Terminale · Fiche méthode 1 sur 12 · Limites
Comment calculer une limite ?
On commence toujours par remplacer pour voir ce qui se passe. Si le calcul aboutit, la limite est trouvée ; s'il donne une des quatre formes indéterminées ($\infty-\infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $0\times\infty$, $\dfrac{0}{0}$), il faut transformer l'expression.
La méthode en 5 étapes
1Identifier le point d'étude
Limite en $+\infty$, en $-\infty$, ou en un réel $a$ ? Et, en un réel, à gauche ou à droite ? Cela change parfois le résultat.
2Utiliser les limites de référence
$\lim_{x\to+\infty} x^n = +\infty$ ; $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x} = 0$ ; $\lim_{x\to+\infty}\mathrm{e}^x = +\infty$ ; $\lim_{x\to-\infty}\mathrm{e}^x = 0$ ; $\lim_{x\to 0^+}\ln x = -\infty$.
3Appliquer les opérations sur les limites
Somme, produit, quotient : les règles fonctionnent tant qu'on ne tombe pas sur une forme indéterminée.
4Détecter une forme indéterminée
Les quatre formes à connaître : $\infty-\infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $0\times\infty$ et $\dfrac{0}{0}$. Elles ne signifient pas « pas de limite » mais « il faut transformer ».
5Interpréter graphiquement
Une limite finie $\ell$ en $\pm\infty$ donne une asymptote horizontale $y = \ell$ ; une limite infinie en $a$ donne une asymptote verticale $x = a$.
Un exemple entièrement résolu
Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2+5}{x^2-1}$ et $\lim\limits_{x\to 2^+}\dfrac{1}{x-2}$.
Numérateur et dénominateur tendent vers $+\infty$ : c'est la forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$.
$\dfrac{3x^2+5}{x^2-1}=\dfrac{x^2\left(3+\frac{5}{x^2}\right)}{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}=\dfrac{3+\frac{5}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}$.
Les termes en $\dfrac{1}{x^2}$ tendent vers $0$ : la limite vaut $\dfrac{3}{1}=3$. La courbe admet l'asymptote horizontale $y = 3$.
Quand $x\to 2^+$, on a $x-2\to 0$ en restant positif, donc $\dfrac{1}{x-2}\to+\infty$. La droite $x = 2$ est asymptote verticale.
Conclusion. $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2+5}{x^2-1} = 3$ et $\lim\limits_{x\to 2^+}\dfrac{1}{x-2} = +\infty$.
Les erreurs à ne pas faire
- Écrire $\dfrac{\infty}{\infty} = 1$ : une forme indéterminée n'a pas de valeur, elle demande un calcul.
- Oublier d'étudier le signe du dénominateur qui tend vers zéro : à gauche et à droite, les limites sont souvent opposées.
- Confondre « la limite est infinie » et « la limite n'existe pas » : ce sont deux situations différentes.
- Appliquer une limite de référence sans vérifier le sens de variation du point d'étude ($+\infty$ ou $-\infty$).
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}(x^3-5x)$.
Voir le corrigé
Forme $\infty-\infty$. On factorise par le terme dominant : $x^3\left(1-\dfrac{5}{x^2}\right)$.
$x^3\to+\infty$ et la parenthèse tend vers $1$ : la limite vaut $+\infty$.
- Exercice 2
Calculer $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{2x+1}{x^2+3}$.
Voir le corrigé
Forme $\dfrac{\infty}{\infty}$. On factorise : $\dfrac{x\left(2+\frac{1}{x}\right)}{x^2\left(1+\frac{3}{x^2}\right)}=\dfrac{1}{x}\times\dfrac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{3}{x^2}}$.
Le premier facteur tend vers $0$, le second vers $2$ : la limite vaut $0$. La courbe a pour asymptote l'axe des abscisses.
- Exercice 3
Calculer $\lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{3}{x}$ et $\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{3}{x}$.
Voir le corrigé
À gauche, $x$ tend vers $0$ en restant négatif : le quotient tend vers $-\infty$.
À droite, $x$ reste positif : le quotient tend vers $+\infty$. Les deux limites diffèrent, la fonction n'a pas de limite en $0$.
Questions fréquentes
Combien y a-t-il de formes indéterminées ?
Quatre : $\infty-\infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $0\times\infty$ et $\dfrac{0}{0}$. Toutes les autres situations se règlent par les règles d'opérations. Savoir les reconnaître immédiatement évite de chercher à transformer une expression qui n'en a pas besoin.
Comment lire une limite sur un graphique ?
Une asymptote horizontale $y = \ell$ traduit une limite finie $\ell$ à l'infini ; une asymptote verticale $x = a$ traduit une limite infinie en $a$. Attention, la courbe peut couper une asymptote horizontale : l'asymptote décrit le comportement à l'infini, pas une barrière.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Limites en Terminale, voici le reste des ressources du site :