Corrigé du brevet de maths 2022 en Amérique du Nord

L’énoncé de cette épreuve est sur la page Brevet Maths 2022 : sujet de mathématiques du brevet en Amérique du Nord : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Géométrie, 22 points

Sur la figure (qui n’est pas à l’échelle), les points M, A, S sont alignés, ainsi que les points M, T, H. Le triangle HMS est rectangle en H, le triangle TMA est rectangle en T, et on donne \(MH = 5\) cm, \(MS = 13\) cm et \(MT = 7\) cm.

1. Montrer que \(HS = 12\) cm.

Le triangle HSM est rectangle en H, d’hypoténuse \([MS]\). D’après le théorème de Pythagore :

\[MS^2 = HM^2 + HS^2 \quad\text{donc}\quad HS^2 = MS^2 – HM^2 = 13^2 – 5^2 = 169 – 25 = 144.\]

Une longueur étant positive, \(HS = \sqrt{144}\), soit \(HS = 12\) cm.

2. Calculer la longueur AT.

Les droites \((HS)\) et \((AT)\) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite \((HT)\) : elles sont donc parallèles entre elles. De plus, les points H, M, T sont alignés, ainsi que les points S, M, A. On peut appliquer le théorème de Thalès (configuration « papillon ») :

\[\frac{MH}{MT} = \frac{MS}{MA} = \frac{HS}{AT} \quad\text{soit}\quad \frac{5}{7} = \frac{13}{MA} = \frac{12}{AT}.\]

Par produit en croix : \(AT = \dfrac{7 \times 12}{5} = \dfrac{84}{5}\), donc \(AT = 16{,}8\) cm.

3. Mesure de l’angle \(\widehat{HMS}\), arrondie au degré.

Dans le triangle HMS rectangle en H, le côté adjacent à l’angle \(\widehat{HMS}\) est \([MH]\) et l’hypoténuse est \([MS]\) :

\[\cos \widehat{HMS} = \frac{MH}{MS} = \frac{5}{13}, \quad\text{donc}\quad \widehat{HMS} = \arccos(\frac{5}{13}) \approx 67{,}4^\circ.\]

Arrondi au degré : \(\widehat{HMS} \approx 67^\circ\).

4. Quelle transformation permet d’obtenir le triangle MAT à partir du triangle MHS ?

On choisissait parmi : symétrie centrale, symétrie axiale, rotation, translation, homothétie. Les deux triangles ont la même forme mais pas la même taille (\(MT \neq MH\)) : ce ne peut être qu’une homothétie. Plus précisément (non demandé), il s’agit de l’homothétie de centre M et de rapport \(-\dfrac{7}{5}\), car les triangles sont de part et d’autre de M et \(\dfrac{MT}{MH} = \dfrac{7}{5}\).

5. Un élève affirme : « MT est 1,4 fois plus grande que HM, donc l’aire de MAT est 1,4 fois plus grande que celle de MHS. » A-t-il raison ?

On a bien \(\dfrac{MT}{MH} = \dfrac{7}{5} = 1{,}4\) : toutes les longueurs du triangle MHS sont multipliées par \(1{,}4\) pour obtenir celles du triangle MAT. Or, lorsqu’on multiplie les longueurs par un nombre \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2\). Ici \(k^2 = 1{,}4^2 = 1{,}96\).

Vérification : \(\mathcal{A}_{MHS} = \dfrac{5 \times 12}{2} = 30\) cm² et \(\mathcal{A}_{MAT} = \dfrac{7 \times 16{,}8}{2} = 58{,}8\) cm², et \(58{,}8 : 30 = 1{,}96\).

L’affirmation est fausse : l’aire de MAT est 1,96 fois plus grande que celle de MHS.

Exercice 2 :

QCM, 15 points (aucune justification n’était exigée)

Question 1. On lance un dé équilibré à 20 faces numérotées de 1 à 20. Probabilité d’obtenir un numéro inférieur ou égal à 5 ? (a. \(\frac{1}{20}\) ; b. \(\frac{1}{4}\) ; c. \(\frac{1}{5}\) ; d. \(\frac{5}{6}\))

Le dé est équilibré : les 20 issues sont équiprobables. Les issues favorables sont 1, 2, 3, 4, 5, soit 5 issues. La probabilité vaut \(\dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}\) : réponse b.

Question 2. Une boisson contient un volume de sirop pour sept volumes d’eau (ratio 1 : 7). Quelle quantité d’eau faut-il pour 560 mL de boisson ? (a. 70 mL ; b. 80 mL ; c. 400 mL ; d. 490 mL)

Pour 8 volumes de boisson, il y a 7 volumes d’eau. L’eau représente donc \(\dfrac{7}{8}\) de la boisson :

\[\frac{7}{8} \times 560 = 7 \times 70 = 490 \text{ mL}.\]

Réponse d (et il y a 70 mL de sirop).

Question 3. La fonction linéaire \(f\) telle que \(f(\frac{4}{5}) = 1\) est définie par : (a. \(f(x) = x + \frac{1}{5}\) ; b. \(f(x) = \frac{4}{5}x\) ; c. \(f(x) = \frac{5}{4}x\) ; d. \(f(x) = x – \frac{1}{5}\))

Une fonction linéaire s’écrit \(f(x) = ax\), ce qui écarte les propositions a et d. On cherche \(a\) tel que \(a \times \dfrac{4}{5} = 1\), donc \(a = \dfrac{5}{4}\). Vérification : \(\dfrac{5}{4} \times \dfrac{4}{5} = 1\). Réponse c.

Question 4. La décomposition en produit de facteurs premiers de 195 est : (a. \(5 \times 39\) ; b. \(3 \times 5 \times 13\) ; c. \(1 \times 100 + 9 \times 10 + 5\) ; d. \(3 \times 65\))

\(195 = 5 \times 39 = 5 \times 3 \times 13\), et 3, 5, 13 sont premiers (39 et 65 ne le sont pas). Donc \(195 = 3 \times 5 \times 13\) : réponse b.

Question 5. Volume d’un prisme droit dont la base est un triangle rectangle de côtés de l’angle droit 3 cm et 5 cm, et dont la hauteur (longueur des arêtes latérales) mesure 8 cm. (a. 40 cm³ ; b. 60 cm³ ; c. 64 cm³ ; d. 120 cm³)

Volume d’un prisme droit : \(V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h\). L’aire de la base triangulaire est \(\dfrac{3 \times 5}{2} = 7{,}5\) cm², donc

\[V = 7{,}5 \times 8 = 60 \text{ cm}^3.\]

Réponse b.

Exercice 3 :

Statistiques et pourcentages, 20 points

Il est recommandé de pratiquer au moins une heure d’activité physique par jour en moyenne. Sur 1,6 million d’adolescents de 11 à 17 ans interrogés, 81 % ne respectent pas cette recommandation.

1. Combien d’adolescents interrogés ne respectent pas la recommandation ?

\[1{,}6 \times \frac{81}{100} = 1{,}296.\]

1,296 million d’adolescents, soit 1 296 000 adolescents, ne respectent pas la recommandation.

Un adolescent se fixe l’objectif de faire au moins une heure de sport par jour en moyenne. Pendant 14 jours, il note ses durées quotidiennes :

Jour	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Durée	50 min	15 min	1 h	1 h 40	30 min	1 h 30	40 min	15 min	1 h	1 h 30	30 min	1 h	1 h	0 min
En minutes	50	15	60	100	30	90	40	15	60	90	30	60	60	0

2. a. Étendue des 14 durées.

L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : la plus grande est 1 h 40 min = 100 min, la plus petite 0 min.

\[e = 100 – 0 = 100 \text{ min}.\]

L’étendue est de 100 minutes (1 h 40 min).

2. b. Une médiane de ces durées.

On range les 14 valeurs (en minutes) dans l’ordre croissant :

0 ; 15 ; 15 ; 30 ; 30 ; 40 ; 50 ; 60 ; 60 ; 60 ; 60 ; 90 ; 90 ; 100

L’effectif 14 est pair : une médiane est comprise entre la 7^e valeur (50 min) et la 8^e valeur (60 min). On prend en général leur moyenne :

\[m_e = \frac{50 + 60}{2} = 55 \text{ min}.\]

Une médiane est donc 55 minutes (toute valeur entre 50 et 60 min convient).

3. a. Montrer que l’objectif n’est pas atteint sur les 14 premiers jours.

Durée totale : \(0 + 15 + 15 + 30 + 30 + 40 + 50 + 4 \times 60 + 2 \times 90 + 100 = 700\) min. La moyenne vaut :

\[\overline{m} = \frac{700}{14} = 50 \text{ min} \lt 60 \text{ min}.\]

La moyenne quotidienne est de 50 minutes, inférieure à une heure : l’objectif n’est pas atteint.

3. b. Sur les 7 jours suivants, quelle durée totale minimale doit-il prévoir pour atteindre l’objectif sur l’ensemble des 21 jours ?

Pour une moyenne d’au moins 60 min sur 21 jours, il faut une durée totale d’au moins \(21 \times 60 = 1\,260\) min. Il en a déjà fait 700, il lui reste donc

\[1\,260 – 700 = 560 \text{ min}.\]

Autre raisonnement : il lui manque \(14 \times 10 = 140\) min sur les 14 premiers jours, auxquelles s’ajoutent \(7 \times 60 = 420\) min pour les 7 jours suivants, soit \(140 + 420 = 560\) min.

Il doit prévoir au minimum 560 minutes, soit 9 h 20 min de pratique physique sur ces 7 jours (80 min par jour en moyenne).

Exercice 4 :

Algorithmique et probabilités, 21 points

Le programme Scratch dessine trois motifs côte à côte. Le lutin part du point \((-110 \,;\, 0)\), orienté vers la droite. Trois fois de suite : si un nombre aléatoire entre 1 et 2 vaut 1, il dessine une croix, sinon un rectangle ; puis il avance de 100 pas. Le bloc « rectangle » répète 2 fois : avancer de 60 pas, tourner de 90° vers la gauche, avancer de 80 pas, tourner de 90° vers la gauche. Le joueur gagne si les trois motifs sont identiques.

1. Représenter le motif du bloc « rectangle » à l’échelle 1 cm pour 20 pas.

Le bloc trace un rectangle de 60 pas sur 80 pas. À l’échelle, \(60 : 20 = 3\) cm et \(80 : 20 = 4\) cm : on trace un rectangle de 3 cm de large et 4 cm de haut (le lutin part vers la droite puis tourne vers la gauche, donc vers le haut).

2. Distance \(d\) entre deux rectangles consécutifs, en pas.

Entre deux motifs, le lutin avance de 100 pas : deux rectangles consécutifs commencent donc à 100 pas l’un de l’autre. Chaque rectangle mesure 60 pas de large, d’où

\[d = 100 – 60 = 40 \text{ pas}.\]

3. Probabilité que le premier motif soit une croix.

Le nombre aléatoire entre 1 et 2 vaut 1 ou 2 avec la même probabilité ; la croix est dessinée lorsqu’il vaut 1. La probabilité est donc \(\dfrac{1}{2} = 0{,}5\).

4. Dessiner les 8 affichages possibles.

Chaque motif est une croix (X) ou un rectangle (R), soit \(2 \times 2 \times 2 = 8\) affichages : XXX, XXR, XRX, XRR, RXX, RXR, RRX, RRR.

5. Les 8 affichages étant équiprobables, quelle est la probabilité que le joueur gagne ?

Le joueur gagne avec trois croix (XXX) ou trois rectangles (RRR) : 2 affichages favorables sur 8 équiprobables. La probabilité de gagner est

\[p = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0{,}25.\]

6. Modifier la ligne 5 pour qu’un rectangle ait deux fois plus de chances d’apparaître qu’une croix.

Il faut trois issues équiprobables, dont une seule donne la croix : on écrit « nombre aléatoire entre 1 et 3 = 1 ». La croix a alors une probabilité de \(\dfrac{1}{3}\) et le rectangle (nombre égal à 2 ou 3) une probabilité de \(\dfrac{2}{3}\), qui est bien le double.

Exercice 5 :

Programme de calcul, calcul littéral et arithmétique, 22 points

Programme de calcul appliqué à des nombres entiers : on calcule le carré du nombre de départ, puis on ajoute le nombre de départ.

Partie A

1. Vérifier qu’avec 15 au départ, on obtient 240.

\(15^2 = 225\), puis \(225 + 15 = 240\). On obtient bien 240.

2. Quelle formule a pu être saisie en B2 (la colonne A contient les nombres de départ 0 à 10) ?

On peut saisir =A2^2+A2 ou =A2*A2+A2 (ou encore =A2*(A2+1)). En étirant vers le bas, on obtient 0, 2, 6, 12, 20… comme dans le tableau.

3. Expression du résultat en fonction du nombre de départ \(x\).

Le carré de \(x\) est \(x^2\), puis on ajoute \(x\) : le résultat est \(x^2 + x\).

Partie B

Affirmation : « Pour obtenir le résultat du programme, il suffit de multiplier le nombre de départ par le nombre entier qui le suit. »

4. Vérifier l’affirmation pour 9.

Avec le programme : \(9^2 + 9 = 81 + 9 = 90\). En multipliant 9 par l’entier qui le suit : \(9 \times 10 = 90\). Les deux résultats sont égaux : l’affirmation est vraie pour 9.

5. Démontrer l’affirmation pour tout entier de départ.

Pour un entier \(x\) quelconque, le programme donne \(x^2 + x\). En factorisant par \(x\) :

\[x^2 + x = x \times x + x \times 1 = x(x + 1).\]

Or \(x + 1\) est l’entier qui suit \(x\). Le résultat est donc toujours le produit du nombre de départ par l’entier suivant : l’affirmation est vraie pour tout entier.

6. Démontrer que le résultat est toujours un nombre pair.

Le résultat est \(x(x+1)\), produit de deux entiers consécutifs. Parmi deux entiers consécutifs, l’un est forcément pair :

• si \(x\) est pair, il s’écrit \(x = 2n\) avec \(n\) entier, et \(x(x+1) = 2n(2n+1) = 2 \times n(2n+1)\), où \(n(2n+1)\) est un entier ;
• si \(x\) est impair, il s’écrit \(x = 2n + 1\), donc \(x + 1 = 2n + 2 = 2(n+1)\) et \(x(x+1) = 2 \times (2n+1)(n+1)\), où \((2n+1)(n+1)\) est un entier.

Dans les deux cas, le résultat s’écrit \(2 \times \) (un entier) : le nombre obtenu est toujours pair, quel que soit l’entier choisi au départ.