Corrigé du sujet
Partie 1 — Automatismes :
Question 1
On range d’abord la série dans l’ordre croissant : 7 ; 7 ; 9 ; 9 ; 12 ; 23 ; 25. Elle compte 7 valeurs, un nombre impair, donc la médiane est la valeur placée au centre, la 4e : trois valeurs sont avant elle, trois après. La médiane est 9.
Question 2
On veut un nombre entre 1 et 10 multiplié par une puissance de 10. On place la virgule après le premier chiffre non nul, le 4 : on obtient 4,57. Pour retrouver 0,000 457, il faut déplacer la virgule de 4 rangs vers la gauche, c’est-à-dire multiplier par \(10^{-4}\). \(0{,}000\,457 = 4{,}57 \times 10^{-4}\).
Question 3
Le triangle est rectangle en B : les deux côtés de l’angle droit, [AB] et [BC], jouent le rôle de base et de hauteur. Le côté de 10 cm (l’hypoténuse) ne sert pas.
\[\mathcal{A} = \dfrac{\text{AB} \times \text{BC}}{2} = \dfrac{8 \times 6}{2} = 24\]
L’aire du triangle est 24 cm².
Question 4
Il y a au total \(6 + 5 + 4 = 15\) beignets, tous identiques donc ayant la même chance d’être pris, dont 4 à la framboise. La probabilité est \(\dfrac{4}{15}\).
Question 5
10 % de 800 €, c’est \(\dfrac{10}{100} \times 800 = 80\) €. On retire la réduction : \(800 – 80 = 720\). On peut aussi multiplier directement par le coefficient \(0{,}9\) : \(800 \times 0{,}9 = 720\). L’article coûte 720 € après réduction.
Question 6
On distribue \(4y\) sur chacun des deux termes de la parenthèse :
\[B = 4y \times 3y – 4y \times 1 = 12y^2 – 4y\]
\(B = 12y^2 – 4y\).
Question 7
On sait que \(1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3\) et, comme 1 dm = 10 cm, \(1\ \text{dm}^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000\ \text{cm}^3\). Il suffit donc de multiplier par 1 000 : \(3{,}57 \times 1\,000 = 3\,570\). \(3{,}57\ \text{L} = 3\,570\ \text{cm}^3\).
Question 8
On remplace \(x\) par 4 dans l’expression de \(f\) : \(f(4) = 3 \times 4 – 5 = 12 – 5 = 7\). L’image de 4 est 7 (réponse B).
Question 9
Appelons O le point où se croisent les diagonales. Le codage indique que O est le milieu de [AC] (même trait simple sur [AO] et [OC]) et le milieu de [BD] (même trait double sur [BO] et [OD]). Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme. En revanche, rien n’indique que les diagonales ont la même longueur (les codages sont différents), ni qu’elles sont perpendiculaires (aucun angle droit codé) : on ne peut donc conclure ni au rectangle, ni au losange, ni au carré. ABCD est un parallélogramme (réponse D).
Exercice 1 :
Partie A
1. Calculs pour \(x = 10\).
La figure indique \(\text{AB} = 3x + 1\). Pour \(x = 10\) : \(\text{AB} = 3 \times 10 + 1 = 31\). AB = 31.
La largeur vaut \(\text{AD} = x – 2 = 10 – 2 = 8\). Dans un rectangle, les côtés opposés ont la même longueur, donc le périmètre vaut deux longueurs plus deux largeurs :
\[\mathcal{P} = 2 \times 31 + 2 \times 8 = 62 + 16 = 78\]
Le périmètre du rectangle vaut bien 78 pour \(x = 10\).
2. Périmètre en fonction de \(x\).
On fait le même calcul avec les expressions littérales :
\[\mathcal{P} = 2(3x + 1) + 2(x – 2) = 6x + 2 + 2x – 4 = 8x – 2\]
Le périmètre du rectangle ABCD est bien \(8x – 2\). (Contrôle : pour \(x = 10\), \(80 – 2 = 78\).)
Partie B
1. Ce qu’affiche le programme pour 7.
Le programme calcule \(8 \times 7 – 2 = 54\) pour le rectangle et \(6 \times 7 + 9 = 51\) pour le triangle. Comme \(54 \neq 51\), la condition du bloc « si » est fausse et c’est la branche « sinon » qui s’exécute. Le programme dit « Les deux périmètres ne sont pas égaux » pendant 2 secondes.
2. a. Formule de la cellule B2.
En B2, on veut calculer \(8x – 2\) avec la valeur de \(x\) écrite dans la cellule voisine A2. Il faut donc faire référence à A2 : en étirant vers le bas, A2 devient A3, A4… et chaque ligne utilise sa propre valeur de \(x\). La formule « = 8 * 5 – 2 » donnerait 38 sur toutes les lignes, « = 8 * B2 – 2 » ferait référence à la cellule elle-même, et « = 8 * A1 – 2 » utiliserait le texte « \(x\) » de la ligne des titres. La bonne formule est = 8 * A2 – 2 (réponse B).
b. Raisonnement de Nour.
On compare les deux colonnes ligne par ligne. Pour \(x = 5\), le rectangle a le plus petit périmètre : \(38 \lt 39\). Pour \(x = 6\), c’est l’inverse : \(46 \gt 45\), et ensuite l’écart en faveur du rectangle ne fait qu’augmenter (8 – 6 = 2 de plus à chaque fois que \(x\) augmente de 1). Le périmètre du rectangle, d’abord plus petit, devient plus grand entre \(x = 5\) et \(x = 6\) : il le « dépasse » donc à un moment situé entre ces deux valeurs, et c’est là seulement qu’ils peuvent être égaux. Si une valeur commune existe, elle est bien comprise entre 5 et 6.
3. Résolution de l’équation.
\[8x – 2 = 6x + 9\]
On soustrait \(6x\) aux deux membres puis on ajoute 2 :
\[8x – 6x = 9 + 2 \quad \text{soit} \quad 2x = 11 \quad \text{donc} \quad x = \dfrac{11}{2} = 5{,}5\]
Vérification : \(8 \times 5{,}5 – 2 = 42\) et \(6 \times 5{,}5 + 9 = 42\). Les deux périmètres sont égaux pour \(x = 5{,}5\) ; ils valent alors 42. On retrouve bien une valeur entre 5 et 6, ce qui explique que Nour ne la voyait pas avec des nombres entiers.
Exercice 2 :
1. a. Angle \(\widehat{\text{CFB}}\).
Le codage de la figure montre que BC = BF (= 4 cm) : le triangle CBF est isocèle en B. Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont égaux ; ici la base est [CF], donc \(\widehat{\text{CFB}} = \widehat{\text{BCF}}\). L’angle \(\widehat{\text{CFB}}\) mesure 74°.
b. Angle \(\widehat{\text{CBF}}\).
La somme des angles d’un triangle vaut 180°, donc :
\[\widehat{\text{CBF}} = 180^\circ – 74^\circ – 74^\circ = 32^\circ\]
L’angle \(\widehat{\text{CBF}}\) mesure 32°.
2. Le triangle ABC est rectangle.
Le plus long côté est [AC]. On compare son carré à la somme des carrés des deux autres :
\[\text{AC}^2 = 5^2 = 25 \qquad \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\]
Les deux résultats sont égaux, donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B (le sommet opposé au plus grand côté) : \(\widehat{\text{ABC}} = 90^\circ\).
3. Angle \(\widehat{\text{FBG}}\).
Le triangle BGF est rectangle en G, d’hypoténuse [BF] qui mesure 4 cm. Pour l’angle \(\widehat{\text{FBG}}\), le côté adjacent est [BG] qui mesure 2 cm. On utilise le cosinus :
\[\cos(\widehat{\text{FBG}}) = \dfrac{\text{BG}}{\text{BF}} = \dfrac{2}{4} = 0{,}5\]
La calculatrice (touche \(\cos^{-1}\) ou Arccos) donne \(\widehat{\text{FBG}} = 60^\circ\).
4. Alignement de A, B et G.
Les points A, B et G sont alignés si et seulement si l’angle \(\widehat{\text{ABG}}\) est plat, c’est-à-dire mesure 180°. Les demi-droites [BC) et [BF) sont situées entre [BA) et [BG), donc cet angle se découpe en trois angles adjacents :
\[\widehat{\text{ABG}} = \widehat{\text{ABC}} + \widehat{\text{CBF}} + \widehat{\text{FBG}} = 90^\circ + 32^\circ + 60^\circ = 182^\circ\]
On obtient 182° et non 180°. Les points A, B et G ne sont donc pas alignés, même si la figure donne l’impression du contraire : l’écart de 2° est invisible à l’œil.
Exercice 3 :
1. Coordonnées de Tahiti.
Tahiti est sous l’équateur, donc dans l’hémisphère sud, légèrement au-delà du milieu entre l’équateur et le parallèle 30° S : sa latitude est d’environ 17° S. Horizontalement, la croix est juste à droite (à l’est) du méridien 150° O, du côté ouest par rapport au méridien de Greenwich, donc sa longitude est d’environ 149° O. Tahiti a pour coordonnées approximatives (149° O ; 17° S). Compte tenu de la précision de la carte, toute réponse voisine, par exemple (150° O ; 15° S), est acceptable.
2. Durée des deux vols.
On retire le temps d’attente de la durée totale : 22 h 10 min − 2 h 20 min. Comme 10 min est plus petit que 20 min, on convertit une heure : 22 h 10 min = 21 h 70 min. Alors 21 h 70 min − 2 h 20 min = 19 h 50 min. Les deux vols durent au total 19 h 50 min.
3. a. Volume de la médaille.
Le rayon est la moitié du diamètre : \(R = 8{,}5 : 2 = 4{,}25\) cm. Avec la formule du document 3 et \(h = 0{,}92\) cm :
\[V = \pi \times 4{,}25^2 \times 0{,}92 = \pi \times 18{,}0625 \times 0{,}92 = 16{,}6175\pi \approx 52{,}205\ \text{cm}^3\]
Arrondi au dixième, le volume de la médaille est bien d’environ 52,2 cm³.
b. Masse d’argent.
Une masse volumique de 10,5 g/cm³ signifie que chaque cm³ d’argent pèse 10,5 g. La masse est donc proportionnelle au volume :
\[m = 10{,}5 \times 52{,}2 = 548{,}1\ \text{g}\]
(Avec la valeur non arrondie du volume, \(10{,}5 \times 52{,}205 \approx 548{,}16\), le résultat est le même.) La médaille contient environ 548 g d’argent.
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