Corrigé du contrôle de maths 5ème : fractions égales et comparaison de fractions

Exercice 1 : Des fractions égales (4 points)

1. On ne change pas une fraction en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

   \(15 = 3 \times 5\), donc \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 5}{3 \times 5}\) : \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{15}\).

   \(21 = 7 \times 3\), donc \(\dfrac{7}{4} = \dfrac{7 \times 3}{4 \times 3}\) : \(\dfrac{7}{4} = \dfrac{21}{12}\).

   \(48 : 12 = 4\), donc \(\dfrac{36}{48} = \dfrac{36 : 12}{48 : 12}\) : \(\dfrac{36}{48} = \dfrac{3}{4}\).

   \(5 = \dfrac{5}{1} = \dfrac{5 \times 6}{1 \times 6}\) : \(5 = \dfrac{30}{6}\).

2. \(\dfrac{6}{14} = \dfrac{6 : 2}{14 : 2} = \dfrac{3}{7}\) et \(\dfrac{9}{21} = \dfrac{9 : 3}{21 : 3} = \dfrac{3}{7}\). Les deux fractions sont égales à \(\dfrac{3}{7}\), donc elles sont égales.
3. En multipliant le numérateur et le dénominateur par 2, 3 puis 10 : \(\dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{12}{15} = \dfrac{40}{50}\) (d’autres réponses sont possibles).

Erreur fréquente : ajouter le même nombre en haut et en bas, par exemple écrire \(\dfrac{7}{4} = \dfrac{21}{18}\) en ajoutant 14. Seules la multiplication et la division conservent la fraction.

Barème : a) 0,5 point par égalité ; b) 1 point : 0,5 point pour chaque fraction simplifiée ou une autre justification correcte, la conclusion étant exigée ; c) 1 point : on retire 0,5 point par fraction fausse.

Exercice 2 : Fraction quotient et écriture décimale (4 points)

1. \(\dfrac{a}{b}\) est le nombre qui, multiplié par b, donne a.

   \(3 \times \dfrac{7}{3} = 7\) ; \(8 \times \dfrac{5}{8} = 5\) ; \(9 \times \dfrac{4}{9} = 4\).

2. \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{100}\) ; \(\dfrac{7}{5} = \dfrac{14}{10}\) ; \(\dfrac{9}{20} = \dfrac{45}{100}\).

   \(\dfrac{3}{4} = 0{,}75\) ; \(\dfrac{7}{5} = 1{,}4\) ; \(\dfrac{9}{20} = 0{,}45\).

3. \(17 = 5 \times 3 + 2\), donc \(\dfrac{17}{5} = \dfrac{15}{5} + \dfrac{2}{5}\) : \(\dfrac{17}{5} = 3 + \dfrac{2}{5}\).

   \(23 = 4 \times 5 + 3\), donc \(\dfrac{23}{4} = \dfrac{20}{4} + \dfrac{3}{4}\) : \(\dfrac{23}{4} = 5 + \dfrac{3}{4}\).

4. \(\dfrac{17}{5}\) vaut 3 plus une fraction comprise entre 0 et 1. \(3 < \dfrac{17}{5} < 4\).

Barème : a) 1 point : on retire 0,5 point par erreur ; b) 0,5 point par écriture décimale ; c) 0,5 point par écriture ; d) 0,5 point.

Exercice 3 : Sur une droite graduée en quarts (4 points)

1. Chaque graduation vaut \(\dfrac{1}{4}\). A est à 3 graduations de l’origine, B à 7 et C à 10.

   A a pour abscisse \(\dfrac{3}{4}\) ; B a pour abscisse \(\dfrac{7}{4}\) ; C a pour abscisse \(\dfrac{10}{4}\).

2. \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}\) : D est à 2 graduations de l’origine. E est à 9 graduations, F à 11 graduations.

   

3. \(\dfrac{10}{4} = \dfrac{10 : 2}{4 : 2}\). L’abscisse de C est \(\dfrac{5}{2}\).

Barème : a) 0,5 point par abscisse ; b) 0,5 point par point bien placé ; c) 1 point : 0,5 point pour la méthode, 0,5 point pour le résultat.

Exercice 4 : Comparer et ranger des fractions (5 points)

1. Une fraction est inférieure à 1 si son numérateur est plus petit que son dénominateur, supérieure à 1 s’il est plus grand, égale à 1 s’ils sont égaux.

   \(\dfrac{7}{9} < 1\) ; \(\dfrac{12}{11} > 1\) ; \(\dfrac{15}{15} = 1\).

2. Même dénominateur : la plus grande fraction est celle qui a le plus grand numérateur. \(\dfrac{5}{8} > \dfrac{3}{8}\).

   Même numérateur : la plus grande fraction est celle qui a le plus petit dénominateur (on partage en moins de parts, donc chaque part est plus grande). \(\dfrac{4}{7} > \dfrac{4}{9}\).

   12 est un multiple de 3 : \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}\) et \(8 > 7\). \(\dfrac{2}{3} > \dfrac{7}{12}\).

   20 est un multiple de 5 : \(\dfrac{3}{5} = \dfrac{12}{20}\) et \(12 < 13\). \(\dfrac{3}{5} < \dfrac{13}{20}\).

3. On met toutes les fractions au dénominateur 12 : \(\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}\) ; \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}\) ; \(\dfrac{7}{12}\) ; \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}\).

   Comme \(7 < 8 < 9 < 10\) : \(\dfrac{7}{12} < \dfrac{2}{3} < \dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}\).

Erreur fréquente : penser que \(\dfrac{4}{9}\) est plus grand que \(\dfrac{4}{7}\) parce que 9 est plus grand que 7. Un quart de pizza est plus petit qu’une demi-pizza : plus on partage, plus les parts sont petites.

Barème : a) 0,5 point par comparaison ; b) 0,5 point par comparaison justifiée (0,25 point sans justification) ; c) 1,5 point : 0,5 point pour la mise au même dénominateur, 1 point pour le rangement juste.

Exercice 5 : Trois lecteurs et un roman (3 points)

1. \(\dfrac{5}{8}\) de 240 : \(240 : 8 = 30\), puis \(30 \times 5 = 150\). Hugo a lu 150 pages.
2. Nadia : \(240 : 4 = 60\), puis \(60 \times 3 = 180\). Nadia a lu 180 pages.

   Sami : \(240 : 12 = 20\), puis \(20 \times 7 = 140\). Sami a lu 140 pages.

3. On met les trois fractions au dénominateur 24, qui est un multiple de 8, de 4 et de 12 :

   \(\dfrac{5}{8} = \dfrac{15}{24}\) ; \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{18}{24}\) ; \(\dfrac{7}{12} = \dfrac{14}{24}\).

   Donc \(\dfrac{7}{12} < \dfrac{5}{8} < \dfrac{3}{4}\). Nadia a lu le plus et Sami le moins, ce que confirment les nombres de pages : \(140 < 150 < 180\).

Barème : a) 1 point : 0,5 point pour la méthode, 0,5 point pour le résultat ; b) 0,5 point par élève ; c) 1 point : 0,5 point pour le même dénominateur, 0,5 point pour la conclusion vérifiée.

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Après le corrigé du contrôle : fractions égales et comparaison de fractions

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