Quatrième · Fiche méthode 8 sur 12 · Théorème de Thalès
Comment calculer une longueur avec le théorème de Thalès ?
Dans une configuration de Thalès (deux droites sécantes coupées par deux parallèles), les longueurs sont proportionnelles : $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$. On choisit les deux rapports utiles, et on termine par un produit en croix.
La méthode en 5 étapes
1Vérifier la configuration
Il faut deux droites sécantes en un point, coupées par deux droites parallèles. Le parallélisme doit être donné par l'énoncé ou démontré : sans lui, pas de Thalès.
2Repérer le sommet commun
C'est le point d'intersection des deux droites, souvent nommé $A$. Toutes les longueurs des rapports partent de ce point.
3Écrire les trois rapports
On écrit $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$ en respectant l'ordre : petit triangle au numérateur, grand triangle au dénominateur, toujours dans le même sens.
4Ne garder que les deux rapports utiles
On sélectionne l'égalité qui contient trois longueurs connues et l'inconnue.
5Produit en croix
De $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{x}$ on tire $x = \dfrac{b\times c}{a}$. On calcule, puis on arrondit si nécessaire et on donne l'unité.
Un exemple entièrement résolu
Les points $A$, $M$, $B$ et $A$, $N$, $C$ sont alignés dans cet ordre, et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 3$ cm, $AB = 7{,}5$ cm et $AN = 4$ cm. Calculer $AC$.
Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont sécantes en $A$, et $(MN)\parallel(BC)$ : on est bien dans une configuration de Thalès.
$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$
On garde $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$, c'est-à-dire $\dfrac{3}{7{,}5}=\dfrac{4}{AC}$.
$3\times AC = 7{,}5\times 4 = 30$, donc $AC = \dfrac{30}{3} = 10$ cm.
Conclusion. $AC = 10$ cm. Contrôle : $AC$ doit être plus grand que $AN = 4$ cm, ce qui est bien le cas.
Les erreurs à ne pas faire
- Écrire les rapports dans le désordre, en mélangeant petit et grand triangle d'un rapport à l'autre.
- Utiliser Thalès sans parallèles : c'est l'hypothèse essentielle, elle doit être écrite dans la rédaction.
- Confondre $AB$ et $MB$ : les longueurs des rapports partent toutes du sommet commun $A$.
- Oublier de vérifier la vraisemblance : dans le petit triangle, les longueurs sont plus courtes.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Dans une configuration de Thalès de sommet $A$, $AM = 2$ cm, $AB = 6$ cm, $MN = 3$ cm. Calculer $BC$.
Voir le corrigé
$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}$, soit $\dfrac{2}{6}=\dfrac{3}{BC}$.
Produit en croix : $2\times BC = 18$, donc $BC = 9$ cm.
- Exercice 2
$AM = 4{,}2$ cm, $AB = 7$ cm et $AC = 10$ cm. Calculer $AN$.
Voir le corrigé
$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$, soit $\dfrac{4{,}2}{7}=\dfrac{AN}{10}$.
$7\times AN = 42$, donc $AN = 6$ cm.
- Exercice 3
Un arbre projette une ombre de $9$ m. Au même moment, un piquet de $1{,}5$ m projette une ombre de $2$ m. Quelle est la hauteur de l'arbre ?
Voir le corrigé
Les rayons du soleil étant parallèles, les deux triangles rectangles sont en configuration de Thalès : $\dfrac{h}{1{,}5}=\dfrac{9}{2}$.
$2h = 13{,}5$, donc $h = 6{,}75$ m.
L'arbre mesure $6{,}75$ m.
Questions fréquentes
Comment rédiger l'application du théorème ?
On cite les hypothèses avant le calcul : « Les points $A$, $M$, $B$ d'une part et $A$, $N$, $C$ d'autre part sont alignés, et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$. D'après le théorème de Thalès, $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$. » Sans les hypothèses, la démonstration est incomplète.
Et la configuration en papillon ?
C'est la même chose lorsque les deux parallèles se trouvent de part et d'autre du sommet commun : la figure ressemble à deux triangles pointe contre pointe. Les rapports s'écrivent exactement de la même façon, en partant toujours du sommet commun.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Théorème de Thalès en Quatrième, voici le reste des ressources du site :