Troisième · Fiche méthode 8 sur 12 · Trigonométrie
Comment calculer un angle avec la trigonométrie ?
On repère les deux côtés dont on connaît la longueur, ce qui désigne le rapport à utiliser : CAH – SOH – TOA. On écrit l'égalité, puis on retrouve l'angle avec la touche $\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$.
La méthode en 5 étapes
1Placer l'angle de travail
On l'entoure sur la figure. Les côtés se nomment ensuite par rapport à lui : opposé, adjacent, hypoténuse.
2Repérer les deux côtés connus
Ce sont eux qui imposent le choix du rapport, pas l'inverse.
3Choisir le bon rapport
Cos $=\dfrac{\textbf{A}\text{djacent}}{\textbf{H}\text{ypoténuse}}$, Sin $=\dfrac{\textbf{O}\text{pposé}}{\textbf{H}\text{ypoténuse}}$, Tan $=\dfrac{\textbf{O}\text{pposé}}{\textbf{A}\text{djacent}}$.
4Écrire l'égalité et calculer le rapport
On obtient une valeur décimale, par exemple $\sin(\widehat{A}) = 0{,}6$.
5Utiliser la touche inverse
$\widehat{A} = \sin^{-1}(0{,}6)\approx 36{,}9°$, calculatrice en mode degré. On arrondit comme demandé.
Un exemple entièrement résolu
Un triangle $ABC$ est rectangle en $B$ avec $AB = 4$ cm et $BC = 7$ cm. Calculer l'angle $\widehat{A}$ arrondi au degré.
Par rapport à $\widehat{A}$ : $[BC]$ est le côté opposé, $[AB]$ le côté adjacent. L'hypoténuse $[AC]$ n'est pas connue.
Opposé et adjacent : c'est la tangente.
$\tan(\widehat{A}) = \dfrac{BC}{AB}=\dfrac{7}{4}=1{,}75$.
$\widehat{A} = \tan^{-1}(1{,}75)\approx 60{,}26°$.
Conclusion. $\widehat{A}\approx 60°$ au degré près.
Les erreurs à ne pas faire
- Choisir le rapport avant d'avoir regardé quels côtés sont connus.
- Calculatrice en radians : on obtient alors un angle aberrant.
- Confondre $\cos(\widehat{A})$ et $\cos^{-1}$ : la touche inverse sert à passer du rapport à l'angle, jamais l'inverse.
- Trouver un sinus ou un cosinus supérieur à $1$ : impossible, c'est le signe d'une confusion entre hypoténuse et autre côté.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Dans un triangle rectangle en $H$, $GH = 6$ cm et $GI = 10$ cm avec $[GI]$ hypoténuse. Calculer $\widehat{G}$ au degré près.
Voir le corrigé
$[GH]$ est adjacent à $\widehat{G}$, $[GI]$ est l'hypoténuse : on utilise le cosinus.
$\cos(\widehat{G}) = \dfrac{6}{10}=0{,}6$, donc $\widehat{G} = \cos^{-1}(0{,}6)\approx 53°$.
- Exercice 2
Un triangle $MNP$ est rectangle en $N$, $MP = 13$ cm (hypoténuse) et $NP = 5$ cm. Calculer $\widehat{M}$ au dixième de degré.
Voir le corrigé
$[NP]$ est opposé à $\widehat{M}$, $[MP]$ est l'hypoténuse : on utilise le sinus.
$\sin(\widehat{M}) = \dfrac{5}{13}\approx 0{,}3846$, donc $\widehat{M}\approx 22{,}6°$.
- Exercice 3
Une route monte de $60$ m sur une distance horizontale de $800$ m. Quel angle fait-elle avec l'horizontale ?
Voir le corrigé
Opposé $= 60$ m, adjacent $= 800$ m : on utilise la tangente.
$\tan(\alpha) = \dfrac{60}{800}=0{,}075$, donc $\alpha = \tan^{-1}(0{,}075)\approx 4{,}3°$.
Questions fréquentes
Comment retenir CAH SOH TOA ?
Chaque groupe de trois lettres se lit « rapport = numérateur sur dénominateur » : Cosinus $=$ Adjacent sur Hypoténuse, Sinus $=$ Opposé sur Hypoténuse, Tangente $=$ Opposé sur Adjacent. Les deux premiers ont l'hypoténuse au dénominateur, la tangente ne l'utilise pas.
Quand utiliser Pythagore plutôt que la trigonométrie ?
Pythagore ne fait intervenir que des longueurs : trois côtés, aucun angle. Dès qu'un angle apparaît dans les données ou dans la question, c'est la trigonométrie qu'il faut. Certains exercices demandent les deux à la suite.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Trigonométrie en Troisième, voici le reste des ressources du site :