Deux droites parallèles coupant un triangle définissent des longueurs proportionnelles.
Déplace $M$ sur $[AB]$ : $N$ suit de sorte que $(MN)\parallel(BC)$ et les trois rapports restent égaux.
Théorème de Thalès
Soit $ABC$ un triangle, $M\in[AB]$ et $N\in[AC]$. Si $(MN)\parallel(BC)$, alors $$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}.$$
Méthode — calculer une longueur
Avec $AM = 3$, $AB = 5$, $BC = 8$ et $(MN)\parallel(BC)$ : $\dfrac{3}{5} = \dfrac{MN}{8}$ donc $MN = \dfrac{3\times 8}{5} = 4{,}8$.
Théorème des milieux
Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté, et le segment joignant ces milieux mesure la moitié du troisième côté.
Théorème — réciproque des milieux
Si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un second côté, alors elle passe par le milieu du troisième côté.
Définition — triangles semblables
Deux triangles sont semblables s'ils ont les mêmes angles. Leurs côtés sont alors proportionnels : les triangles $AMN$ et $ABC$ de la configuration de Thalès sont semblables.
Questions fréquentes sur ce chapitre
Comment appliquer le théorème de Thalès en 4e ?
Si $M\in[AB]$, $N\in[AC]$ et $(MN)\parallel(BC)$, alors $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$. On utilise ces égalités pour calculer une longueur manquante.
Qu'est-ce que des triangles semblables ?
Deux triangles qui ont les mêmes angles ; leurs côtés sont alors proportionnels. Il suffit de deux angles égaux pour conclure.
Comment calculer une longueur avec Thalès ?
On écrit les rapports égaux, on remplace par les longueurs connues, puis on résout avec un produit en croix.
Quelle est la différence entre Thalès en 4e et en 3e ?
En 4e, la configuration est celle des triangles emboîtés ; en 3e on ajoute la configuration « papillon » et la réciproque, qui permet de prouver un parallélisme.