Au programme de Terminale
Énoncé du théorème
Si une fonction est continue sur un intervalle \([a\,;\,b]\), alors elle prend au moins une fois toute valeur comprise entre \(f(a)\) et \(f(b)\).
En clair
Une courbe tracée sans lever le crayon d’un point bas vers un point haut passe forcément par toutes les hauteurs intermédiaires.
Ce qu’il faut retenir
- La continuité est indispensable : sans elle, le théorème tombe en défaut.
- Corollaire : si \(f\) est de plus strictement monotone, l’équation \(f(x) = k\) admet une solution unique.
- Cas fréquent : si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes contraires, l’équation \(f(x) = 0\) a une solution dans \(]a\,;\,b[\).
- Le théorème prouve l’existence d’une solution mais ne la calcule pas.
- La méthode de dichotomie permet ensuite d’en obtenir une valeur approchée.
Exemple
\(f(x) = x^3 + x – 1\) est continue et strictement croissante, \(f(0) = -1\) et \(f(1) = 1\) : l’équation \(f(x) = 0\) a une solution unique dans \(]0\,;\,1[\).
À ne pas confondre avec
- Continuité — la continuité est l’hypothèse du théorème.
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Questions fréquentes sur « théorème des valeurs intermédiaires »
Que dit le théorème des valeurs intermédiaires ?
Qu’une fonction continue sur un intervalle prend toutes les valeurs comprises entre les images des extrémités.
Comment prouver qu’une équation admet une solution unique ?
On montre que la fonction est continue et strictement monotone sur l’intervalle, puis que la valeur cherchée est comprise entre les images des bornes.
