exclusif du langage courant, ou encore un produit matriciel supposé commutatif.
Fixer l'essentiel
Le bilan qui clôt chaque chapitre résume ce qu'il faut savoir par cœur ; enchaînez ensuite avec les exercices corrigés correspondants.
Questions des étudiants
Que trouve-t-on dans ce cours de licence 1 ?
Vingt-deux chapitres classés en six domaines : fondements, algèbre, analyse, arithmétique, géométrie et probabilités. Vous y étudiez par exemple les racines n-ièmes d'un complexe, les développements limités ou encore les applications linéaires.
Comment le livre découpe-t-il l'année ?
Il suit les deux semestres. Le Semestre 1 regroupe les chapitres 1 à 12, du raisonnement au calcul matriciel. Le Semestre 2 va de l'intégrale de Riemann (chapitre 13) jusqu'aux probabilités (chapitre 22).
Ce cours m'aide-t-il pour les partiels ?
Oui, si vous le travaillez activement. Les preuves rédigées ressemblent à ce qu'on exige en question de cours, et les encadrés Méthode détaillent un geste précis, comme rédiger une récurrence ou linéariser une expression trigonométrique.
Faut-il bien connaître la Terminale pour démarrer ?
Le livre reprend tout depuis la base : il construit le corps des complexes, énonce la propriété d'Archimède et définit rigoureusement la limite d'une suite. Une bonne aisance en calcul reste toutefois précieuse dès les premières semaines.
Quand pourrai-je ouvrir le fichier ?
Dès que PayPal a validé le règlement : l'espace de téléchargement s'affiche aussitôt, et un courriel vous en donne l'adresse pour y revenir plus tard.
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