Ce que vous trouverez dans ce livre
- Énoncés regroupés par chapitre, puis corrigés, avec des renvois de page de l'énoncé au corrigé et retour
- Au moins un problème de synthèse dans chacun des 22 chapitres
- Des remarques « Point de méthode » et des figures glissées dans les corrigés
Chaque chapitre monte en difficulté. On démarre par des gammes, comme le spectre d'une petite matrice carrée ou les calculs dans Z/12Z, puis on aborde des questions plus fines : un contre-exemple au théorème de Schwarz, la semi-convergence de l'intégrale de sin(t)/t, la décomposition polaire d'une matrice inversible. Les problèmes, tels l'intégrale de Dirichlet ou les polynômes de Legendre, demandent d'enchaîner plusieurs résultats du cours.
Un corrigé ne s'arrête jamais au résultat. Il justifie chaque hypothèse, contrôle les calculs et signale par un Point de méthode le réflexe à garder. Certains exercices font démontrer des résultats célèbres : le théorème de Desargues, le critère de condensation de Cauchy, le paradoxe des anniversaires ou les intégrales de Fresnel. Le livre ouvre sur une page de conseils qui recommande de chercher au brouillon, sans le cours, avant toute lecture du corrigé.
Pour qui ?
Idéal si vous êtes en L2 et voulez vous entraîner seul entre deux TD, consolider un chapitre mal compris ou préparer une interrogation, solution complète à portée de main.
Le programme, chapitre par chapitre
Pour chaque chapitre, le nombre d'exercices corrigés et quelques-uns de leurs thèmes.
| Chapitre | Quelques exercices | Nombre |
|---|---|---|
| Semestre 3 | ||
| 1Séries numériques à termes positifs | Série géométrique : sommes partielles et reste · Divergence grossière · Séries télescopiques · Comparaison par inégalités · Équivalents usuels et nature d'une série | 22 ex. |
| 2Séries à termes quelconques | Suites de Cauchy et série harmonique · Convergence absolue de séries réelles et · Critère spécial des séries alternées · Majoration du reste d'une série alternée · Critère de Cauchy et tranches de séries | 20 ex. |
| 3Intégrales généralisées | Calculs directs par primitive · Comparaison avec les intégrales de Riemann · Intégrales faussement généralisées · Primitives et intégrales de Bertrand · Changements de variable | 22 ex. |
| 4Valeurs propres et diagonalisation | Éléments propres d'une matrice d'ordre 2 · Reconnaître des vecteurs propres · Sous-espaces stables · Spectre d'une matrice triangulaire et multiplicités · Polynôme caractéristique et invariants | 24 ex. |
| 5Polynômes d'endomorphismes et trigonalisation | Inverse par un polynôme annulateur · Puissances par division euclidienne · Valeurs propres et polynômes annulateurs · Polynômes minimaux de matrices simples · Projecteurs et symétries | 21 ex. |
| 6Arithmétique et anneau Z/nZ | Relations d'équivalence et classes · Congruences et critères de divisibilité · Calculs dans Z/12Z · Opérations bien définies sur le quotient · Inverse d'une classe par Bézout | 21 ex. |
| 7Groupes, sous-groupes et morphismes | Une loi de groupe sur R privé de -1 · Structures de groupe ou non · Reconnaître des sous-groupes · Sous-groupes de Z et sous-groupe engendré · Ordre des éléments de Z/12Z et des racines de | 23 ex. |
| 8Normes et topologie de R^n | Calcul des normes usuelles · Distances et appartenance à des boules · Des applications qui ne sont pas des normes · Une norme définie par valeurs absolues · Une norme euclidienne sur R^2 | 22 ex. |
| 9Plusieurs variables : limites et dérivées partielles | Domaine de définition et lignes de niveau · Continuité par les théorèmes généraux · Limites différentes selon les droites · Limites en l'origine par majoration · Limite nulle sur les droites mais pas sur une | 21 ex. |
| 10Différentiabilité, formule de Taylor et extrema | Différentiabilité par la définition · Calcul de matrices jacobiennes · Gradient et tangente à une ligne de niveau · Dérivées partielles sans différentiabilité · Une fonction de classe C1 sur R2 | 20 ex. |
| 11Espaces probabilisés et conditionnement | Tribus sur un ensemble fini · Traduire des événements · Formule du crible pour trois événements · Une probabilité sur les entiers non nuls · Probabilité géométrique sur N | 22 ex. |
| 12Variables aléatoires discrètes | Loi uniforme discrète · Maximum et minimum de deux dés · Loi lue sur une fonction de répartition · Tirages avec et sans remise · Moments de la loi géométrique | 22 ex. |
| Semestre 4 | ||
| 13Suites et séries de fonctions | Convergence des puissances sur le segment de 0 à · Une bosse qui se déplace vers l'origine · Convergence uniforme sans convergence des · Produit de suites uniformément convergentes · Convergence normale de séries trigonométriques | 20 ex. |
| 14Séries entières | Rayons de convergence par la règle de d'Alembert · Rayons de convergence sans la règle de · Lemme d'Abel et encadrement du rayon · Comportement sur le bord du disque · Somme et produit de Cauchy de séries entières | 21 ex. |
| 15Intégrales dépendant d'un paramètre | Continuité d'une intégrale sur un segment · Dérivées successives d'une intégrale sur un · Une intégrale calculée par dérivation · Une intégrale classique sur [0,1] · Une intégrale logarithmique sur un segment | 20 ex. |
| 16Produit scalaire et espaces euclidiens | Reconnaître un produit scalaire sur R² · Produit scalaire par évaluation sur les polynômes · Applications de l'inégalité de Cauchy-Schwarz · Identité du parallélogramme et normes non · Coordonnées dans une base orthogonale de R³ | 20 ex. |
| 17Isométries, endomorphismes symétriques et théorème spectral | Reconnaître des matrices orthogonales · Adjoint pour un produit scalaire non canonique · Noyau et image de l'adjoint · Adjoints dans l'espace des matrices · Rotation et réflexion du plan | 20 ex. |
| 18Séries de Fourier | Orthogonalité des exponentielles · Coefficients d'un polynôme trigonométrique · Parité et liens entre coefficients · Coefficients d'un signal créneau · Coefficients de la valeur absolue | 22 ex. |
| 19Formes quadratiques, coniques et quadriques | Matrice d'une forme bilinéaire · Forme polaire et vecteur isotrope · Matrices congruentes et semblables · Réductions de Gauss avec carrés · Réduction de Gauss sans carré | 23 ex. |
| 20Intégrales multiples et intégrales curvilignes | Sommes de Riemann sur un carré · Calculs sur des rectangles par Fubini · Un contre-exemple au théorème de Fubini · Intégrales sur un triangle · Aire et centre de gravité entre deux paraboles | 24 ex. |
| 21Variables aléatoires à densité | Détermination d'une constante et calcul de · La loi de Cauchy · De la fonction de répartition à la densité · Loi uniforme sur un segment · Durée de vie sans mémoire | 21 ex. |
| 22Géométrie affine | Un sous-espace affine défini par des équations · Plan passant par trois points · Un hyperplan affine en dimension 4 · Positions relatives de trois droites de l'espace · Critère d'intersection en dimension 4 | 22 ex. |
Feuilleter deux pages
Deux pages du livre, telles qu'elles s'impriment. Cliquez sur une page pour l'agrandir.
Mode d'emploi en quatre temps
Chercher seul
Prenez un énoncé, posez votre montre à côté et cherchez sans ouvrir le cours, comme le recommande la page d'ouverture du recueil.
Suivre le renvoi
Sous chaque énoncé, la flèche ▸ Corrigé donne la page de la solution ; le corrigé renvoie à son tour vers l'énoncé.
Comparer
Confrontez votre rédaction au corrigé ligne à ligne, puis notez le Point de méthode qui l'accompagne lorsqu'il y en a un.
Refaire plus tard
Laissez passer quelques jours et refaites-le de mémoire. Réservez les problèmes de synthèse à une séance de révision plus longue.
Questions des étudiants
Les chapitres ont-ils tous autant d'exercices ?
De 20 à 24 énoncés par chapitre, soit 473 au total. Les intégrales multiples et curvilignes, ainsi que la diagonalisation, en comptent le plus : 24 chacun.
Les corrigés suivent-ils directement chaque énoncé ?
Non. Un chapitre aligne l'ensemble de ses énoncés, et seulement ensuite l'ensemble de ses solutions. On ne tombe donc pas sur une réponse par mégarde ; les renvois de page font le lien sans chercher.
Ces exercices préparent-ils aux colles et aux partiels ?
Ils servent d'entraînement régulier : la page d'introduction conseille justement de refaire les exercices seul pour installer les réflexes attendus en colle et en partiel. Pour une épreuve chronométrée, complétez avec les devoirs du livre de contrôles L2.
Y a-t-il aussi des exercices de probabilités ?
Oui, dans trois chapitres : espaces probabilisés et conditionnement, variables discrètes, variables à densité. On y croise l'urne de Pólya, le test de dépistage, la loi de Cauchy, le problème des rencontres et le lemme de Borel-Cantelli.
Quand pourrai-je ouvrir le fichier ?
Dès que PayPal a validé le règlement : l'espace de téléchargement s'affiche aussitôt, et un courriel vous en donne l'adresse pour y revenir plus tard.
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