Corrigé du brevet blanc de maths 2024 n° 4

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

QCM, 15 points

1. Il fallait repérer, parmi les nombres proposés, celui qui est strictement inférieur à 1. Un seul des nombres proposés vérifie cette condition : réponse A.

2. On calcule \( \dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{5}\times \dfrac{7}{4} \) en effectuant d’abord la multiplication (priorité opératoire) :

\[ \frac{3}{5}-\frac{2}{5}\times \frac{7}{4}=\frac{3}{5}-\frac{14}{20}=\frac{3}{5}-\frac{7}{10}=\frac{6}{10}-\frac{7}{10}=-\frac{1}{10}. \]

Le résultat est \( -\dfrac{1}{10} \) : réponse A.

3. Un article coûte 80 € et bénéficie d’une réduction de 20 €. Le pourcentage de réduction est :

\[ \frac{20}{80}=\frac{1}{4}=\frac{25}{100}=25\,\%. \]

La réduction est de 25 % : réponse B.

4. ABCD est un parallélogramme, E est le point d’intersection de ses diagonales et F le milieu de [AB]. Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu, donc E est le milieu de [AC] et \( \mathrm{AE}=\dfrac{1}{2}\,\mathrm{AC} \). De même \( \mathrm{AF}=\dfrac{1}{2}\,\mathrm{AB} \). L’homothétie de centre A et de rapport \( \dfrac{1}{2} \) transforme donc B en F et C en E : réponse C.

5. La série comporte 9 notes. Rangées dans l’ordre croissant (3 ; 5 ; 8 ; 10 ; 11 ; …), la médiane est la 5^e valeur, car elle laisse 4 valeurs avant elle et 4 après. La médiane vaut donc 11 : réponse C.

Exercice 2 :

Paniers de légumes, 18 points

José a récolté 39 salades, 78 carottes et 51 aubergines et veut les répartir en paniers identiques, sans reste.

1. a. On décompose chacun des nombres en produit de facteurs premiers :

• \( 39=3\times 13 \) ;
• \( 78=60+18=6\times 10+6\times 3=6\times 13=2\times 3\times 13 \) ;
• \( 51=30+21=3\times 10+3\times 7=3\times 17 \).

1. b. On écrit chaque nombre comme un multiple de 3 :

\[ 39=3\times 13,\qquad 78=3\times 26,\qquad 51=3\times 17. \]

Le seul facteur premier commun aux trois nombres est 3 (13 ne divise pas 51 et 17 ne divise pas 39) : le plus grand diviseur commun est 3. José peut donc faire au maximum 3 paniers identiques.

1. c. Les seconds facteurs donnent la composition de chaque panier : 13 salades, 26 carottes et 17 aubergines.

2. José décide finalement de préparer 13 paniers.

2. a. On divise chaque quantité par 13 :

\[ 39=13\times 3,\qquad 78=13\times 6,\qquad 51=13\times 3+12. \]

Chacun des 13 paniers contient 3 salades, 6 carottes et 3 aubergines, et il reste 12 aubergines non utilisées.

2. b. Avec une aubergine de plus, José en aurait 52 et \( 52=13\times 4 \) : chaque panier recevrait alors 4 aubergines, sans reste.

3. On cherche un nombre de tomates compris entre 110 et 125 qui soit un multiple de 13. Les multiples de 13 voisins sont :

\[ 13\times 8=104,\qquad 13\times 9=117,\qquad 13\times 10=130. \]

On a \( 104\lt 110\lt 117\lt 125\lt 130 \) : le seul multiple de 13 dans cet intervalle est 117. José doit donc récolter 117 tomates, ce qui en met exactement 9 dans chacun des 13 paniers.

Exercice 3 :

Isolation d’un toit, 18 points

1. On cherche la longueur DE. D’après les données de la figure, \( \mathrm{BE}=\mathrm{AC}=2{,}5 \) m et \( \mathrm{BD}=4{,}3 \) m, donc :

\[ \mathrm{DE}=\mathrm{BD}-\mathrm{BE}=4{,}3-2{,}5=1{,}8\ \text{m}. \]

2. On veut montrer que \( \mathrm{DF}=3{,}6 \) m.

Méthode 1 (trigonométrie). Le triangle DEF est rectangle en E et l’angle \( \widehat{\mathrm{DFE}} \) mesure 30°. Le sinus de cet angle est le rapport du côté opposé sur l’hypoténuse :

\[ \sin 30^\circ=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{DF}},\quad\text{soit}\quad \frac{1}{2}=\frac{1{,}8}{\mathrm{DF}},\quad\text{donc}\quad \mathrm{DF}=2\times 1{,}8=3{,}6\ \text{m}. \]

Méthode 2 (géométrie). Soit H le symétrique de D par rapport à E. La droite (FE) est perpendiculaire à [DH] en son milieu E : c’est la médiatrice de [DH], donc \( \mathrm{FD}=\mathrm{FH} \). Dans le triangle DEF, \( \widehat{\mathrm{EDF}}=180-90-30=60^\circ \). Le triangle DFH est isocèle en F avec un angle de 60° : il est équilatéral. Ainsi \( \mathrm{DF}=\mathrm{DH}=2\times 1{,}8=3{,}6 \) m.

3. Le toit de la terrasse est un rectangle de 12 m sur 3,6 m, d’aire :

\[ 12\times 3{,}6=43{,}2\ \text{m}^2. \]

Un rouleau couvre 6 m² et \( \dfrac{43{,}2}{6}=7{,}2 \). Sept rouleaux ne suffisent pas : il faut acheter 8 rouleaux.

4. Le triangle CDE est rectangle en E, avec \( \mathrm{DE}=1{,}8 \) m et \( \mathrm{EC}=8 \) m. D’après le théorème de Pythagore :

\[ \mathrm{DC}^2=\mathrm{DE}^2+\mathrm{EC}^2=1{,}8^2+8^2=3{,}24+64=67{,}24. \]

Comme \( 8{,}2^2=67{,}24 \), on obtient \( \mathrm{DC}=8{,}2 \) m.

5. Le toit de la partie habitable est un rectangle de 12 m sur 8,2 m. Une couche de ouate de 10 cm, soit 0,1 m, forme un pavé droit de volume :

\[ 12\times 8{,}2\times 0{,}1=9{,}84\ \text{m}^3. \]

Un mètre cube de ouate pèse 40 kg, donc la masse de ouate posée sur ce toit est :

\[ 9{,}84\times 40=393{,}6\ \text{kg}. \]

La ouate pèse 393,6 kg.

Exercice 4 :

Les roches de la Ouaïème, 13 points

1. Les droites (PN) et (VM) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (DM). Or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : (PN) et (VM) sont parallèles.

2. Les points D, P, V d’une part et D, N, M d’autre part sont alignés, et (PN) est parallèle à (VM). D’après le théorème de Thalès, les longueurs des triangles DNP et DMV sont proportionnelles :

\[ \frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{DV}}=\frac{\mathrm{DN}}{\mathrm{DM}}=\frac{\mathrm{NP}}{\mathrm{MV}}. \]

Avec \( \mathrm{DP}=3 \) km, \( \mathrm{DV}=3{,}8 \) km et \( \mathrm{MV}=741 \) m :

\[ \frac{3}{3{,}8}=\frac{\mathrm{NP}}{741},\quad\text{donc}\quad \mathrm{NP}=\frac{741\times 3}{3{,}8}=\frac{2\,223}{3{,}8}=585\ \text{m}. \]

Le panneau se trouve donc à l’altitude 585 m.

3. Fabienne a parcouru 3 km en 2 heures. Sa vitesse moyenne est :

\[ v=\frac{3}{2}=1{,}5\ \text{km/h}. \]

4. Il reste à Fabienne \( 3{,}8-3=0{,}8 \) km à parcourir à la vitesse de 1,2 km/h. On se demande si elle arrivera au sommet dans la durée prévue de 2 h 30 min.

Méthode 1. La durée restante est :

\[ t=\frac{0{,}8}{1{,}2}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\ \text{h}=\frac{40}{60}\ \text{h}=40\ \text{min}. \]

Fabienne mettra donc 2 h 40 min au total, soit 10 minutes de plus que la durée estimée.

Méthode 2. En une demi-heure, à 1,2 km/h, elle parcourt \( 1{,}2\times 0{,}5=0{,}6 \) km. Au bout de 2 h 30 min, elle n’aura parcouru que \( 3+0{,}6=3{,}6 \) km, ce qui est moins que les 3,8 km du parcours : elle dépassera les 2 h 30 min de montée.

Exercice 5 :

Fonctions, 20 points

1. a. La représentation graphique d’une fonction affine est une droite. La courbe \( \mathcal{C}_f \) de l’annexe n’est pas une droite, donc \( f \) n’est pas une fonction affine.

1. b. On complète le tableau de valeurs en lisant le graphique (ou en calculant \( f(x)=(x+3)(x-1) \)) :

	A	B	C	D	E	F	G
1	\( x \)	\( -3 \)	\( -2 \)	\( -1 \)	\( 0 \)	\( 1 \)	\( 2 \)
2	\( f(x) \)	\( 0 \)	\( -3 \)	\( -4 \)	\( -3 \)	\( 0 \)	\( 5 \)

1. c. Une formule saisie en B2 puis étirée vers la droite doit calculer \( f(x) \) à partir de la valeur de \( x \) placée en B1. Parmi les trois propositions :

=B1+3

=(B1+3)*(B1-1)

=SOMME(B1:G1)

la bonne formule est la deuxième, =(B1+3)*(B1-1), qui traduit \( f(x)=(x+3)(x-1) \). La première ne calcule que \( x+3 \) et la troisième additionne toutes les valeurs de \( x \).

2. On considère la fonction affine \( g \) définie par \( g(x)=2x+1 \).

2. a. L’image de \( -2 \) par \( g \) est \( g(-2)=2\times (-2)+1=-4+1=\mathbf{-3} \).

2. b. \( g(3)=2\times 3+1=\mathbf{7} \).

2. c. On cherche le nombre \( x \) tel que \( g(x)=2 \) :

\[ 2x+1=2\iff 2x=1\iff x=\frac{1}{2}. \]

L’antécédent de 2 par \( g \) est \( \dfrac{1}{2} \).

2. d. La représentation graphique de \( g \) est une droite : deux points suffisent pour la tracer ; on en prend un troisième par sécurité. Par exemple \( (0\,;\,1) \), \( (-1\,;\,-1) \) et \( (1\,;\,3) \) puisque \( g(0)=1 \), \( g(-1)=-1 \) et \( g(1)=3 \).

3. L’expression de la fonction \( f \) est \( f(x)=(x+3)(x-1) \).

3. a. On développe : pour tout nombre \( x \),

\[ f(x)=x^2-x+3x-3=x^2+2x-3. \]

3. b. On résout \( f(x)=g(x) \) :

\[ x^2+2x-3=2x+1\iff x^2=4\iff x^2-4=0\iff (x+2)(x-2)=0. \]

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \( x+2=0 \) ou \( x-2=0 \), soit \( x=-2 \) ou \( x=2 \). On retrouve les abscisses des deux points d’intersection de \( \mathcal{C}_f \) et de la droite, \( (-2\,;\,-3) \) et \( (2\,;\,5) \), visibles sur le graphique.

Exercice 6 :

Hexagone régulier, 16 points

1. a. Chaque angle intérieur d’un hexagone régulier mesure 120°. L’angle \( \widehat{\mathrm{XBC}} \), formé par le prolongement du côté [AB] et le côté [BC], est supplémentaire de l’angle \( \widehat{\mathrm{ABC}} \) :

\[ \widehat{\mathrm{XBC}}=180-120=60^\circ. \]

1. b. Pour tracer l’hexagone, le lutin doit répéter 6 fois : avancer de la longueur du côté puis tourner de 60° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Le bloc « Hexagone » s’écrit :

définir Hexagone
stylo en position d'écriture
répéter 6 fois
    avancer de (longueur)
    tourner ↺ de 60 degrés
fin répéter
relever le stylo

2. a. La boucle principale du script est exécutée 5 fois et appelle le bloc « Hexagone » à chaque passage : le script trace 5 hexagones.

2. b. La variable longueur vaut 32 au départ : les côtés du premier hexagone mesurent 32 unités.

2. c. Après chaque hexagone, la longueur est multipliée par 1,5. Les côtés du deuxième hexagone mesurent donc \( 32\times 1{,}5=\mathbf{48} \) unités.

2. d. On obtient donc cinq hexagones de plus en plus grands (côtés 32 ; 48 ; 72 ; 108 ; 162), ce qui correspond au dessin 3.