Corrigé du contrôle de maths 5ème : additionner et soustraire des fractions

Exercice 1 : Même dénominateur (3 points)

Les fractions ont le même dénominateur : on garde ce dénominateur et on additionne (ou on soustrait) les numérateurs.

1. \(\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3 + 2}{7} = \frac{5}{7}\). Résultat : \(\frac{5}{7}\).
2. \(\frac{11}{9} – \frac{4}{9} = \frac{11 – 4}{9} = \frac{7}{9}\). Résultat : \(\frac{7}{9}\).
3. \(\frac{5}{12} + \frac{1}{12} + \frac{7}{12} = \frac{5 + 1 + 7}{12} = \frac{13}{12}\). Résultat : \(\frac{13}{12}\).
4. \(\frac{13}{5} – \frac{6}{5} – \frac{2}{5} = \frac{13 – 6 – 2}{5} = \frac{5}{5} = 1\). Résultat : 1.

Erreur fréquente : additionner aussi les dénominateurs, par exemple écrire \(\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{14}\). Or trois septièmes plus deux septièmes font cinq septièmes, comme 3 pommes plus 2 pommes font 5 pommes.

Barème : a) et b) 0,5 point chacune ; c) 1 point (0,5 pour la méthode, 0,5 pour le résultat) ; d) 1 point (0,5 pour \(\frac{5}{5}\), 0,5 pour l’écriture sous la forme de l’entier 1).

Exercice 2 : Réduire au même dénominateur (5 points)

1. 8 est un multiple de 2 : \(\frac{1}{2} = \frac{1 \times 4}{2 \times 4} = \frac{4}{8}\).
   \(\frac{1}{2} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} = \frac{7}{8}\). Résultat : \(\frac{7}{8}\).
2. 6 est un multiple de 3 : \(\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}\).
   \(\frac{5}{6} – \frac{2}{3} = \frac{5}{6} – \frac{4}{6} = \frac{1}{6}\). Résultat : \(\frac{1}{6}\).
3. 10 est un multiple de 5 : \(\frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10}\).
   \(\frac{7}{10} + \frac{3}{5} = \frac{7}{10} + \frac{6}{10} = \frac{13}{10}\). Résultat : \(\frac{13}{10}\) (soit \(1{,}3\)).
4. 12 est un multiple de 4 : \(\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}\).
   \(\frac{3}{4} – \frac{5}{12} = \frac{9}{12} – \frac{5}{12} = \frac{4}{12}\). Résultat : \(\frac{4}{12}\), que l’on peut simplifier en \(\frac{1}{3}\) (en divisant le numérateur et le dénominateur par 4).
5. Hugo a additionné les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, ce qui est faux : on ne peut additionner les numérateurs que lorsque les dénominateurs sont égaux. D’ailleurs \(\frac{3}{7}\) est plus petit que \(\frac{1}{2}\), alors que \(\frac{2}{3}\) à lui seul est déjà plus grand que \(\frac{1}{2}\).
   12 est un multiple de 3 et de 4 : \(\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}\) et \(\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}\).
   \(\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}\). Résultat : \(\frac{11}{12}\).

Barème : a) à d) 1 point chacune : 0,5 point pour la fraction transformée au bon dénominateur, 0,5 point pour le résultat ; e) 0,5 point pour l’explication de l’erreur, 0,5 point pour le calcul correct.

Exercice 3 : Un entier et une fraction (3 points)

1. \(2 = \frac{10}{5}\), donc \(2 + \frac{3}{5} = \frac{10}{5} + \frac{3}{5} = \frac{13}{5}\). Résultat : \(\frac{13}{5}\).
2. \(1 = \frac{8}{8}\), donc \(1 – \frac{3}{8} = \frac{8}{8} – \frac{3}{8} = \frac{5}{8}\). Résultat : \(\frac{5}{8}\).
3. \(4 = \frac{12}{3}\), donc \(4 – \frac{7}{3} = \frac{12}{3} – \frac{7}{3} = \frac{5}{3}\). Résultat : \(\frac{5}{3}\).

Barème : 1 point par calcul : 0,5 point pour l’entier écrit sous forme de fraction, 0,5 point pour le résultat.

Exercice 4 : Le jardin partagé (4 points)

1. Le jardin compte \(6 \times 4 = 24\) carrés identiques.
   Tomates : 8 carrés, soit \(\frac{8}{24} = \frac{1}{3}\) (on divise par 8).
   Salades : 6 carrés, soit \(\frac{6}{24} = \frac{1}{4}\) (on divise par 6).
   Fleurs : 4 carrés, soit \(\frac{4}{24} = \frac{1}{6}\) (on divise par 4).
   Les tomates occupent \(\frac{1}{3}\) du jardin, les salades \(\frac{1}{4}\) et les fleurs \(\frac{1}{6}\).
2. \(\frac{1}{3} = \frac{4}{12}\) ; \(\frac{1}{4} = \frac{3}{12}\) ; \(\frac{1}{6} = \frac{2}{12}\).
   \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{9}{12}\).
   Le résultat \(\frac{9}{12}\) (ou \(\frac{3}{4}\)) est la fraction du jardin occupée par les cultures (tomates, salades et fleurs).
3. Le jardin entier correspond à 1, donc le gazon occupe \(1 – \frac{9}{12} = \frac{12}{12} – \frac{9}{12} = \frac{3}{12}\), soit \(\frac{1}{4}\).
   Vérification : il y a 6 carrés G sur 24, et \(\frac{6}{24} = \frac{1}{4}\). On a bien \(\frac{9}{12} + \frac{3}{12} = \frac{12}{12} = 1\). Le gazon occupe \(\frac{3}{12} = \frac{1}{4}\) du jardin.

Barème : a) 0,5 point par fraction juste (une fraction non simplifiée juste rapporte 0,25 point) ; b) 1 point pour le calcul, 0,5 point pour l’interprétation ; c) 0,5 point pour le calcul \(1 – \frac{9}{12}\), 0,5 point pour la vérification sur la figure.

Exercice 5 : Le budget de Chloé (5 points)

1. \(\frac{2}{5} = \frac{4}{10}\), donc \(\frac{2}{5} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\). Les livres et le cinéma représentent bien la moitié de son argent de poche.
2. Elle a dépensé en tout \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\), et \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4}\), donc \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\). Chloé a dépensé \(\frac{3}{4}\) de son argent de poche.
3. \(1 – \frac{3}{4} = \frac{4}{4} – \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\). Chloé met \(\frac{1}{4}\) de son argent de poche dans sa tirelire.
4. Pour prendre une fraction de 60 €, on divise par le dénominateur puis on multiplie par le numérateur.
   Livres : \(60 : 5 \times 2 = 12 \times 2 = 24\) €.
   Cinéma : \(60 : 10 = 6\) €.
   Cadeau : \(60 : 4 = 15\) €.
   Tirelire : \(60 : 4 = 15\) €.
   Vérification : \(24 + 6 + 15 + 15 = 60\) €. Chloé dépense 24 € en livres, 6 € au cinéma, 15 € pour le cadeau, et met 15 € dans sa tirelire ; le total fait bien 60 €.

Erreur fréquente : oublier que « le reste » se calcule en partant de 1, c’est-à-dire de la totalité de l’argent de poche.

Barème : a) 0,5 point pour la mise au dénominateur 10, 0,5 point pour la conclusion ; b) 1 point pour le calcul, 0,5 point pour la phrase-réponse ; c) 1 point ; d) 1 point pour les quatre montants, 0,5 point pour la vérification.

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Après le corrigé du contrôle : additionner et soustraire des fractions

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