Ce que vous trouverez dans ce livre
- 439 énoncés sur 20 chapitres, du simple calcul au long problème final
- 22 problèmes longs, comme la simplicité de A5 ou le pendule amorti
- Renvois croisés : chaque énoncé indique la page de son corrigé, et inversement
Chaque chapitre aligne d'abord tous ses énoncés, puis tous ses corrigés, pour que la solution ne soit jamais sous vos yeux pendant la recherche. En topologie, vous croiserez la distance SNCF, l'opérateur de Volterra ou le sinus du topologue. En intégration, le rêve du bachelier, le lemme de Scheffé et l'ensemble triadique de Cantor. L'algèbre propose les entiers de Gauss, les polynômes d'Artin-Schreier et la cyclicité du groupe multiplicatif d'un corps fini.
Le semestre 6 n'est pas en reste. Le calcul différentiel travaille le folium de Descartes, le quotient de Rayleigh et le triangle d'aire maximale. L'analyse complexe mène à l'intégrale de Dirichlet par un contour indenté et à d'Alembert-Gauss par Rouché. Les probabilités finissent sur la bosse glissante, l'identité de Wald et la loi de Cauchy qui échappe aux grands nombres. Dans les corrigés, des remarques « Point de méthode » dégagent l'idée réutilisable.
Pour qui ?
Pour l'étudiant de L3 qui veut s'entraîner chapitre par chapitre sur des énoncés exigeants et vérifier sa rédaction ligne à ligne avant une colle ou un partiel.
Le programme, chapitre par chapitre
Pour chaque chapitre, le nombre d'exercices corrigés et quelques-uns de leurs thèmes.
| Chapitre | Quelques exercices | Nombre |
|---|---|---|
| Semestre 5 | ||
| 1Espaces métriques : ouverts, fermés, continuité | Distance discrète · Les distances d1, d2 et d∞ du plan · Fonctions d'une distance · La distance SNCF · La distance arctangente sur R | 22 ex. |
| 2Espaces normés et applications linéaires continues | Une norme sur R² et sa boule unité · Comparaison des normes usuelles de K^n · Suites sommables et suites bornées · Normes intégrales sur C([0,1]) · Une norme de type C^1 | 21 ex. |
| 3Compacité et connexité | Parties compactes du plan · Borel-Lebesgue à la main · Opérations sur les compacts · Somme d'un compact et d'un fermé · Distance à un compact | 21 ex. |
| 4Complétude, espaces de Banach et point fixe | Une suite de Cauchy de rationnels · Suites qui ne sont pas de Cauchy · Distance arctangente et distance discrète · Polynômes et norme des coefficients · Sous-espaces de dimension finie | 21 ex. |
| 5Tribus, mesures et fonctions mesurables | Ensembles dénombrables et argument diagonal · Tribu engendrée sur un ensemble fini · Une algèbre qui n'est pas une tribu · Tribu des parties dénombrables ou · Réunions de tribus | 23 ex. |
| 6Intégrale de Lebesgue et théorèmes de convergence | Intégrale d'une fonction étagée positive · Fonction de Dirichlet et intégrale de Riemann · Approximation de l'identité par des fonctions · Une limite par convergence monotone · Série de fonctions positives et zêta de 2 | 22 ex. |
| 7Mesure produit, Fubini et changement de variables | Sections d'une partie mesurable · Diagonale et graphes négligeables · Une intégrale calculée par Tonelli · Calculs d'intégrales doubles par Fubini · Sommes doubles et mesure de comptage | 24 ex. |
| 8Espaces L^p | Fonctions égales presque partout · Inégalité de Jensen sur [0,1] · Puissances de x dans les espaces Lp · Inégalité de Hölder sur des exemples · Hölder généralisée | 21 ex. |
| 9Groupes : quotients et actions de groupes | Sous-groupes distingués de S3 · Le groupe spécial linéaire · Sous-groupes d'indice 2 · Centre et quotient cyclique · Isomorphismes par passage au quotient | 20 ex. |
| 10Anneaux, idéaux et arithmétique | Inversibles, diviseurs de zéro et nilpotents de Z/nZ · Morphismes d'anneaux issus de Z et de Z[i] · Idéaux de Z/18Z · Idéaux d'un anneau produit · Idéaux maximaux des fonctions continues | 21 ex. |
| 11Corps, extensions et corps finis | Caractéristique et morphisme de Frobenius · Sous-corps premier et morphismes de corps · Degré d'une extension biquadratique · Calculs dans un corps de rupture de X³ − 2 · Polynôme minimal de √2 + √3 | 24 ex. |
| 12Réduction de Jordan et décomposition de Dunford | Polynôme minimal et lemme des noyaux · Projecteurs spectraux par Bézout · Dunford d'une matrice d'ordre 2 · Dunford et puissances d'une matrice d'ordre 3 · Un piège classique de Dunford | 24 ex. |
| Semestre 6 | ||
| 13Calcul différentiel dans les espaces normés | Différentielle d'une forme quadratique · Matrice jacobienne d'une application de R² dans R³ · Dérivées directionnelles sans continuité · Différentielle de la norme euclidienne · Différentiabilité de la norme infinie | 23 ex. |
| 14Inversion locale, fonctions implicites et extrema liés | Homéomorphisme ou difféomorphisme · Coordonnées polaires · L'exponentielle complexe vue dans le plan · Le carré complexe et son point critique · Perturbation lipschitzienne de l'identité | 22 ex. |
| 15Équations différentielles et théorème de Cauchy-Lipschitz | Existence et unicité pour une équation non linéaire · Une équation sans unicité · Itérations de Picard · Lemme de Gronwall : applications directes · Démonstration du lemme de Gronwall | 22 ex. |
| 16Fonctions holomorphes et formule de Cauchy | Conditions de Cauchy-Riemann · Fonction harmonique conjuguée · Séries entières et fonctions analytiques · Logarithme complexe et puissances · Intégrales le long de deux chemins | 20 ex. |
| 17Singularités et théorème des résidus | Série de Laurent d'une fraction rationnelle · Séries de Laurent en zéro de fonctions usuelles · Classer des singularités isolées · Calcul de résidus en des pôles · Indice d'un lacet, premiers calculs | 22 ex. |
| 18Espaces de Hilbert et analyse de Fourier | Identité du parallélogramme · Complétude de l'espace des suites de carré sommable · Un espace préhilbertien non complet · Projection sur une boule et sur un cône · Meilleure approximation affine dans L² | 21 ex. |
| 19Espaces probabilisés, variables aléatoires et espérance | Variables aléatoires sur l'espace de Lebesgue · Fonction muette et loi uniforme · Moments des lois usuelles · Espérance et fonction de queue · Loi de Cauchy et absence d'espérance | 24 ex. |
| 20Convergences, grands nombres et central limite | Convergence presque sûre sans convergence L^1 · La bosse glissante · Convergence en loi sans convergence en probabilité · Convergence en loi vers une constante · Bernoulli indépendantes et Borel-Cantelli | 21 ex. |
Feuilleter deux pages
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Mode d'emploi en quatre temps
Chercher seul
Attaquez l'énoncé sur une feuille, notes fermées, en vous imposant une durée limitée ; ensuite seulement, suivez le renvoi.
Comparer
Confrontez votre preuve au corrigé : une hypothèse oubliée, comme la complétude ou l'intégrabilité, se repère vite.
Retenir l'idée
Notez les remarques Point de méthode dans un carnet : elles résument l'argument qui servira ailleurs.
Refaire
Quelques jours plus tard, reprenez l'exercice sans aide. Gardez les problèmes de synthèse pour la fin.
Pour compléter
Questions des étudiants
Combien d'exercices compte chaque chapitre de ce recueil de L3 ?
Entre 20 et 24 exercices selon le chapitre, soit 439 au total. Dix-neuf chapitres contiennent un ou deux problèmes ; celui sur l'inversion locale et les extrema liés n'en contient pas.
Comment retrouver vite le corrigé d'un exercice ?
Sous le titre de chaque énoncé figure la page du corrigé. Le corrigé, placé après tous les énoncés du chapitre, renvoie à son tour vers la page de l'énoncé : l'aller-retour est immédiat.
Ces exercices conviennent-ils pour réviser les partiels ?
Oui, beaucoup reprennent des classiques d'examen : convergence dominée sur 1/(1+x^n), réduction de Jordan, calcul de résidus, méthode des multiplicateurs de Lagrange, approximation normale d'un jeu de pile ou face. Faites-les en temps limité.
Le livre suit-il le même découpage que le cours de L3 Mathovore ?
Oui. On retrouve les 20 mêmes chapitres, répartis entre le semestre 5 et le semestre 6. Vous pouvez donc lire un chapitre du cours puis enchaîner aussitôt sur ses exercices.
Quand pourrai-je ouvrir le fichier ?
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