Corrigé du sujet
Exercice 1 :
1. a. On additionne les dragées roses et les dragées blanches : \(630 + 810 = 1\,440\).
Anne et Jean ont acheté 1 440 dragées au total.
b. Les dragées sont indiscernables au toucher, donc chaque dragée a la même chance d’être tirée : on est dans une situation d’équiprobabilité. La probabilité se calcule en divisant le nombre de cas favorables (les dragées blanches) par le nombre total de dragées :
\[ P(\text{blanche}) = \dfrac{810}{1\,440} = \dfrac{81}{144} = \dfrac{9 \times 9}{9 \times 16} = \dfrac{9}{16} \]
La probabilité d’obtenir une dragée blanche est \(\dfrac{9}{16}\), soit 0,5625.
2. a. Pour faire 21 ballotins identiques qui utilisent toutes les dragées, il faut que 21 divise à la fois 630 et 810.
Pour les roses : \(630 : 21 = 30\), c’est un nombre entier, donc c’est possible.
Pour les blanches : \(810 : 21 \approx 38{,}57\), ce n’est pas un nombre entier. En effet \(21 = 3 \times 7\) et 810 n’est pas divisible par 7 : \(7 \times 115 = 805\) et \(7 \times 116 = 812\).
Comme 21 n’est pas un diviseur de 810, ils ne peuvent pas réaliser 21 ballotins.
b. On divise successivement par les nombres premiers 2, 3, 5, 7…
\(630 = 2 \times 315 = 2 \times 3 \times 105 = 2 \times 3 \times 3 \times 35 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7\), donc \(630 = 2 \times 3^2 \times 5 \times 7\).
\(810 = 2 \times 405 = 2 \times 3 \times 135 = 2 \times 3 \times 3 \times 45 = 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 15 = 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5\), donc \(810 = 2 \times 3^4 \times 5\).
c. Le nombre de ballotins doit diviser à la fois 630 et 810 : c’est un diviseur commun. Le nombre maximum de ballotins est donc le plus grand diviseur commun de 630 et 810. On le construit en prenant chaque facteur premier commun avec le plus petit exposant présent dans les deux décompositions : \(2^1\), \(3^2\) et \(5^1\) (le 7 n’apparaît pas dans 810).
\[ 2 \times 3^2 \times 5 = 2 \times 9 \times 5 = 90 \]
Ensuite, \(630 : 90 = 7\) et \(810 : 90 = 9\).
Anne et Jean peuvent réaliser au maximum 90 ballotins, contenant chacun 7 dragées roses et 9 dragées blanches.
Exercice 2 :
Question 1 : réponse B. L’écriture scientifique a la forme \(a \times 10^n\) avec \(1 \leq\, a \lt 10\). Pour passer de 13 420 à 1,342, on déplace la virgule de 4 rangs vers la gauche, donc \(13\,420 = 1{,}342 \times 10^{4}\). La réponse A vaut 0,0001342 et la réponse C n’est pas une écriture scientifique car 1 342 est supérieur à 10.
Question 2 : réponse A. La série compte 11 valeurs déjà rangées dans l’ordre croissant. Comme 11 est impair, la médiane est la valeur du milieu, c’est-à-dire la 6e : il y a 5 valeurs avant et 5 valeurs après. La 6e valeur est 85,74 m.
Question 3 : réponse C. La rosace est formée de 16 motifs, donc chaque motif occupe un angle de \(360 : 16 = 22{,}5\)°. L’axe \((d)\) passe entre les motifs 2 et 3 en haut. Le motif gris est séparé de l’axe par les motifs 1 et 2 ; son symétrique se trouve de l’autre côté de l’axe, séparé de lui par deux motifs aussi (3 et 4) : c’est le motif 5.
Question 4 : réponse B. Un angle de 90° correspond à \(90 : 22{,}5 = 4\) motifs. En tournant dans le sens antihoraire (contraire des aiguilles d’une montre), le motif gris, placé à gauche, descend vers le bas : on passe successivement par les motifs 15, 14, 13 puis 12. L’image est le motif 12.
Question 5 : réponse A. On lit l’ordonnée du point de la droite d’abscisse 2 : la droite coupe l’axe des abscisses en ce point, donc \(f(2) = 0\).
Question 6 : réponse C. La droite passe par les points de coordonnées \((0\,;4)\) et \((2\,;0)\). Son coefficient directeur vaut \(\dfrac{0-4}{2-0} = \dfrac{-4}{2} = -2\). On le vérifie sur le graphique : quand on avance de 1 vers la droite, on descend de 2.
Exercice 3 :
1. Le point K appartient au segment [DL], donc \(\text{DK} = \text{DL} – \text{KL} = 600 – 120 = 480\).
On a bien DK = 480 m.
2. Dans le triangle DKJ, le plus grand côté est [DJ]. On calcule séparément :
\(\text{DJ}^2 = 520^2 = 270\,400\) ;
\(\text{DK}^2 + \text{KJ}^2 = 480^2 + 200^2 = 230\,400 + 40\,000 = 270\,400\).
On constate que \(\text{DJ}^2 = \text{DK}^2 + \text{KJ}^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DKJ est rectangle en K.
3. D’après la question 2, la droite (KJ) est perpendiculaire à (DK), c’est-à-dire à la droite (DL). Le triangle DLA est rectangle en L, donc la droite (LA) est elle aussi perpendiculaire à (DL).
Or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles : les droites (KJ) et (LA) sont parallèles.
4. Les points D, K, L d’une part et D, J, A d’autre part sont alignés dans le même ordre, et les droites (KJ) et (LA) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
\[ \dfrac{\text{DK}}{\text{DL}} = \dfrac{\text{DJ}}{\text{DA}} = \dfrac{\text{KJ}}{\text{LA}} \]
On utilise la première égalité : \(\dfrac{480}{600} = \dfrac{520}{\text{DA}}\). Le produit en croix donne :
\[ \text{DA} = \dfrac{600 \times 520}{480} = \dfrac{312\,000}{480} = 650 \]
Le segment [DA] mesure bien 650 m.
5. Le trajet fléché est formé des segments [DK], [KJ] et [JA]. Comme J appartient à [DA] : \(\text{JA} = \text{DA} – \text{DJ} = 650 – 520 = 130\) m.
\[ \text{DK} + \text{KJ} + \text{JA} = 480 + 200 + 130 = 810 \]
Le trajet DKJA mesure 810 m.
6. Dans le triangle DLA rectangle en L, on connaît le côté adjacent à l’angle \(\widehat{\text{LDA}}\), DL = 600 m, et l’hypoténuse DA = 650 m. On utilise donc le cosinus :
\[ \cos \widehat{\text{LDA}} = \dfrac{\text{DL}}{\text{DA}} = \dfrac{600}{650} = \dfrac{12}{13} \]
À la calculatrice (touche arccos ou \(\cos^{-1}\)) : \(\widehat{\text{LDA}} \approx 22{,}6\)°.
Comme \(22{,}6 \lt 25\), oui, l’angle est inférieur à 25° : le photographe peut filmer toute la course sans bouger sa caméra.
Exercice 4 :
1. On applique le programme à 5 :
- on choisit 5 ;
- on le met au carré : \(5^2 = 25\) ;
- on soustrait le triple de 5 : \(25 – 3 \times 5 = 25 – 15 = 10\) ;
- on soustrait 4 : \(10 – 4 = 6\).
Le résultat est bien 6.
2. On refait les mêmes étapes avec \(x\) : le carré donne \(x^2\), on retire le triple \(3x\), puis on retire 4.
Le résultat est \(x^2 – 3x – 4\).
3. On développe l’expression proposée par double distributivité :
\[ (x+1)(x-4) = x \times x + x \times (-4) + 1 \times x + 1 \times (-4) = x^2 – 4x + x – 4 = x^2 – 3x – 4 \]
On retrouve l’expression de la question 2, donc le résultat du programme s’écrit \((x+1)(x-4)\).
4. On cherche les nombres \(x\) tels que \((x+1)(x-4) = 0\). C’est une équation produit nul : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.
\(x + 1 = 0\) donne \(x = -1\) ; \(x – 4 = 0\) donne \(x = 4\).
Vérification : pour \(-1\), \((-1)^2 – 3 \times (-1) – 4 = 1 + 3 – 4 = 0\) ; pour 4, \(16 – 12 – 4 = 0\).
Il faut choisir \(-1\) ou \(4\) au départ.
5. Dans le script, la variable x contient le nombre choisi et la variable z contient déjà le triple du nombre (ligne 5). La ligne 4 doit donc placer dans y le carré du nombre, c’est-à-dire x * x, et la ligne 6 doit calculer « carré moins triple moins 4 », soit y − z − 4.
Les lignes complétées sont :
4 mettre y à (x * x) 6 mettre Résultat à (y - z - 4)
Le script complet devient :
1 quand le drapeau vert est cliqué 2 demander (Choisir un nombre) et attendre 3 mettre x à (réponse) 4 mettre y à (x * x) 5 mettre z à (3 * x) 6 mettre Résultat à (y - z - 4) 7 dire (Résultat) pendant (5) secondes
Exercice 5 :
1. a. Les quatre triangles retirés sont rectangles isocèles et identiques, donc sur le côté [AB] les longueurs AE et FB sont égales. On a :
\[ \text{AB} = \text{AE} + \text{EF} + \text{FB} = 2 \times \text{AE} + \text{EF} \]
soit \(5 = 2 \times \text{AE} + 2{,}2\), d’où \(2 \times \text{AE} = 2{,}8\) et \(\text{AE} = 2{,}8 : 2 = 1{,}4\).
On a bien AE = 1,4 m.
b. Le triangle AEL est rectangle isocèle en A, donc \(\text{AL} = \text{AE} = 1{,}4\) m. Ses deux côtés de l’angle droit servent de base et de hauteur :
\[ \mathcal{A}_{\text{AEL}} = \dfrac{\text{AE} \times \text{AL}}{2} = \dfrac{1{,}4 \times 1{,}4}{2} = \dfrac{1{,}96}{2} = 0{,}98 \]
L’aire du triangle AEL est bien 0,98 m².
c. L’octogone s’obtient en retirant au carré ABCD quatre triangles identiques à AEL :
\[ \mathcal{A}_{\text{octogone}} = 5^2 – 4 \times 0{,}98 = 25 – 3{,}92 = 21{,}08 \]
L’aire de l’octogone est bien 21,08 m².
2. a. La piscine est un prisme droit dont la base est l’octogone. On la remplit aux trois quarts de sa hauteur, donc la hauteur d’eau est \(\dfrac{3}{4} \times 1{,}50 = 1{,}125\) m.
Le volume d’un prisme droit est égal à l’aire de la base multipliée par la hauteur :
\[ V = 21{,}08 \times 1{,}125 = 23{,}715 \]
Le volume d’eau nécessaire est de 23,715 m³, soit environ 24 m³.
b. On convertit le volume en litres : \(24 \times 1\,000 = 24\,000\) L.
Le robinet débite 12 L par minute, donc la durée de remplissage est :
\[ 24\,000 : 12 = 2\,000 \text{ min} \]
On convertit en heures : \(2\,000 = 33 \times 60 + 20\), car \(33 \times 60 = 1\,980\).
La durée de remplissage est de 33 h 20 min.
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