Ce que vous trouverez dans ce livre
- 26 chapitres répartis sur deux semestres et sept domaines des mathématiques
- Une ouverture par les savoir-faire visés, une clôture par l'essentiel du chapitre
- Des encadrés séparent nettement preuves, méthodes, exemples calculés et pièges à éviter
Le premier semestre commence par l'algèbre : groupes monogènes, anneaux et théorème chinois, puis la réduction jusqu'au lemme des noyaux et à Cayley-Hamilton. Viennent ensuite les espaces vectoriels normés, la compacité, la connexité par arcs de GL_n(C), puis les séries numériques, les suites et séries de fonctions et les séries entières. Le semestre s'achève sur les intégrales généralisées, le théorème de convergence dominée et la fonction Gamma d'Euler.
Le second semestre ouvre sur les probabilités : ensembles dénombrables, tribus, lois géométrique et de Poisson, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, loi faible des grands nombres, fonctions génératrices. Suivent l'adjoint, les isométries et le théorème spectral avec le quotient de Rayleigh. Les équations différentielles linéaires, l'exponentielle de matrice, puis le calcul différentiel, du gradient à la hessienne et aux extremums liés, ferment l'année. De nombreuses figures accompagnent les chapitres d'analyse.
Pour qui ?
Pour les étudiants de deuxième année en MP ou MPI qui veulent un cours rédigé, démontré et illustré, à relire avant chaque colle et pendant les révisions d'été.
Le programme, chapitre par chapitre
Les leçons du livre et leurs grandes parties, avec la page où commence chaque chapitre.
| Chapitre | Au programme | Début |
|---|---|---|
| Premier semestre | ||
| 1Compléments sur les groupes : groupes monogènes et ordre | Sous-groupe engendré par une partie · Sous-groupes de Z et groupe Z/nZ · Ordre d'un élément d'un groupe · Groupes monogènes et groupes cycliques · Groupe des racines n-ièmes de l'unité · Théorème de Lagrange dans le cas commutatif | p. 9 |
| 2Anneaux, idéaux, Z/nZ et algèbres | Anneaux : rappels et produit fini d'anneaux · Idéaux d'un anneau commutatif · Idéaux de Z et PGCD · L'anneau Z/nZ · Théorème chinois et indicatrice d'Euler · Idéaux de K[X] et décomposition en irréductibles · Algèbres, sous-algèbres et morphismes d'algèbres | p. 19 |
| 3Éléments propres et polynôme caractéristique | Somme directe d'une famille finie de sous-espaces · Matrices définies par blocs · Sous-espaces stables et endomorphisme induit · Éléments propres d'un endomorphisme · Le polynôme caractéristique · Multiplicité et dimension des sous-espaces propres | p. 32 |
| 4Diagonalisation, trigonalisation et nilpotence | Endomorphismes et matrices diagonalisables · Critères de diagonalisation · Puissances et récurrences linéaires · La trigonalisation · Trace, déterminant et valeurs propres · Endomorphismes et matrices nilpotents | p. 45 |
| 5Polynômes d'endomorphismes et Cayley-Hamilton | Polynômes d'endomorphismes : le morphisme d'algèbres · Polynôme minimal d'un endomorphisme · Polynômes annulateurs et valeurs propres · Le lemme de décomposition des noyaux · Diagonalisabilité, trigonalisabilité et polynômes annulateurs · Le théorème de Cayley-Hamilton · Sous-espaces caractéristiques et réduction en blocs | p. 57 |
| 6Normes, espaces vectoriels normés et suites | Normes et espaces vectoriels normés · Boules, parties convexes et parties bornées · Normes usuelles sur K^n et espaces produits · Normes sur des espaces de fonctions · Suites d'un espace vectoriel normé · Normes équivalentes | p. 68 |
| 7Topologie d'un espace normé et continuité | Topologie d'un espace normé : ouverts et fermés · Intérieur, adhérence et frontière · Caractérisations séquentielles et parties denses · Limites et continuité · Continuité uniforme et applications lipschitziennes · Applications linéaires continues et norme d'opérateur · Continuité des applications multilinéaires · Ce qu'il faut retenir | p. 81 |
| 8Compacité, connexité par arcs et dimension finie | Parties compactes d'un espace vectoriel normé · Fonctions continues sur une partie compacte · Connexité par arcs · Équivalence des normes en dimension finie · Continuité des applications en dimension finie · La connexité par arcs de GL_n(C) | p. 95 |
| 9Séries numériques et vectorielles | Séries numériques et vectorielles : définitions · Lien suite-série et séries télescopiques · Séries à termes positifs et absolue convergence · Comparaison série-intégrale · Règle de d'Alembert · Sommation des relations de comparaison · Théorème de Cesàro | p. 109 |
| 10Suites de fonctions : convergence simple et uniforme | Convergence simple des suites de fonctions · Convergence uniforme d'une suite de fonctions · Continuité et théorème de la double limite · Intégration et dérivation des suites de fonctions · Approximation uniforme des fonctions continues | p. 120 |
| 11Séries de fonctions | Convergence simple et uniforme des séries de fonctions · Convergence normale · Continuité de la somme et théorème de la double limite · Intégration terme à terme sur un segment · Dérivation terme à terme et classe C^k de la somme · Étude asymptotique par comparaison série-intégrale | p. 132 |
| 12Séries entières | Séries entières et rayon de convergence · Calcul pratique du rayon de convergence · Opérations sur les séries entières · Régularité de la somme d'une série entière · Dérivation et intégration terme à terme · Fonctions développables en série entière | p. 145 |
| 13Fonctions vectorielles d'une variable réelle | Dérivabilité des fonctions vectorielles · Opérations sur les fonctions vectorielles dérivables · Fonctions de classe C^k et fonctions matricielles · Intégrale d'une fonction vectorielle sur un segment · Inégalité des accroissements finis · Formules de Taylor pour les fonctions vectorielles | p. 159 |
| 14Intégrales généralisées et fonctions intégrables | Intégrales généralisées convergentes · Les intégrales de référence · Fonctions positives et théorèmes de comparaison · Fonctions intégrables et espace L¹ · Calcul des intégrales généralisées · Intégration des relations de comparaison · Comparaison entre séries et intégrales | p. 172 |
| 15Convergence dominée et intégration terme à terme | Pourquoi faut-il un théorème d'interversion ? · Le théorème de convergence dominée · Extension à une famille à paramètre réel · Intégration terme à terme d'une série de fonctions · Familles sommables et sommes partielles | p. 184 |
| 16Intégrales à paramètre | Définition des intégrales à paramètre · Continuité d'une intégrale à paramètre · Dérivation sous le signe intégrale · La fonction Gamma d'Euler · Transformées de Laplace et de Fourier · Étude asymptotique d'une intégrale à paramètre · Ce qu'il faut retenir | p. 195 |
| Second semestre | ||
| 17Ensembles dénombrables et espaces probabilisés | Ensembles dénombrables · Tribus et espaces probabilisables · Probabilités et espaces probabilisés · Continuité monotone et événements presque sûrs · Probabilités conditionnelles · Indépendance · Le jeu de pile ou face infini | p. 208 |
| 18Variables aléatoires discrètes et lois usuelles | Variables aléatoires discrètes et loi · Couples et vecteurs de variables aléatoires · Variables aléatoires indépendantes · Rappels sur les lois finies usuelles · La loi géométrique · La loi de Poisson | p. 222 |
| 19Espérance, variance et loi faible des grands nombres | Espérance d'une variable aléatoire discrète · Formule de transfert et propriétés de l'espérance · Moments d'ordre 2 et inégalité de Cauchy-Schwarz · Variance, écart type et lois usuelles · Covariance et variance d'une somme · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Loi faible des grands nombres | p. 235 |
| 20Fonctions génératrices | Définition des fonctions génératrices · La fonction génératrice caractérise la loi · Fonctions génératrices des lois usuelles · Espérance, variance et fonction génératrice · Fonction génératrice d'une somme de variables indépendantes · Dénombrements et récurrences par fonction génératrice | p. 249 |
| 21Adjoint et isométries d'un espace euclidien | Formes linéaires et adjoint d'un endomorphisme · Adjoint et sous-espaces stables · Matrices orthogonales et groupe orthogonal · Isométries vectorielles d'un espace euclidien · Isométries du plan euclidien orienté · Réduction des isométries et rotations de l'espace | p. 261 |
| 22Endomorphismes autoadjoints et théorème spectral | Endomorphismes autoadjoints d'un espace euclidien · Le théorème spectral · Endomorphismes et matrices symétriques positifs · Quotient de Rayleigh et encadrement · Racine carrée d'une matrice symétrique positive · Applications classiques | p. 275 |
| 23Équations différentielles linéaires | Équations différentielles linéaires : cadre et problème de Cauchy · Théorème de Cauchy linéaire et structure des solutions · Wronskien et bases de l'espace des solutions · Méthode de variation des constantes à l'ordre 2 · Recherche de solutions développables en série entière · Équations non normalisées et raccordements | p. 289 |
| 24Exponentielle de matrice et systèmes différentiels | Exponentielle d'une matrice et d'un endomorphisme · Propriétés de l'exponentielle matricielle · Dérivation et exponentielle d'une somme · Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants · Résolution pratique des systèmes différentiels · Comportement asymptotique des solutions | p. 302 |
| 25Calcul différentiel dans les espaces normés | Dérivée selon un vecteur et dérivées partielles · Applications différentiables · Calcul différentiel en coordonnées : jacobienne et gradient · Opérations sur les applications différentiables · Applications de classe C¹ · Vecteurs tangents et espace tangent | p. 314 |
| 26Fonctions de classe C^k et optimisation | Extremums et points critiques en optimisation · Extremums sur une partie et extremums liés · Fonctions de classe C^k et théorème de Schwarz · Exemples d'équations aux dérivées partielles · Hessienne et formule de Taylor-Young à l'ordre 2 · Conditions d'extremum au second ordre | p. 327 |
Feuilleter deux pages
Deux pages du livre, telles qu'elles s'impriment. Cliquez sur une page pour l'agrandir.
Mode d'emploi en quatre temps
Viser l'objectif
En tête de chapitre, une courte liste annonce les gestes à maîtriser, par exemple résoudre un système de congruences.
Refaire les preuves
Cachez chaque démonstration et tentez-la seul, du lemme d'Abel au théorème spectral, avant de comparer avec le texte.
Déjouer les pièges
Les mises en garde du livre rappellent par exemple qu'un produit de deux anneaux non nuls n'est jamais intègre.
Fixer l'essentiel
Le résumé final de chaque chapitre se relit la veille d'une colle ; enchaînez ensuite avec les exercices du même thème.
Questions des étudiants
Quels chapitres contient ce cours de spé ?
Vingt-six chapitres : groupes et anneaux, réduction, espaces normés, séries et séries entières, intégration et convergence dominée, probabilités discrètes, espaces euclidiens, équations différentielles, calcul différentiel et optimisation.
Comment les chapitres sont-ils organisés dans l'année ?
Seize chapitres composent le premier semestre, de l'algèbre aux intégrales à paramètre. Les dix suivants, du 17e au 26e, couvrent le second, des probabilités à l'optimisation.
Est-ce un bon support pour les colles et les concours ?
Oui. Chaque résultat est démontré, et les méthodes rédigent chaque savoir-faire étape par étape, ce qui prépare bien l'oral. Le texte signale aussi des exemples fréquents aux concours, comme la fonction Gamma ou la transformée de Laplace.
Les probabilités de spé sont-elles traitées en détail ?
Quatre chapitres leur sont consacrés : espaces probabilisés et jeu de pile ou face infini, variables discrètes et lois usuelles, espérance et loi faible des grands nombres, puis fonctions génératrices.
Quand pourrai-je ouvrir le fichier ?
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