Troisième — chapitre 8 sur 11
Théorème de Thalès et sa réciproque
Thalès sert à calculer une longueur (théorème direct) ou à prouver un parallélisme (réciproque).
Théorème de Thalès
Soient $(d)$ et $(d')$ deux droites sécantes en $A$, $B$ et $M$ sur $(d)$, $C$ et $N$ sur $(d')$, tous distincts de $A$. Si $(BC)\parallel(MN)$, alors $$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}.$$
Cela vaut pour les deux configurations : $M$, $N$ du même côté de $A$ (triangles emboîtés) ou de part et d'autre (papillon).
Théorème — réciproque
Si les points $A, M, B$ d'une part et $A, N, C$ d'autre part sont alignés dans le même ordre, et si $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, alors $(MN)\parallel(BC)$.
Théorème — contraposée
Si $\dfrac{AM}{AB}\ne\dfrac{AN}{AC}$, alors $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.
Méthode — rédiger
- Citer les hypothèses (points alignés, ordre, parallélisme ou rapports).
- Écrire l'égalité des rapports avec les longueurs.
- Calculer par produit en croix, ou comparer les deux rapports.
- Conclure.
Questions fréquentes sur ce chapitre
Comment rédiger le théorème de Thalès ?
On cite les points alignés dans le même ordre, le parallélisme, puis on écrit les trois rapports égaux $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ avant de calculer.
Comment utiliser la réciproque du théorème de Thalès ?
On calcule séparément $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$ ; si les points sont dans le même ordre et les rapports égaux, alors $(MN)\parallel(BC)$.
Comment prouver que deux droites ne sont pas parallèles ?
Avec la contraposée : si les deux rapports sont différents, les droites ne sont pas parallèles.
Qu'est-ce que la configuration papillon ?
Le cas où les droites sécantes se coupent entre les deux parallèles : les triangles $AMN$ et $ABC$ sont opposés par le sommet $A$, et les mêmes égalités de rapports s'appliquent.