Suite arithmétique : définition, propriété et exemple

Sommaire

Au programme de 1ère

Définition

Une suite est arithmétique lorsqu’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, appelé la raison.

Notation : \(u_{n+1} = u_n + r\), et \(u_n = u_0 + nr\).

En clair

C’est une progression « par pas constant » : on ajoute toujours la même chose.

La raison est \(r = u_{n+1} – u_n\), constante quel que soit \(n\).
Formule explicite : \(u_n = u_0 + nr\), ou \(u_n = u_p + (n-p)r\).
Elle est croissante si \(r > 0\), décroissante si \(r < 0\), constante si \(r = 0\).
Somme des premiers termes : \(u_0 + u_1 + \cdots + u_n = (n+1)\times \dfrac{u_0 + u_n}{2}\).
La représentation graphique est un nuage de points alignés : une évolution linéaire.

Un capital augmente de 50 € par mois à partir de 200 € : \(u_n = 200 + 50n\). Au bout de 12 mois, \(u_{12} = 800\) €.

On calcule \(u_{n+1} – u_n\) : si la différence est constante, la suite est arithmétique.

\(u_n = u_0 + nr\) si la suite commence au rang 0.

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