Suite géométrique : définition, propriété et exemple

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Au programme de 1ère

Définition

Une suite est géométrique lorsqu’on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre non nul, appelé la raison.

Notation : \(u_{n+1} = q\,u_n\), et \(u_n = u_0 \times q^n\).

En clair

C’est une progression « par pourcentage constant » : on multiplie toujours par le même facteur.

La raison est \(q = \dfrac{u_{n+1}}{u_n}\), constante, avec \(u_n \ne 0\).
Formule explicite : \(u_n = u_0 \times q^n\).
Pour \(u_0 > 0\) : croissante si \(q > 1\), décroissante si \(0 < q < 1\).
Somme : \(u_0 + u_1 + \cdots + u_n = u_0 \times \dfrac{1 – q^{n+1}}{1-q}\) pour \(q \ne 1\).
Une évolution de \(t\ \%\) par période donne une suite géométrique de raison \(1 + \dfrac{t}{100}\).

Un placement de 1 000 € à 3 % par an : \(u_n = 1000 \times 1{,}03^n\). Au bout de 10 ans, \(u_{10} \approx 1344\) €.

On calcule \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) : si le quotient est constant, la suite est géométrique.

Si \(-1 < q < 1\), elle tend vers 0 ; si \(q > 1\) et \(u_0 > 0\), elle tend vers \(+\infty\).

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