Suite majorée, minorée, bornée : définition et exemple

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Définition

Une suite est majorée s’il existe un nombre que tous ses termes ne dépassent pas ; minorée s’il existe un nombre en dessous duquel elle ne descend pas ; bornée si elle est les deux.

En clair

C’est dire que la suite reste « coincée » sous un plafond, au-dessus d’un plancher, ou entre les deux.

Ce qu’il faut retenir

\((u_n)\) est majorée par \(M\) si \(u_n \le M\) pour tout \(n\).
\((u_n)\) est minorée par \(m\) si \(u_n \ge m\) pour tout \(n\).
Une suite bornée est à la fois majorée et minorée.
Une suite croissante et majorée converge vers une limite finie.
Un majorant n’est pas forcément atteint : ce n’est pas nécessairement un maximum.

Exemple

\(u_n = \dfrac{n}{n+1}\) est croissante et majorée par 1 : elle converge vers 1 sans jamais l’atteindre.

À ne pas confondre avec

Maximum d'une fonction — le maximum est atteint, un majorant ne l’est pas forcément.

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Questions fréquentes sur « suite majorée, minorée, bornée »

Une suite majorée converge-t-elle toujours ?

Non : il faut en plus qu’elle soit croissante. Une suite majorée peut osciller sans converger.

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