Si deux droites sécantes en un point sont coupées par deux droites parallèles, alors les longueurs des côtés des deux triangles obtenus sont proportionnelles.
Notation : Dans la configuration où \((MN) \parallel (BC)\) avec \(M \in (AB)\) et \(N \in (AC)\) : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\).
En clair
Deux droites parallèles découpent deux triangles de même forme : leurs côtés sont dans le même rapport d’agrandissement.
Ce qu’il faut retenir
- Il faut impérativement deux droites parallèles pour pouvoir l’appliquer.
- Les trois quotients sont égaux : on choisit les deux qui contiennent la longueur cherchée.
- On écrit les rapports en respectant l’ordre : petit triangle au numérateur, grand triangle au dénominateur.
- Les deux configurations classiques sont le « triangle » et le « papillon » (parallèles de part et d’autre du point d’intersection).
- La réciproque sert à démontrer que deux droites sont parallèles.
Exemple
\((MN) \parallel (BC)\), \(AM = 3\) cm, \(AB = 9\) cm, \(BC = 12\) cm. Alors \(\dfrac{MN}{12} = \dfrac{3}{9} = \dfrac13\), donc \(MN = 4\) cm.
À ne pas confondre avec
- Réciproque du théorème de Thalès — la réciproque sert à démontrer un parallélisme, pas à calculer une longueur.
- Théorème de Pythagore — Pythagore porte sur les triangles rectangles et les carrés des longueurs.
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