Suite définie par récurrence : définition et exemple

Sommaire

Au programme de 1ère

Définition

Une suite est définie par récurrence lorsque chaque terme se calcule à partir du terme précédent, à l’aide d’une relation et d’un premier terme.

Notation : \(\begin{cases} u_0 = a \\ u_{n+1} = f(u_n) \end{cases}\)

En clair

C’est une définition « de proche en proche » : pour connaître le dixième terme, il faut calculer les neuf premiers.

Le premier terme est indispensable : sans lui, la suite n’est pas définie.
Une suite arithmétique vérifie \(u_{n+1} = u_n + r\), une suite géométrique \(u_{n+1} = q\,u_n\).
On construit les premiers termes « en escalier » sur un graphique, à l’aide de la courbe de \(f\) et de la droite \(y = x\).
L’algorithmique se prête bien aux suites récurrentes : une boucle calcule les termes successifs.
La démonstration par récurrence est l’outil pour prouver une propriété valable pour tous les termes.

\(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = 2u_n – 1\) donnent \(u_1 = 5\), \(u_2 = 9\), \(u_3 = 17\).

Formule explicite — l’explicite permet le calcul direct.
Raisonnement par récurrence — le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration.

On part du premier terme, puis on applique la relation de récurrence autant de fois que nécessaire.

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