Corrigé du contrôle de maths 5ème : distributivité, réduction et équations

Exercice 1 : Somme ou produit et réduction (4 points)

1. On regarde la dernière opération à effectuer.
   \(3x + 5\) : on calcule d’abord \(3x\), puis on ajoute 5, c’est une somme.
   \(3(x + 5)\) : on calcule d’abord la parenthèse, puis on multiplie par 3, c’est un produit.
   \(4 \times a \times b\) : c’est un produit.
   \(2a – 7\) : on termine par une soustraction, c’est une différence.
2. \(5x + 3x = (5 + 3)x = 8x\) ; \(9a – 4a = (9 – 4)a = 5a\) ; \(x + x + x = 3x\) ;
   \(2y + 7 + 3y + 1 = 2y + 3y + 7 + 1 = 5y + 8\).
   Résultats : \(8x\) ; \(5a\) ; \(3x\) ; \(5y + 8\).
3. Pour \(x = 2\) : \(4x + 3 = 4 \times 2 + 3 = 8 + 3 = 11\) et \(7x = 7 \times 2 = 14\). Comme \(11 \neq 14\), l’égalité est fausse pour \(x = 2\) : Nina s’est trompée. On ne peut pas additionner des « x » et des nombres : \(4x + 3\) ne se réduit pas.

Erreur fréquente : écrire \(2y + 7 + 3y + 1 = 13y\) en mélangeant les termes en \(y\) et les nombres.

Barème : a) 0,25 point par expression ; b) 0,5 point par réduction ; c) 0,5 point pour les deux calculs, 0,5 point pour la conclusion.

Exercice 2 : Développer et factoriser (4 points)

1. Première façon : le grand rectangle a pour dimensions 3 et \(x + 4\), donc son aire est \(3(x + 4)\).
   Deuxième façon : on ajoute les aires des rectangles 1 et 2 : \(3 \times x + 3 \times 4 = 3x + 12\).
   On obtient l’égalité \(3(x + 4) = 3x + 12\) (en \(\text{cm}^2\)) : c’est la distributivité.
2. \(5(2a – 1) = 5 \times 2a – 5 \times 1 = 10a – 5\) ;
   \(7(y + 2) = 7 \times y + 7 \times 2 = 7y + 14\).
   Résultats : \(10a – 5\) et \(7y + 14\).
3. \(5a + 15 = 5 \times a + 5 \times 3 = 5(a + 3)\) ;
   \(8x – 8 = 8 \times x – 8 \times 1 = 8(x – 1)\).
   Résultats : \(5(a + 3)\) et \(8(x – 1)\).
4. \(13 \times 99 = 13 \times (100 – 1) = 13 \times 100 – 13 \times 1 = 1\,300 – 13 = 1\,287\). \(13 \times 99 = 1\,287\).

Barème : a) 0,25 point par expression de l’aire, 0,5 point pour l’égalité ; b) 0,5 point par développement ; c) 0,5 point par factorisation ; d) 0,5 point pour l’utilisation de la distributivité, 0,5 point pour le résultat.

Exercice 3 : Tester et démontrer (4 points)

1. Pour \(x = 2\) : \(4 \times 2 + 1 = 9\) et \(2 \times 2 + 7 = 11\). Comme \(9 \neq 11\), l’égalité est fausse pour \(x = 2\).
   Pour \(x = 3\) : \(4 \times 3 + 1 = 13\) et \(2 \times 3 + 7 = 13\). L’égalité est vraie pour \(x = 3\).
2. Pour \(x = 0\) : \(2(0 + 3) = 2 \times 3 = 6\) et \(2 \times 0 + 3 = 3\). Comme \(6 \neq 3\), \(x = 0\) est un contre-exemple : Léo a tort. (En développant correctement : \(2(x + 3) = 2x + 6\).)
3. \(7 + 8 + 9 = 24\), et \(24 = 3 \times 8\) est bien un multiple de 3.
   Soit \(n\) le plus petit des trois entiers consécutifs. Les deux suivants sont \(n + 1\) et \(n + 2\).
   \(n + (n + 1) + (n + 2) = n + n + n + 1 + 2 = 3n + 3 = 3(n + 1)\).
   La somme est égale à \(3 \times (n + 1)\), où \(n + 1\) est un nombre entier : c’est donc toujours un multiple de 3. (On remarque même que c’est 3 fois le nombre du milieu : \(24 = 3 \times 8\).)

Barème : a) 0,75 point par valeur testée (calculs et conclusion) ; b) 0,5 point pour les calculs, 0,5 point pour la conclusion ; c) 0,25 point pour \(7 + 8 + 9 = 24\), 0,75 point pour \(3n + 3\), 0,5 point pour la factorisation et la conclusion.

Exercice 4 : Résoudre des équations (4 points)

1. On soustrait 7 : \(x = 15 – 7 = 8\). Vérification : \(8 + 7 = 15\). La solution est 8.
2. On divise par 6 : \(x = 42 : 6 = 7\). Vérification : \(6 \times 7 = 42\). La solution est 7.
3. On ajoute \(3{,}5\) : \(x = 9 + 3{,}5 = 12{,}5\). Vérification : \(12{,}5 – 3{,}5 = 9\). La solution est 12,5.
4. On divise par 4 : \(x = 10 : 4 = 2{,}5\). Vérification : \(4 \times 2{,}5 = 10\). La solution est 2,5 (ou \(\frac{10}{4} = \frac{5}{2}\)).

Erreur fréquente : en d), soustraire 4 au lieu de diviser par 4. Dans \(4x\), le nombre 4 multiplie \(x\) : l’opération inverse est la division.

Barème : pour chaque équation, 0,5 point pour l’opération inverse, 0,25 point pour la solution, 0,25 point pour la vérification.

Exercice 5 : L’enclos des chèvres (4 points)

1. La largeur est \(x\) et la longueur est \(3x\). Le périmètre est la somme des quatre côtés :
   \(P = 3x + x + 3x + x = 8x\). Le périmètre de l’enclos est \(8x\) mètres.
2. \(2(3x + x) = 2 \times 3x + 2 \times x = 6x + 2x = 8x\). On retrouve bien \(8x\).
3. Le périmètre doit être égal à 48 m, donc l’équation est \(8x = 48\).
   On divise par 8 : \(x = 48 : 8 = 6\). Vérification : \(8 \times 6 = 48\). La solution est \(x = 6\).
4. La largeur est 6 m et la longueur est \(3 \times 6 = 18\) m. Vérification : \(6 + 18 + 6 + 18 = 48\). L’enclos mesure 18 m de long et 6 m de large.

Barème : a) 0,5 point pour la somme des quatre côtés, 1 point pour la réduction \(8x\) ; b) 0,5 point ; c) 0,5 point pour l’équation, 0,5 point pour la résolution, 0,5 point pour la vérification ; d) 0,5 point pour les deux dimensions avec l’unité.

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Après le corrigé du contrôle : distributivité, réduction et équations

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