Limite d'une fonction : définition, propriété et exemple

Sommaire

Au programme de Terminale

Définition

La limite d’une fonction décrit le comportement de ses valeurs lorsque la variable s’approche d’une valeur donnée ou tend vers l’infini.

Notation : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell\).

En clair

C’est répondre à la question : vers quoi la fonction se dirige-t-elle ?

Ce qu’il faut retenir

Une limite peut être finie (\(\ell\)), infinie (\(\pm\infty\)), ou ne pas exister.
Une limite finie en \(+\infty\) correspond à une asymptote horizontale.
Une limite infinie en \(a\) correspond à une asymptote verticale d’équation \(x = a\).
Le comportement d’un polynôme en l’infini est celui de son terme de plus haut degré.
Les formes indéterminées \(\dfrac{\infty}{\infty}\), \(\dfrac00\), \(\infty – \infty\) et \(0 \times \infty\) demandent une transformation de l’écriture.

Exemple

\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{3x^2+1}{x^2-5} = 3\) : on factorise par \(x^2\) au numérateur et au dénominateur.

À ne pas confondre avec

Asymptote — l’asymptote est la droite dont la courbe se rapproche, conséquence d’une limite.
Limite d'une suite — pour une suite, la variable est un entier qui tend vers l’infini.

Réviser cette notion sur Mathovore

Termes liés

Asymptote
Continuité
Limite d'une suite
Croissances comparées
Fonction polynôme
Aire sous la courbe
Convexité
Équation différentielle
Intégrale
Logarithme népérien

Questions fréquentes sur « limite d'une fonction »

Qu’est-ce qu’une forme indéterminée ?

Une écriture comme \(\dfrac{\infty}{\infty}\) ou \(\infty – \infty\) qui ne permet pas de conclure directement : il faut factoriser, simplifier ou utiliser les croissances comparées.