Limite d'une suite : définition, propriété et exemple

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Au programme de Terminale

Définition

La limite d’une suite décrit le comportement de ses termes lorsque le rang devient très grand.

Notation : \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n\).

En clair

C’est vers quelle valeur la suite se dirige quand on va très loin dans la liste.

Une suite converge si elle admet une limite finie, sinon elle diverge.
\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac1n = 0\), \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{\sqrt n} = 0\), \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n^2 = +\infty\).
Pour une suite géométrique de raison \(q\) : si \(-1 < q < 1\), \(q^n\) tend vers 0 ; si \(q > 1\), \(q^n\) tend vers \(+\infty\).
Théorème de la limite monotone : une suite croissante et majorée converge.
Théorème des gendarmes : encadrée par deux suites de même limite, une suite a cette limite.

\(u_n = 3 + \dfrac{2}{n}\) : quand \(n\) grandit, \(\dfrac2n\) tend vers 0, donc la suite converge vers 3.

On utilise les limites de référence, les opérations sur les limites, le théorème des gendarmes ou le théorème de la limite monotone.

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