Voici le corrigé du brevet de maths 2023 en France, épreuve de la série générale passée le 26 juin 2023 (2 heures, 100 points). Le sujet comporte cinq exercices de 20 points, tous très classiques. Le premier exploite un tableur sur les ventes de lunettes de soleil d’un opticien : étendue, formule de somme, montant total et prix moyen pondéré. Le deuxième part d’un rectangle pour enchaîner aire, théorème de Pythagore et théorème de Thalès. Le troisième est un QCM sur les pourcentages, la décomposition en facteurs premiers, les probabilités, une rotation dans un octogone régulier et le volume d’un pavé droit. Le quatrième mêle trigonométrie et programme Scratch autour d’un escalier. Le dernier compare deux programmes de calcul à l’aide de fonctions affines, d’une lecture graphique et d’une équation. Chaque réponse est justifiée pas à pas.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page France : brevet de maths 2023 avec sujet et corrigé en PDF. : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Les lunettes de l’opticien – statistiques, tableur, moyenne pondérée (20 points)
Un opticien a noté dans un tableur, pour cinq modèles de lunettes de soleil vendus en 2022, le nombre de paires vendues (ligne 2) et le prix unitaire (ligne 3) :
| A | B | C | D | E | F | G | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Lunettes de soleil | Modèle 1 | Modèle 2 | Modèle 3 | Modèle 4 | Modèle 5 | Total |
| 2 | Nombre de paires vendues | 1 200 | 950 | 875 | 250 | 300 | |
| 3 | Prix à l’unité (€) | 75 | 100 | 110 | 140 | 160 |
1. On doit montrer que l’étendue des prix vaut 85 €.
L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série. Le prix le plus élevé est 160 € (modèle 5), le plus bas est 75 € (modèle 1) :
\[160 – 75 = 85\]
L’étendue des prix est bien de 85 euros.
2.a. Quelle formule saisir en G2 pour obtenir le nombre total de paires vendues ?
La cellule G2 doit contenir la somme des cellules B2 à F2. On peut saisir =SOMME(B2:F2) ou, de façon équivalente, =B2+C2+D2+E2+F2.
2.b. Calcul du nombre total de paires vendues en 2022 :
\[1\,200 + 950 + 875 + 250 + 300 = 3\,575\]
L’opticien a vendu 3 575 paires de lunettes de soleil en 2022.
3.a. Montant total des ventes en 2022.
Pour chaque modèle, on multiplie le nombre de paires vendues par le prix unitaire, puis on additionne :
\[S = 1\,200 \times 75 + 950 \times 100 + 875 \times 110 + 250 \times 140 + 300 \times 160\]
\[S = 90\,000 + 95\,000 + 96\,250 + 35\,000 + 48\,000 = 364\,250\]
Le montant total des ventes s’élève à 364 250 €.
3.b. Prix moyen d’une paire vendue, arrondi au centime.
Il s’agit d’une moyenne pondérée par les quantités : on divise le montant total par le nombre total de paires.
\[\frac{364\,250}{3\,575} \approx 101{,}888\]
Le prix moyen d’une paire de lunettes de soleil vendue en 2022 est d’environ 101,89 €.
Exercice 2 :
Triangles rectangles et rectangles – aire, Pythagore, Thalès (20 points)
BCDE est un rectangle, BAE est un triangle rectangle en A, H est le pied de la perpendiculaire à (CD) issue de A, et F est le point d’intersection des droites (AE) et (CD). On sait que AB = BC = 4,2 cm et EB = EF = 7 cm.
1. Montrer que l’aire du rectangle BCDE vaut 29,4 cm².
Les côtés du rectangle BCDE mesurent BC = 4,2 cm et BE = 7 cm, donc :
\[\mathcal{A}_{BCDE} = BC \times BE = 4{,}2 \times 7 = 29{,}4\]
L’aire du rectangle BCDE est bien de 29,4 cm².
2.a. Montrer que AE = 5,6 cm.
Le triangle ABE est rectangle en A, d’hypoténuse [BE]. D’après le théorème de Pythagore :
\[AB^2 + AE^2 = BE^2\]
\[4{,}2^2 + AE^2 = 7^2\]
\[17{,}64 + AE^2 = 49\]
\[AE^2 = 49 – 17{,}64 = 31{,}36\]
Comme AE est une longueur (positive) : \(AE = \sqrt{31{,}36} = 5{,}6\). Donc AE = 5,6 cm.
2.b. Aire du triangle rectangle ABE.
Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit jouent le rôle de base et de hauteur :
\[\mathcal{A}_{ABE} = \frac{AB \times AE}{2} = \frac{4{,}2 \times 5{,}6}{2} = \frac{23{,}52}{2} = 11{,}76\]
L’aire du triangle ABE est de 11,76 cm².
3.a. Montrer que (ED) et (HA) sont parallèles.
BCDE est un rectangle, donc (ED) est perpendiculaire à (CD). Par construction, (HA) est aussi perpendiculaire à (CD).
Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Donc les droites (ED) et (HA) sont parallèles.
3.b. Calculer la longueur AH.
Les points F, E, A sont alignés, ainsi que F, D, H, et E appartient au segment [FA]. Donc :
\[FA = FE + EA = 7 + 5{,}6 = 12{,}6 \text{ cm}\]
De plus, BCDE étant un rectangle, ED = BC = 4,2 cm.
Les droites (EA) et (DH) sont sécantes en F et les droites (ED) et (AH) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
\[\frac{FE}{FA} = \frac{FD}{FH} = \frac{ED}{AH}\]
d’où :
\[\frac{7}{12{,}6} = \frac{4{,}2}{AH} \quad \text{donc} \quad AH = \frac{4{,}2 \times 12{,}6}{7} = \frac{52{,}92}{7} = 7{,}56\]
La longueur AH mesure 7,56 cm.
Exercice 3 :
QCM – pourcentages, arithmétique, probabilités, rotation, volume (20 points)
Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Aucune justification n’était exigée, mais nous expliquons chaque choix.
Question 1. Dans une classe de 25 élèves, 60 % des élèves sont des filles. Combien y a-t-il de filles ? (A : 10 ; B : 15 ; C : 20)
\[\frac{60}{100} \times 25 = 0{,}6 \times 25 = 15\]
Il y a 15 filles : réponse B.
Question 2. Décomposition en produit de facteurs premiers de 126 ? (A : \(2 \times 9 \times 7\) ; B : \(2^2 \times 5^2 + 2 \times 13\) ; C : \(2 \times 3^2 \times 7\))
On divise successivement par les nombres premiers : \(126 = 2 \times 63\), \(63 = 3 \times 21\), \(21 = 3 \times 7\). Donc :
\[126 = 2 \times 3 \times 3 \times 7 = 2 \times 3^2 \times 7\]
On pouvait aussi éliminer A (9 n’est pas premier) et B (c’est une somme, pas un produit). Réponse C.
Question 3. Un sac contient 17 jetons rouges, 23 jaunes et 20 bleus. On tire un jeton au hasard. Probabilité d’obtenir un jeton rouge ou jaune ? (A : \(\frac{2}{3}\) ; B : 0,6 ; C : \(\frac{17}{23}\))
Le sac contient \(17 + 23 + 20 = 60\) jetons, tous équiprobables. Il y a \(17 + 23 = 40\) jetons rouges ou jaunes, donc :
\[p = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}\]
Attention : \(\frac{2}{3} \approx 0{,}667\) n’est pas égal à 0,6. Réponse A.
Question 4. Dans l’octogone régulier ABCDEFGH de centre O, quelle est l’image du segment [DC] par la rotation de centre O qui transforme A en D ? (A : [GE] ; B : [GF] ; C : [AH])
Les huit sommets sont espacés de \(360 : 8 = 45\) degrés autour de O. Pour passer de A à D, on tourne de trois sommets dans le sens A → B → C → D, soit un angle de 135°. Chaque point avance donc de trois sommets dans ce sens : C a pour image F et D a pour image G.
L’image du segment [DC] est le segment [GF] : réponse B.
Question 5. Volume d’un pavé droit de hauteur 1,5 m dont la base est un rectangle de 2 m sur 1,3 m ? (A : 2,6 m³ ; B : 3 900 L ; C : 3 000 L, sachant que 1 m³ = 1 000 L)
Le volume d’un pavé droit est l’aire de la base multipliée par la hauteur :
\[V = 2 \times 1{,}3 \times 1{,}5 = 2{,}6 \times 1{,}5 = 3{,}9 \text{ m}^3\]
Or 1 m³ = 1 000 L, donc 3,9 m³ = 3 900 L. Réponse B.
Exercice 4 :
Scratch et l’escalier – trigonométrie, algorithmique (20 points)
On fabrique un escalier en bois de hauteur totale 272 cm. Chaque marche a une hauteur de 17 cm et une profondeur de 27 cm. Vu de profil, l’escalier s’inscrit dans le triangle ABC rectangle en B, où [AB] est la longueur au sol et [BC] la hauteur de l’escalier.
1.a. Montrer qu’il faut prévoir 16 marches.
Les marches se superposent jusqu’à atteindre la hauteur totale, donc le nombre de marches est :
\[272 : 17 = 16\]
Il faut bien prévoir 16 marches.
1.b. Montrer que AB = 432 cm (question numérotée « 2.b » par erreur dans le sujet).
La longueur AB correspond à la somme des profondeurs des 16 marches :
\[AB = 16 \times 27 = 432 \text{ cm}\]
2.a. Calculer l’angle \(\widehat{BAC}\), arrondi au degré.
Dans le triangle ABC rectangle en B, on connaît le côté opposé à l’angle \(\widehat{BAC}\), BC = 272 cm, et le côté adjacent, AB = 432 cm. On utilise la tangente :
\[\tan \widehat{BAC} = \frac{BC}{AB} = \frac{272}{432} = \frac{17}{27}\]
À la calculatrice : \(\widehat{BAC} = \arctan(\frac{17}{27}) \approx 32{,}2\). Donc \(\widehat{BAC} \approx 32\) degrés au degré près.
2.b. L’escalier permet-il une montée agréable, c’est-à-dire un angle compris entre 25° et 40° ?
On a \(25 \lt 32 \lt 40\) : l’angle est dans l’intervalle voulu, donc l’escalier permet une montée agréable.
3. Compléter les lignes 5, 6, 7 et 9 du programme Scratch (1 cm est représenté par 1 pas).
Le lutin part de A, orienté vers la droite (orientation 90). Pour chaque marche, il tourne vers le haut, monte de la hauteur d’une marche, se remet face à la droite, puis avance de la profondeur d’une marche. Il faut répéter ce motif autant de fois qu’il y a de marches, c’est-à-dire 16 fois.
1 Quand le drapeau vert est cliqué 2 s'orienter à 90 3 effacer tout 4 stylo en position d'écriture 5 répéter 16 fois 6 tourner ↺ de 90 degrés 7 avancer de 17 pas 8 tourner ↻ de 90 degrés 9 avancer de 27 pas
Les lignes complétées sont donc : ligne 5 : répéter 16 fois ; ligne 6 : tourner ↺ de 90 degrés (vers la gauche, pour faire face au haut) ; ligne 7 : avancer de 17 pas ; ligne 9 : avancer de 27 pas.
Exercice 5 :
Les deux programmes de calcul – calcul littéral, fonctions affines, équation (20 points)
Programme A : choisir un nombre ; le multiplier par −2 ; ajouter 5 au résultat.
Programme B : choisir un nombre ; lui soustraire 5 ; multiplier le résultat par 3 ; ajouter 11 au résultat.
1.a. Montrer qu’avec −3 au départ, le programme A donne 11.
\[-3 \times (-2) = 6 \qquad 6 + 5 = 11\]
En partant de −3, le programme A donne bien 11.
1.b. Résultat du programme B avec 5,5 au départ :
\[5{,}5 – 5 = 0{,}5 \qquad 0{,}5 \times 3 = 1{,}5 \qquad 1{,}5 + 11 = 12{,}5\]
Le programme B donne 12,5.
2. En notant \(x\) le nombre de départ, le programme A donne \(-2x + 5\). Montrer que le programme B donne \(3x – 4\).
En appliquant les étapes du programme B à \(x\) :
\[x \;\to\; x – 5 \;\to\; 3(x – 5) = 3x – 15 \;\to\; 3x – 15 + 11 = 3x – 4\]
Le programme B donne bien \(3x – 4\).
3.a. On a représenté les fonctions \(f(x) = -2x + 5\) et \(g(x) = 3x – 4\) par deux droites \((D_1)\) et \((D_2)\). Il s’agit d’associer chaque droite à sa fonction.
Pour une fonction affine \(x \mapsto ax + b\), le nombre \(b\) est l’image de 0 : c’est l’ordonnée du point où la droite coupe l’axe des ordonnées.
- \(f(0) = 5\) : la droite de \(f\) passe par le point (0 ; 5), c’est \((D_2)\) ;
- \(g(0) = -4\) : la droite de \(g\) passe par le point (0 ; −4), c’est \((D_1)\).
On peut confirmer avec une autre image : \(f(1) = -2 + 5 = 3\) et le point (1 ; 3) est bien sur \((D_2)\) ; \(g(1) = 3 – 4 = -1\) et le point (1 ; −1) est bien sur \((D_1)\). On le voit aussi aux coefficients directeurs : \(f\) est décroissante (−2 négatif), \(g\) est croissante (3 positif).
Conclusion : \((D_2)\) représente \(f\) et \((D_1)\) représente \(g\).
3.b. Par lecture graphique, nombre ayant la même image par \(f\) et par \(g\).
Ce nombre est l’abscisse du point d’intersection des deux droites. Graphiquement, ce point a pour coordonnées environ (1,8 ; 1,4). Le nombre cherché vaut donc environ 1,8 (lecture graphique, forcément approchée).
4. Déterminer par le calcul le nombre de départ pour lequel les deux programmes donnent le même résultat.
On résout l’équation \(f(x) = g(x)\) :
\[-2x + 5 = 3x – 4\]
\[5 + 4 = 3x + 2x\]
\[9 = 5x\]
\[x = \frac{9}{5} = 1{,}8\]
Vérification : \(f(1{,}8) = -3{,}6 + 5 = 1{,}4\) et \(g(1{,}8) = 5{,}4 – 4 = 1{,}4\).
Le nombre de départ cherché est 1,8 ; les deux programmes donnent alors le même résultat, 1,4.
