Ce corrigé du brevet blanc de maths 2024 n° 4 accompagne un sujet d’entraînement au DNB composé de six exercices notés sur 100 points. Ensuite, on commence par un QCM de cinq questions (comparaison de nombres, calcul fractionnaire, pourcentage de réduction, parallélogramme et homothétie, médiane d’une série). Puis l’exercice des paniers de légumes travaille la décomposition en facteurs premiers, les diviseurs communs et les multiples. Ainsi, de plus, l’exercice sur l’isolation d’un toit mobilise la trigonométrie, le théorème de Pythagore, les aires et les volumes. Ensuite, la randonnée vers les roches de la Ouaïème fait appel au théorème de Thalès et aux vitesses moyennes.
Viennent ensuite un exercice complet sur les fonctions (lecture graphique, tableur, fonction affine, équation produit) et un dernier exercice sur l’hexagone régulier tracé avec un script Scratch. Chaque réponse est justifiée pas à pas pour t’aider à réviser.
Corrigé du sujet (brevet blanc 2024)
Exercice 1 :
QCM, 15 points
1. Ainsi, il fallait repérer, parmi les nombres proposés, celui qui est strictement inférieur à 1. Par ailleurs, un seul des nombres proposés vérifie cette condition : réponse A.
2. On calcule \( \dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{5}\times \dfrac{7}{4} \) en effectuant d’abord la multiplication (priorité opératoire) :
\[ \frac{3}{5}-\frac{2}{5}\times \frac{7}{4}=\frac{3}{5}-\frac{14}{20}=\frac{3}{5}-\frac{7}{10}=\frac{6}{10}-\frac{7}{10}=-\frac{1}{10}. \]
De même, le résultat est \( -\dfrac{1}{10} \) : réponse A.
3. Également, un article coûte 80 € et bénéficie d’une réduction de 20 €. Puis le pourcentage de réduction est :
\[ \frac{20}{80}=\frac{1}{4}=\frac{25}{100}=25\,\%. \]
Par ailleurs, la réduction est de 25 % : réponse B.
4. Enfin, ABCD est un parallélogramme, E est le point d’intersection de ses diagonales et F le milieu de [AB]. Ensuite, les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu, donc E est le milieu de [AC] et \( \mathrm{AE}=\dfrac{1}{2}\,\mathrm{AC} \). De même \( \mathrm{AF}=\dfrac{1}{2}\,\mathrm{AB} \). Puis l’homothétie de centre A et de rapport \( \dfrac{1}{2} \) transforme donc B en F et C en E : réponse C.
5. De plus, la série comporte 9 notes. Rangées dans l’ordre croissant (3 ; 5 ; 8 ; 10 ; 11 ; …), la médiane est la 5e valeur, car elle laisse 4 valeurs avant elle et 4 après. De plus, la médiane vaut donc 11 : réponse C.
De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.
Exercice 2 (brevet blanc 2024)
Paniers de légumes, 18 points
Ainsi, José a récolté 39 salades, 78 carottes et 51 aubergines et veut les répartir en paniers identiques, sans reste.
1. a. On décompose chacun des nombres en produit de facteurs premiers :
- \( 39=3\times 13 \) ;
- \( 78=60+18=6\times 10+6\times 3=6\times 13=2\times 3\times 13 \) ;
- \( 51=30+21=3\times 10+3\times 7=3\times 17 \).
1. b. On écrit chaque nombre comme un multiple de 3 :
\[ 39=3\times 13,\qquad 78=3\times 26,\qquad 51=3\times 17. \]
De même, le seul facteur premier commun aux trois nombres est 3 (13 ne divise pas 51 et 17 ne divise pas 39) : le plus grand diviseur commun est 3. José peut donc faire au maximum 3 paniers identiques.
1. c. Les seconds facteurs donnent la composition de chaque panier : 13 salades, 26 carottes et 17 aubergines.
2. José décide finalement de préparer 13 paniers.
Exercice 2 (brevet blanc 2024) (suite)
2. a. On divise chaque quantité par 13 :
\[ 39=13\times 3,\qquad 78=13\times 6,\qquad 51=13\times 3+12. \]
Également, Chacun des 13 paniers contient 3 salades, 6 carottes et 3 aubergines, et il reste 12 aubergines non utilisées.
2. b. Avec une aubergine de plus, José en aurait 52 et \( 52=13\times 4 \) : chaque panier recevrait alors 4 aubergines, sans reste.
3. Par ailleurs, on cherche un nombre de tomates compris entre 110 et 125 qui soit un multiple de 13. Ensuite, les multiples de 13 voisins sont :
\[ 13\times 8=104,\qquad 13\times 9=117,\qquad 13\times 10=130. \]
Enfin, on a \( 104\lt 110\lt 117\lt 125\lt 130 \) : le seul multiple de 13 dans cet intervalle est 117. José doit donc récolter 117 tomates, ce qui en met exactement 9 dans chacun des 13 paniers.
Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.
Exercice 3 :
Isolation d’un toit, 18 points
1. De plus, on cherche la longueur DE. D’après les données de la figure, \( \mathrm{BE}=\mathrm{AC}=2{,}5 \) m et \( \mathrm{BD}=4{,}3 \) m, donc :
\[ \mathrm{DE}=\mathrm{BD}-\mathrm{BE}=4{,}3-2{,}5=1{,}8\ \text{m}. \]
2. Ainsi, on veut montrer que \( \mathrm{DF}=3{,}6 \) m.
Méthode 1 (trigonométrie). Le triangle DEF est rectangle en E et l’angle \( \widehat{\mathrm{DFE}} \) mesure 30°. Par ailleurs, le sinus de cet angle est le rapport du côté opposé sur l’hypoténuse :
\[ \sin 30^\circ=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{DF}},\quad\text{soit}\quad \frac{1}{2}=\frac{1{,}8}{\mathrm{DF}},\quad\text{donc}\quad \mathrm{DF}=2\times 1{,}8=3{,}6\ \text{m}. \]
Méthode 2 (géométrie). Soit H le symétrique de D par rapport à E. Puis la droite (FE) est perpendiculaire à [DH] en son milieu E : c’est la médiatrice de [DH], donc \( \mathrm{FD}=\mathrm{FH} \). Ensuite, dans le triangle DEF, \( \widehat{\mathrm{EDF}}=180-90-30=60^\circ \). Puis le triangle DFH est isocèle en F avec un angle de 60° : il est équilatéral. Ainsi \( \mathrm{DF}=\mathrm{DH}=2\times 1{,}8=3{,}6 \) m.
3. De même, le toit de la terrasse est un rectangle de 12 m sur 3,6 m, d’aire :
\[ 12\times 3{,}6=43{,}2\ \text{m}^2. \]
Également, un rouleau couvre 6 m² et \( \dfrac{43{,}2}{6}=7{,}2 \). Sept rouleaux ne suffisent pas : il faut acheter 8 rouleaux.
Exercice 3 (suite)
4. Le triangle CDE est rectangle en E, avec \( \mathrm{DE}=1{,}8 \) m et \( \mathrm{EC}=8 \) m. D’après le théorème de Pythagore :
\[ \mathrm{DC}^2=\mathrm{DE}^2+\mathrm{EC}^2=1{,}8^2+8^2=3{,}24+64=67{,}24. \]
Par ailleurs, comme \( 8{,}2^2=67{,}24 \), on obtient \( \mathrm{DC}=8{,}2 \) m.
5. Enfin, le toit de la partie habitable est un rectangle de 12 m sur 8,2 m. De plus, une couche de ouate de 10 cm, soit 0,1 m, forme un pavé droit de volume :
\[ 12\times 8{,}2\times 0{,}1=9{,}84\ \text{m}^3. \]
Un mètre cube de ouate pèse 40 kg, donc la masse de ouate posée sur ce toit est :
\[ 9{,}84\times 40=393{,}6\ \text{kg}. \]
De plus, la ouate pèse 393,6 kg.
Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.
Exercice 4 (brevet blanc 2024)
Les roches de la Ouaïème, 13 points
1. Ainsi, les droites (PN) et (VM) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (DM). Or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : (PN) et (VM) sont parallèles.
2. Les points D, P, V d’une part et D, N, M d’autre part sont alignés, et (PN) est parallèle à (VM). D’après le théorème de Thalès, les longueurs des triangles DNP et DMV sont proportionnelles :
\[ \frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{DV}}=\frac{\mathrm{DN}}{\mathrm{DM}}=\frac{\mathrm{NP}}{\mathrm{MV}}. \]
De même, Avec \( \mathrm{DP}=3 \) km, \( \mathrm{DV}=3{,}8 \) km et \( \mathrm{MV}=741 \) m :
\[ \frac{3}{3{,}8}=\frac{\mathrm{NP}}{741},\quad\text{donc}\quad \mathrm{NP}=\frac{741\times 3}{3{,}8}=\frac{2\,223}{3{,}8}=585\ \text{m}. \]
Le panneau se trouve donc à l’altitude 585 m.
Exercice 4 (brevet blanc 2024) (suite)
3. Fabienne a parcouru 3 km en 2 heures. Sa vitesse moyenne est :
\[ v=\frac{3}{2}=1{,}5\ \text{km/h}. \]
4. Également, il reste à Fabienne \( 3{,}8-3=0{,}8 \) km à parcourir à la vitesse de 1,2 km/h. Ensuite, on se demande si elle arrivera au sommet dans la durée prévue de 2 h 30 min.
Méthode 1. La durée restante est :
\[ t=\frac{0{,}8}{1{,}2}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\ \text{h}=\frac{40}{60}\ \text{h}=40\ \text{min}. \]
Fabienne mettra donc 2 h 40 min au total, soit 10 minutes de plus que la durée estimée.
Méthode 2. En une demi-heure, à 1,2 km/h, elle parcourt \( 1{,}2\times 0{,}5=0{,}6 \) km. Au bout de 2 h 30 min, elle n’aura parcouru que \( 3+0{,}6=3{,}6 \) km, ce qui est moins que les 3,8 km du parcours : elle dépassera les 2 h 30 min de montée.
Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.
Exercice 5 :
Fonctions, 20 points
1. a. La représentation graphique d’une fonction affine est une droite. Par ailleurs, la courbe \( \mathcal{C}_f \) de l’annexe n’est pas une droite, donc \( f \) n’est pas une fonction affine.
1. b. On complète le tableau de valeurs en lisant le graphique (ou en calculant \( f(x)=(x+3)(x-1) \)) :
| A | B | C | D | E | F | G | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | \( x \) | \( -3 \) | \( -2 \) | \( -1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 2 \) |
| 2 | \( f(x) \) | \( 0 \) | \( -3 \) | \( -4 \) | \( -3 \) | \( 0 \) | \( 5 \) |
1. c. Une formule saisie en B2 puis étirée vers la droite doit calculer \( f(x) \) à partir de la valeur de \( x \) placée en B1. Parmi les trois propositions :
| =B1+3 | =(B1+3)*(B1-1) | =SOMME(B1:G1) |
Par ailleurs, la bonne formule est la deuxième, =(B1+3)*(B1-1), qui traduit \( f(x)=(x+3)(x-1) \). Puis la première ne calcule que \( x+3 \) et la troisième additionne toutes les valeurs de \( x \).
2. Enfin, on considère la fonction affine \( g \) définie par \( g(x)=2x+1 \).
Exercice 5 (suite)
2. a. L’image de \( -2 \) par \( g \) est \( g(-2)=2\times (-2)+1=-4+1=\mathbf{-3} \).
2. b. \( g(3)=2\times 3+1=\mathbf{7} \).
2. c. On cherche le nombre \( x \) tel que \( g(x)=2 \) :
\[ 2x+1=2\iff 2x=1\iff x=\frac{1}{2}. \]
De plus, l’antécédent de 2 par \( g \) est \( \dfrac{1}{2} \).
2. d. La représentation graphique de \( g \) est une droite : deux points suffisent pour la tracer ; on en prend un troisième par sécurité. Par exemple \( (0\,;\,1) \), \( (-1\,;\,-1) \) et \( (1\,;\,3) \) puisque \( g(0)=1 \), \( g(-1)=-1 \) et \( g(1)=3 \).
Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. De même, de plus, on prend le temps de bien rédiger.
Exercice 5 : (suite)
3. L’expression de la fonction \( f \) est \( f(x)=(x+3)(x-1) \).
3. a. On développe : pour tout nombre \( x \),
\[ f(x)=x^2-x+3x-3=x^2+2x-3. \]
3. b. On résout \( f(x)=g(x) \) :
\[ x^2+2x-3=2x+1\iff x^2=4\iff x^2-4=0\iff (x+2)(x-2)=0. \]
Ainsi, un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \( x+2=0 \) ou \( x-2=0 \), soit \( x=-2 \) ou \( x=2 \). Ensuite, on retrouve les abscisses des deux points d’intersection de \( \mathcal{C}_f \) et de la droite, \( (-2\,;\,-3) \) et \( (2\,;\,5) \), visibles sur le graphique.
Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.
Exercice 6 :
Hexagone régulier, 16 points
1. a. Chaque angle intérieur d’un hexagone régulier mesure 120°. Puis l’angle \( \widehat{\mathrm{XBC}} \), formé par le prolongement du côté [AB] et le côté [BC], est supplémentaire de l’angle \( \widehat{\mathrm{ABC}} \) :
\[ \widehat{\mathrm{XBC}}=180-120=60^\circ. \]
1. b. Pour tracer l’hexagone, le lutin doit répéter 6 fois : avancer de la longueur du côté puis tourner de 60° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. De plus, le bloc « Hexagone » s’écrit :
définir Hexagone
stylo en position d'écriture
répéter 6 fois
avancer de (longueur)
tourner ↺ de 60 degrés
fin répéter
relever le stylo
2. a. La boucle principale du script est exécutée 5 fois et appelle le bloc « Hexagone » à chaque passage : le script trace 5 hexagones.
2. b. La variable longueur vaut 32 au départ : les côtés du premier hexagone mesurent 32 unités.
2. c. Après chaque hexagone, la longueur est multipliée par 1,5. Ensuite, les côtés du deuxième hexagone mesurent donc \( 32\times 1{,}5=\mathbf{48} \) unités.
2. d. On obtient donc cinq hexagones de plus en plus grands (côtés 32 ; 48 ; 72 ; 108 ; 162), ce qui correspond au dessin 3.
Brevet blanc 2024 : méthode de travail
Avant tout, rédige ta propre réponse sur un brouillon. Ensuite, vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. Par ailleurs, en outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.
Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, le programme officiel de mathématiques est détaillé sur le site Éduscol. Également, tu peux continuer avec corrigé du brevet de maths 2025 en France.
