Première · Fiche méthode 7 sur 12 · Suites
Comment montrer qu'une suite est arithmétique ou géométrique ?
On calcule $u_{n+1}-u_n$ : si le résultat est une constante, la suite est arithmétique de raison $r$. Sinon on calcule $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ : si c'est une constante, la suite est géométrique de raison $q$.
La méthode en 5 étapes
1Exprimer u(n+1)
On remplace chaque $n$ par $n+1$ dans la formule, avec des parenthèses. C'est l'étape où se glissent la plupart des erreurs.
2Calculer la différence
$u_{n+1}-u_n$, développé et réduit. Si tous les $n$ disparaissent, la suite est arithmétique et la constante obtenue est la raison.
3Sinon, calculer le quotient
$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$, simplifié. Si le résultat ne dépend plus de $n$, la suite est géométrique de raison ce quotient.
4Rédiger la conclusion
« Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n = 3$ : la suite est arithmétique de raison $3$ et de premier terme $u_0 = \ldots$ »
5En déduire le terme général
Arithmétique : $u_n = u_0+nr$. Géométrique : $u_n = u_0\times q^n$. Si le premier terme est $u_1$, les formules deviennent $u_1+(n-1)r$ et $u_1\times q^{n-1}$.
Un exemple entièrement résolu
Soit $(u_n)$ définie par $u_n = 5n-3$ et $(v_n)$ définie par $v_n = 4\times 2^n$. Déterminer la nature de chaque suite.
$u_{n+1} = 5(n+1)-3 = 5n+5-3 = 5n+2$.
$u_{n+1}-u_n = (5n+2)-(5n-3) = 5$. La constante ne dépend pas de $n$.
$v_{n+1} = 4\times 2^{n+1} = 4\times 2^n\times 2$.
$\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{4\times 2^n\times 2}{4\times 2^n}=2$, constante.
Conclusion. $(u_n)$ est arithmétique de raison $5$ et de premier terme $u_0 = -3$ ; $(v_n)$ est géométrique de raison $2$ et de premier terme $v_0 = 4$.
Les erreurs à ne pas faire
- Remplacer $n$ par $n+1$ sans parenthèses : $5(n+1)-3$ et non $5n+1-3$.
- Vérifier sur les trois premiers termes et conclure : ce n'est pas une démonstration, il faut raisonner pour tout $n$.
- Calculer $u_n-u_{n+1}$ : la raison serait l'opposée de la bonne.
- Calculer un quotient sans s'assurer que $u_n$ ne s'annule jamais.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
La suite définie par $u_n = 7-2n$ est-elle arithmétique ?
Voir le corrigé
$u_{n+1} = 7-2(n+1) = 5-2n$, donc $u_{n+1}-u_n = (5-2n)-(7-2n) = -2$.
Oui : elle est arithmétique de raison $-2$, donc décroissante, avec $u_0 = 7$.
- Exercice 2
La suite définie par $u_{n+1} = 3u_n$ et $u_0 = 5$ : quelle est sa nature et son terme général ?
Voir le corrigé
Chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par $3$ : la suite est géométrique de raison $3$.
$u_n = 5\times 3^n$. Par exemple $u_4 = 5\times 81 = 405$.
- Exercice 3
Un capital de $2\,000$ € est placé à $3\,\%$ par an. Modéliser le capital $C_n$ après $n$ années.
Voir le corrigé
Chaque année, le capital est multiplié par $1{,}03$ : la suite est géométrique de raison $1{,}03$.
$C_n = 2000\times 1{,}03^n$. Après $10$ ans : $C_{10}\approx 2\,687{,}83$ €.
Questions fréquentes
Une suite peut-elle être ni l'une ni l'autre ?
Oui, et c'est le cas le plus fréquent : $u_n = n^2$ n'est ni arithmétique (la différence $2n+1$ dépend de $n$) ni géométrique. On le montre en exhibant deux différences ou deux quotients distincts, par exemple sur les premiers termes, ce qui suffit pour un contre-exemple.
Comment reconnaître la nature dans un problème concret ?
On repère si l'évolution est additive ou multiplicative. « On ajoute $50$ € chaque mois » : suite arithmétique. « Le capital augmente de $3\,\%$ par an » ou « la population diminue de moitié » : suite géométrique, car un pourcentage correspond à une multiplication.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Suites en Première, voici le reste des ressources du site :