Ce que vous trouverez dans ce livre
- 22 chapitres rangés en deux parties : semestre 3, puis semestre 4
- Des savoir-faire annoncés à l'ouverture et un bilan synthétique pour clore chaque chapitre
- Théorèmes démontrés, encadrés Méthode et Attention, nombreuses figures commentées
Le semestre 3 commence par l'analyse asymptotique : séries à termes positifs, règles de d'Alembert et de Cauchy, transformation d'Abel, puis intégrales généralisées. Vient ensuite l'algèbre : diagonalisation, lemme des noyaux, théorème de Cayley-Hamilton, anneau Z/nZ jusqu'au chiffrement RSA, groupes et théorème de Lagrange. Le semestre s'achève sur la topologie de R^n, le calcul différentiel avec Taylor-Young et la recherche d'extrema, puis deux chapitres de probabilités discrètes.
Le semestre 4 reprend l'analyse avec la convergence uniforme, le théorème de Weierstrass, les séries entières et les intégrales à paramètre, de l'intégrale de Gauss à la transformée de Laplace. Côté euclidien, vous trouverez Gram-Schmidt, les moindres carrés et le théorème spectral. Les séries de Fourier avec Dirichlet et Parseval, la loi d'inertie de Sylvester, les intégrales doubles jusqu'à Green-Riemann, les lois à densité et la géométrie affine (Thalès, Ménélaüs, Céva) complètent l'année.
Pour qui ?
Destiné à l'étudiant de deuxième année qui préfère un exposé rédigé et démontré pas à pas, à reprendre avant un TD comme avant un partiel.
Le programme, chapitre par chapitre
Les leçons du livre et leurs grandes parties, avec la page où commence chaque chapitre.
| Chapitre | Au programme | Début |
|---|---|---|
| Semestre 3 | ||
| 1Séries numériques à termes positifs | Séries numériques : vocabulaire et premiers exemples · Séries à termes positifs et théorèmes de comparaison · Comparaison série-intégrale et séries de Riemann · Règles de d'Alembert et de Cauchy · Sommation des relations de comparaison | p. 8 |
| 2Séries à termes quelconques | Suites de Cauchy et complétude de R · Critère de Cauchy et convergence absolue · Séries alternées · Transformation d'Abel · Développements asymptotiques et séries de Bertrand · Produit de Cauchy et sommation par paquets | p. 20 |
| 3Intégrales généralisées | Définition des intégrales généralisées · Critère de Cauchy et parallèle avec les séries · Intégrales de fonctions positives · Convergence absolue et intégrabilité · Intégrales semi-convergentes et règle d'Abel · Intégration par parties et changement de variable généralisés · Intégration des relations de comparaison | p. 33 |
| 4Valeurs propres et diagonalisation | Sous-espaces stables par un endomorphisme · Valeurs propres et vecteurs propres · Polynôme caractéristique et spectre d'une matrice · Critères de diagonalisation · Application aux puissances et aux suites récurrentes · Application aux systèmes différentiels linéaires · Ce qu'il faut retenir | p. 46 |
| 5Polynômes d'endomorphismes et trigonalisation | Polynômes d'endomorphismes et de matrices · Polynômes annulateurs et polynôme minimal · Le lemme des noyaux · Diagonalisabilité et polynômes annulateurs · Le théorème de Cayley-Hamilton · Trigonalisation · Sous-espaces caractéristiques et endomorphismes nilpotents · Ce qu'il faut retenir | p. 58 |
| 6Arithmétique et anneau Z/nZ | Relations d'équivalence et ensembles quotients · Congruences : l'arithmétique modulo n · Construction de l'anneau Z/nZ · Indicatrice d'Euler, théorèmes d'Euler et de Fermat · Le théorème chinois · Carrés dans F_p · Application au chiffrement RSA | p. 71 |
| 7Groupes, sous-groupes et morphismes | Lois de composition interne et notion de groupe · Sous-groupes et sous-groupe engendré · Morphismes de groupes, noyau et image · Ordre d'un élément et groupes cycliques · Classes modulo un sous-groupe et théorème de Lagrange · Le groupe symétrique · Anneaux, corps et idéaux · Ce qu'il faut retenir | p. 84 |
| 8Normes et topologie de R^n | Normes sur R^n · Distance, boules et parties bornées · Suites de R^n et équivalence des normes · Ouverts et fermés : la topologie de R^n · Intérieur, adhérence et frontière · Parties compactes de R^n | p. 101 |
| 9Plusieurs variables : limites et dérivées partielles | Fonctions de plusieurs variables et lignes de niveau · Limite et continuité d'une fonction de plusieurs variables · Fonctions lipschitziennes et image d'un compact · Dérivées directionnelles et dérivées partielles · Gradient et fonctions de classe … · Dérivées partielles d'une composée : la règle de la chaîne · Ce qu'il faut retenir | p. 115 |
| 10Différentiabilité, formule de Taylor et extrema | Différentiabilité et différentielle · Matrice jacobienne et règles de calcul · Fonctions de classe C1 · Inégalité des accroissements finis · Dérivées d'ordre 2 et formule de Taylor-Young · Points critiques et extrema | p. 130 |
| 11Espaces probabilisés et conditionnement | Univers, événements et tribus · Espaces probabilisés : axiomes et propriétés · Continuité monotone d'une probabilité · Dénombrement et modèles d'urnes · Probabilités conditionnelles · Indépendance d'événements | p. 143 |
| 12Variables aléatoires discrètes | Variables aléatoires discrètes et loi · Lois discrètes usuelles · Espérance d'une variable aléatoire discrète · Variance, écart type et covariance · Couples de variables aléatoires et indépendance · Fonction génératrice · Inégalités de concentration et loi faible des grands nombres | p. 156 |
| Semestre 4 | ||
| 13Suites et séries de fonctions | Convergence simple et convergence uniforme des suites de fonctions · Continuité uniforme et théorème de Heine · Propriétés de la limite uniforme : les théorèmes d'interversion · Séries de fonctions et convergence normale · Le théorème d'approximation de Weierstrass | p. 171 |
| 14Séries entières | Définition des séries entières et lemme d'Abel · Rayon et disque de convergence · Opérations sur les séries entières · Convergence normale et continuité de la somme · Dérivation et intégration terme à terme · Fonctions développables en série entière · Résolution d'équations différentielles par séries entières | p. 184 |
| 15Intégrales dépendant d'un paramètre | Intégrales à paramètre sur un segment : continuité · Dérivation sous le signe intégrale sur un segment · L'hypothèse de domination · Dérivation sous le signe intégrale généralisée · La fonction Gamma d'Euler · L'intégrale de Gauss · La transformée de Laplace : quelques exemples | p. 197 |
| 16Produit scalaire et espaces euclidiens | Produit scalaire et espaces euclidiens · Norme euclidienne et inégalité de Cauchy-Schwarz · Orthogonalité et bases orthonormées · Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt · Orthogonal d'un sous-espace et projection orthogonale · Espaces préhilbertiens complexes et hermitiens · Méthode des moindres carrés | p. 210 |
| 17Isométries, endomorphismes symétriques et théorème spectral | Adjoint d'un endomorphisme · Isométries vectorielles et matrices orthogonales · Classification des isométries du plan et de l'espace · Endomorphismes symétriques et théorème spectral · Matrices symétriques positives et définies positives · Cas hermitien : endomorphismes normaux et unitaires | p. 223 |
| 18Séries de Fourier | Fonctions périodiques et polynômes trigonométriques · Produit scalaire et orthogonalité des exponentielles · Coefficients de Fourier et séries de Fourier · Inégalité de Bessel · Le théorème de Dirichlet · Convergence normale des séries de Fourier · Formule de Parseval et calcul de sommes | p. 238 |
| 19Formes quadratiques, coniques et quadriques | Formes bilinéaires et formes quadratiques · Orthogonalité et cône isotrope · Réduction de Gauss · Rang, signature et loi d'inertie de Sylvester · Réduction dans une base orthonormée · Classification des coniques · Quadriques de l'espace | p. 251 |
| 20Intégrales multiples et intégrales curvilignes | Intégrale double sur un rectangle · Intégrales doubles sur un domaine élémentaire · Changement de variables dans une intégrale double · Intégrales triples, aires et volumes · Courbes paramétrées et longueur d'un arc · Formes différentielles et intégrale curviligne · La formule de Green-Riemann | p. 264 |
| 21Variables aléatoires à densité | Fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle · Variables aléatoires à densité · Les lois usuelles à densité · Espérance, variance et théorème de transfert · Loi de l'image g(X) d'une variable à densité · Couples à densité, indépendance et somme · Approximation de la binomiale par la loi normale | p. 278 |
| 22Géométrie affine | Espaces affines : le cadre de la géométrie affine · Repères cartésiens et équations · Barycentres et coordonnées barycentriques · Applications affines · Transformations usuelles de la géométrie affine · Théorèmes de Thalès, Ménélaüs et Céva · Isométries affines | p. 291 |
Feuilleter deux pages
Deux pages du livre, telles qu'elles s'impriment. Cliquez sur une page pour l'agrandir.
Mode d'emploi en quatre temps
Repérer l'objectif
Commencez par l'encadré d'ouverture, Savoir-faire du chapitre : quelques lignes annoncent ce que vous devrez maîtriser au bout du chapitre.
Refaire les preuves
Les théorèmes viennent avec leur démonstration. Masquez-la, tentez-la au brouillon, puis comparez avec la rédaction du livre.
Appliquer
Les encadrés Méthode et les exemples résolus montrent comment utiliser un résultat, tandis que les mises en garde Attention évitent les faux pas.
Fixer l'essentiel
Finissez par le bilan du chapitre : relisez-le la veille d'une interrogation et vérifiez que chaque ligne vous paraît évidente.
Questions des étudiants
Que trouve-t-on au fil des 22 chapitres ?
Douze chapitres au semestre 3 (séries, intégrales généralisées, réduction, Z/nZ, groupes, topologie de R^n, calcul différentiel, probabilités discrètes) et dix au semestre 4 (séries de fonctions et entières, intégrales à paramètre, espaces euclidiens, Fourier, formes quadratiques, intégrales multiples, lois à densité, géométrie affine).
Comment un chapitre est-il construit ?
Il s'ouvre sur ses savoir-faire, puis avance en parties numérotées I, II, III… Définitions, théorèmes avec démonstration, exemples, encadrés Méthode et figures s'y succèdent. Le chapitre se clôt sur la synthèse « Ce qu'il faut retenir ».
Peut-on réviser un partiel de L2 avec ce manuel ?
Oui : les bilans qui ferment chaque chapitre se relisent vite, et beaucoup de démonstrations rédigées ici tombent souvent en question de cours. Pour s'entraîner, les livres d'exercices et de contrôles L2 reprennent les mêmes chapitres.
Les notions hors programme sont-elles signalées ?
Oui, quand le cours fait un détour, il le dit. Le théorème de réarrangement de Riemann et le phénomène de Gibbs, par exemple, sont présentés comme hors programme : vous savez ainsi ce qui relève de la culture et ce qui doit être maîtrisé.
Quand pourrai-je ouvrir le fichier ?
Dès que PayPal a validé le règlement : l'espace de téléchargement s'affiche aussitôt, et un courriel vous en donne l'adresse pour y revenir plus tard.
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