Ce que vous trouverez dans ce livre
- 20 chapitres rangés en semestre 5 puis semestre 6, sur cinq domaines
- Chaque chapitre annonce ses savoir-faire et se clôt sur une synthèse à mémoriser
- Encadrés Méthode et Attention, exemples calculés jusqu'au bout, figures commentées
Le semestre 5 pose les fondations : topologie des espaces métriques et normés, compacité, complétude et point fixe de Banach-Picard, puis la théorie de la mesure, l'intégrale de Lebesgue, Fubini-Tonelli et les espaces L^p. Il se termine par l'algèbre : groupes quotients, actions et théorèmes de Sylow, anneaux et entiers de Gauss, extensions de corps et nombres constructibles, réduction de Jordan et décomposition de Dunford.
Le semestre 6 passe au calcul différentiel : différentielle de Fréchet, inversion locale, fonctions implicites, multiplicateurs de Lagrange, puis Cauchy-Lipschitz, lemme de Gronwall et méthode d'Euler. Viennent ensuite les fonctions holomorphes, la formule de Cauchy, le théorème des résidus et celui de Rouché, les espaces de Hilbert avec Parseval et la transformée de Fourier. Deux chapitres de probabilités ferment le livre, jusqu'aux lois des grands nombres.
Pour qui ?
Pour l'étudiant inscrit en licence 3 de mathématiques qui souhaite garder près de lui un cours complet et démontré, ou pour celui qui sort de maths spé et aborde la mesure, l'algèbre abstraite ou l'analyse complexe.
Le programme, chapitre par chapitre
Les leçons du livre et leurs grandes parties, avec la page où commence chaque chapitre.
| Chapitre | Au programme | Début |
|---|---|---|
| Semestre 5 | ||
| 1Espaces métriques : ouverts, fermés, continuité | Distances et espaces métriques · Ouverts, fermés et voisinages d'un espace métrique · Intérieur, adhérence, frontière et densité · Suites convergentes et caractérisation séquentielle · Sous-espaces et espace produit · Applications continues entre espaces métriques | p. 8 |
| 2Espaces normés et applications linéaires continues | Normes et espaces vectoriels normés · Normes équivalentes · Applications linéaires continues · Norme subordonnée d'une application linéaire continue · Dimension finie contre dimension infinie · Applications multilinéaires continues · Normes matricielles | p. 21 |
| 3Compacité et connexité | Compacité : la propriété de Borel-Lebesgue · Compacité séquentielle et théorème de Bolzano-Weierstrass · Compacité et continuité · Dimension finie et théorème de Riesz · Connexité et valeurs intermédiaires · Connexité par arcs | p. 34 |
| 4Complétude, espaces de Banach et point fixe | Suites de Cauchy dans un espace métrique · Espaces complets et espaces de Banach · Espaces fonctionnels : complétude de C([a,b]) · Séries dans un espace de Banach · Le théorème du point fixe de Banach-Picard · Prolongement des applications uniformément continues | p. 47 |
| 5Tribus, mesures et fonctions mesurables | Ensembles dénombrables · Algèbres et tribus · La tribu borélienne · Mesures positives · Mesure extérieure et mesure de Lebesgue · Ensembles négligeables et propriété presque partout · Fonctions mesurables et fonctions étagées | p. 60 |
| 6Intégrale de Lebesgue et théorèmes de convergence | Construction de l'intégrale de Lebesgue des fonctions positives · Le théorème de convergence monotone · Le lemme de Fatou · Fonctions intégrables et espace L¹ · Le théorème de convergence dominée · Comparaison avec l'intégrale de Riemann · Continuité et dérivation des intégrales à paramètre | p. 74 |
| 7Mesure produit, Fubini et changement de variables | Tribu produit et sections · Mesure produit · Théorèmes de Fubini-Tonelli et de Fubini · Mesure de Lebesgue sur R^n · Théorème de changement de variables · Coordonnées polaires et sphériques, intégrale de Gauss et volume de la boule · Produit de convolution | p. 87 |
| 8Espaces L^p | Inégalités de convexité : Jensen, Young, Hölder, Minkowski · Construction des espaces L^p · Complétude des espaces L^p : théorème de Riesz-Fischer · Convergence en norme L^p et convergence presque partout · Inclusions entre espaces L^p · Densité dans les espaces L^p | p. 100 |
| 9Groupes : quotients et actions de groupes | Sous-groupes distingués et groupe quotient · Les théorèmes d'isomorphisme · Groupes cycliques et Z/nZ · Actions de groupes, orbites et stabilisateurs · Le groupe symétrique · Groupes diédraux et groupes d'isométries · Les théorèmes de Sylow | p. 112 |
| 10Anneaux, idéaux et arithmétique | Anneaux commutatifs et morphismes d'anneaux · Idéaux et anneaux quotients · Idéaux premiers, idéaux maximaux et intégrité · Anneaux euclidiens, principaux et factoriels · L'anneau des polynômes K[X] et l'irréductibilité · Polynômes sur un anneau factoriel : lemme de Gauss · L'anneau des entiers de Gauss | p. 126 |
| 11Corps, extensions et corps finis | Caractéristique d'un corps et sous-corps premier · Extensions de corps et degré · Éléments algébriques, transcendants et polynôme minimal · Corps de rupture et corps de décomposition · Constructions à la règle et au compas · Corps finis · Ce qu'il faut retenir | p. 139 |
| 12Réduction de Jordan et décomposition de Dunford | Rappels : polynôme minimal et lemme des noyaux · Sous-espaces caractéristiques et décomposition de Dunford · Endomorphismes nilpotents et tableaux de Young · Réduction de Jordan · Invariants de similitude · Exponentielle de matrice · Dualité : base duale, orthogonal et transposée | p. 152 |
| Semestre 6 | ||
| 13Calcul différentiel dans les espaces normés | La différentielle de Fréchet dans les espaces normés · Dérivées directionnelles, dérivées partielles et classe C¹ · Différentielle d'une composée et opérations · Inégalité des accroissements finis · Différentielles d'ordre supérieur et théorème de Schwarz · Formules de Taylor · Convexité et différentiabilité | p. 166 |
| 14Inversion locale, fonctions implicites et extrema liés | Difféomorphismes · Le théorème d'inversion locale · Le théorème des fonctions implicites · Sous-variétés de … et espace tangent · Extrema libres · Extrema liés et multiplicateurs de Lagrange · Fonctions convexes et minimisation | p. 179 |
| 15Équations différentielles et théorème de Cauchy-Lipschitz | Équations différentielles et problème de Cauchy · Le lemme de Gronwall · Le théorème de Cauchy-Lipschitz · Solutions maximales, solutions globales et théorème des bouts · Systèmes différentiels linéaires · Systèmes à coefficients constants et exponentielle de matrice · Systèmes autonomes, portrait de phase et stabilité · La méthode d'Euler | p. 191 |
| 16Fonctions holomorphes et formule de Cauchy | Fonctions holomorphes et équations de Cauchy-Riemann · Séries entières, exponentielle et logarithme complexes · Intégrales le long d'un chemin · Théorème de Cauchy et formule intégrale de Cauchy · Analyticité, zéros isolés et prolongement analytique · Liouville, d'Alembert-Gauss et principe du maximum | p. 205 |
| 17Singularités et théorème des résidus | Séries de Laurent · Singularités isolées · Fonctions méromorphes · Indice d'un lacet · Résidus et théorème des résidus · Calcul d'intégrales réelles par les résidus · Principe de l'argument et théorème de Rouché · Ce qu'il faut retenir | p. 219 |
| 18Espaces de Hilbert et analyse de Fourier | Espaces préhilbertiens et espaces de Hilbert · Théorème de projection sur un convexe fermé · Sous-espaces fermés et supplémentaire orthogonal · Le théorème de représentation de Riesz · Bases hilbertiennes, inégalité de Bessel et égalité de Parseval · Séries de Fourier dans L² · Transformée de Fourier dans L¹ | p. 233 |
| 19Espaces probabilisés, variables aléatoires et espérance | Espaces probabilisés et variables aléatoires · Espérance et méthode de la fonction muette · Lois usuelles discrètes et à densité · Indépendance de tribus et de variables aléatoires · Vecteurs aléatoires et changement de variables · Covariance et vecteurs gaussiens · Fonction caractéristique · Espérance conditionnelle | p. 245 |
| 20Convergences, grands nombres et central limite | Les quatre modes de convergence des variables aléatoires · Le lemme de Borel-Cantelli · Liens entre les modes de convergence · Fonctions caractéristiques et théorème de Lévy · Lois des grands nombres · Le théorème central limite · Ce qu'il faut retenir | p. 259 |
Feuilleter deux pages
Deux pages du livre, telles qu'elles s'impriment. Cliquez sur une page pour l'agrandir.
Mode d'emploi en quatre temps
Viser
Lisez d'abord la liste des savoir-faire du chapitre : elle dit précisément ce que vous devrez savoir faire à la fin.
Redémontrer
Reprenez chaque démonstration sur feuille blanche, sans regarder, comme le conseille le livre. Une preuve comprise se reconstruit seule.
Éviter les pièges
Les encadrés Attention montrent où l'on tombe : intégrales itérées différentes faute d'intégrabilité, gaussiennes non corrélées mais dépendantes.
Condenser
La veille d'un partiel, parcourez la synthèse finale de chaque chapitre, puis enchaînez sur les exercices corrigés du même chapitre.
Pour compléter
Questions des étudiants
Quels grands théorèmes de L3 ce cours démontre-t-il ?
Entre autres Bolzano-Weierstrass, le point fixe de Banach-Picard, la convergence dominée, Riesz-Fischer, les théorèmes de Sylow, l'inversion locale, Cauchy-Lipschitz, la formule de Cauchy, le théorème des résidus et le théorème central limite.
Comment les chapitres sont-ils répartis entre les deux semestres ?
Les douze premiers forment le semestre 5 : topologie, mesure et intégration, algèbre. Les huit suivants forment le semestre 6 : calcul différentiel, équations différentielles, analyse complexe, Hilbert et Fourier, probabilités.
Ces pages servent-elles pour réviser un examen de L3 ?
Oui. Les méthodes rédigées étape par étape correspondent aux questions classiques : calculer un résidu, une réduite de Jordan, un degré d'extension. La synthèse finale de chaque chapitre sert de fiche de révision la veille de l'épreuve.
Faut-il avoir déjà vu l'intégrale de Lebesgue avant de l'ouvrir ?
Non. Le chapitre 5 part des ensembles dénombrables, des tribus et de la mesure extérieure. L'intégrale est ensuite construite pour les fonctions positives, puis comparée à celle de Riemann que vous connaissez déjà.
Quand pourrai-je ouvrir le fichier ?
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