Voici le corrigé complet du brevet blanc de maths de mai 2022, un sujet d’entraînement de deux heures noté sur 50 points, conçu pour préparer le DNB 2022 en classe de 3e. Les sept exercices balayent l’essentiel du programme de géométrie et d’algorithmique. On commence par une fonction du second degré qui modélise l’aire d’un rectangle de périmètre fixé, avec image, antécédents et lecture graphique d’un maximum. Viennent ensuite la trigonométrie appliquée à un escalier de mezzanine, le calcul d’aire et de volume d’une yourte (cylindre surmonté d’un cône) avec une maquette à l’échelle, puis un exercice qui enchaîne réciproque de Pythagore, théorème de Thalès et Pythagore. La contraposée de Thalès sert à prouver que deux droites ne sont pas parallèles, un calcul d’angles permet de tester un alignement de points, et le sujet se termine par un programme Scratch qui guide un lutin vers une porte selon un code binaire.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page Brevet Maths 2022 : sujet blanc pour réviser le brevet : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Fonctions : aire d’un rectangle de périmètre 32 cm
On étudie un rectangle ABCD de périmètre 32 cm, dont on note \(x\) la longueur AB (en cm).
1. a. On demande de tracer le rectangle en vraie grandeur lorsque \(x = 10\) cm.
Le périmètre vaut \(2 \times (\text{longueur} + \text{largeur}) = 32\) cm, donc le demi-périmètre vaut \(\dfrac{32}{2} = 16\) cm. La largeur est alors \(16 – 10 = 6\) cm.
Il suffit de tracer un rectangle de 10 cm sur 6 cm (angles droits à l’équerre).
1. b. On exprime BC en fonction de \(x\).
\[2 \times (AB + BC) = 32 \quad \text{donc} \quad x + BC = 16 \quad \text{puis} \quad BC = 16 – x.\]
\(BC = 16 – x\) (en cm).
1. c. On en déduit l’aire du rectangle en fonction de \(x\).
Aire \(= \text{longueur} \times \text{largeur} = AB \times BC\), soit \(\mathcal{A}(x) = x(16 – x)\) en cm².
2. a. On considère \(f(x) = x(16 – x)\) ; on cherche l’image de 4 et son sens concret.
\[f(4) = 4 \times (16 – 4) = 4 \times 12 = 48.\]
L’image de 4 par \(f\) est 48. Concrètement : lorsque la longueur AB mesure 4 cm, l’aire du rectangle est de 48 cm² (la largeur vaut alors 12 cm).
2. b. On cherche les antécédents de 0, c’est-à-dire les nombres \(x\) tels que \(f(x) = 0\).
\(x(16 – x) = 0\). Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :
\[x = 0 \quad \text{ou} \quad 16 – x = 0, \quad \text{soit} \quad x = 0 \quad \text{ou} \quad x = 16.\]
Les antécédents de 0 par \(f\) sont 0 et 16. (Ce sont les cas limites où le rectangle est « aplati » : aire nulle.)
3. On lit sur la courbe de \(f\) (aire en fonction de \(x\)) des valeurs approchées.
a. On trace la droite horizontale d’ordonnée 40 : elle coupe la courbe en deux points, dont les abscisses sont environ 3 et 13. On obtient une aire de 40 cm² pour \(x \approx 3{,}1\) cm et \(x \approx 12{,}9\) cm.
Vérification par le calcul : \(x(16-x) = 40\) équivaut à \(x^2 – 16x + 40 = 0\), dont les solutions sont \(8 – \sqrt{24} \approx 3{,}10\) et \(8 + \sqrt{24} \approx 12{,}90\). La lecture graphique est cohérente.
b. Le point le plus haut de la courbe a pour coordonnées environ \((8\ ;\ 64)\). L’aire maximale est donc de 64 cm², atteinte pour \(x = 8\) cm. Le rectangle est alors un carré de 8 cm de côté (\(BC = 16 – 8 = 8\)).
4. Le point A\((2\ ;\ 28)\) appartient-il à la courbe de \(f\) ? On calcule l’image de l’abscisse 2 :
\[f(2) = 2 \times (16 – 2) = 2 \times 14 = 28.\]
L’image de 2 est bien égale à l’ordonnée du point A, donc le point A\((2\ ;\ 28)\) appartient à la courbe représentative de \(f\).
Exercice 2 :
Trigonométrie : l’escalier de la mezzanine
L’escalier est modélisé par un triangle ABC rectangle en A, avec \(BC = 3{,}5\) m et \(\widehat{ABC} = 40^\circ\). Une marche est représentée par un triangle EBD rectangle en D, avec \(BD = 20\) cm et \(\widehat{BED} = 40^\circ\).
1. On cherche une valeur approchée au centimètre près de la longueur AB.
Dans le triangle ABC rectangle en A, [AB] est le côté adjacent à l’angle \(\widehat{ABC}\) et [BC] est l’hypoténuse :
\[\cos \widehat{ABC} = \frac{AB}{BC} \quad \text{donc} \quad \cos 40^\circ = \frac{AB}{3{,}5}.\]
\[AB = 3{,}5 \times \cos 40^\circ \approx 2{,}681 \text{ m}.\]
La longueur AB est d’environ 2,68 m.
2. On cherche la profondeur DE d’une marche au millimètre près.
Dans le triangle EBD rectangle en D, pour l’angle \(\widehat{BED}\), [BD] est le côté opposé et [DE] le côté adjacent :
\[\tan \widehat{BED} = \frac{BD}{DE} \quad \text{donc} \quad \tan 40^\circ = \frac{20}{DE}.\]
\[DE = \frac{20}{\tan 40^\circ} \approx 23{,}835 \text{ cm}.\]
La profondeur d’une marche est d’environ 23,8 cm, soit 238 mm.
Exercice 3 :
Aires et volumes : la yourte de Samia
La yourte est modélisée par un cylindre de diamètre 7 m et de hauteur 2,5 m, surmonté d’un cône de même base ; la hauteur totale est de 4,5 m. L’appartement de Samia a une surface au sol de 35 m².
1. On montre que l’appartement offre une plus petite surface au sol que la yourte.
Le sol de la yourte est un disque de rayon \(\dfrac{7}{2} = 3{,}5\) m. Son aire vaut :
\[\pi R^2 = \pi \times 3{,}5^2 = 12{,}25\pi \approx 38{,}5 \text{ m}^2.\]
Comme \(38{,}5 \gt 35\), l’appartement de Samia a une surface au sol plus petite que celle de la yourte.
2. On calcule le volume de la yourte, arrondi au dixième de m³.
Volume du cylindre (rayon 3,5 m, hauteur 2,5 m) :
\[V_{\text{cyl}} = \pi R^2 h = \pi \times 3{,}5^2 \times 2{,}5 = 30{,}625\pi \text{ m}^3.\]
Volume du cône : même base de rayon 3,5 m, hauteur \(4{,}5 – 2{,}5 = 2\) m :
\[V_{\text{cône}} = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times 3{,}5^2 \times 2 = \frac{24{,}5\pi}{3} \text{ m}^3.\]
Volume total :
\[V = 30{,}625\pi + \frac{24{,}5\pi}{3} = \frac{91{,}875\pi + 24{,}5\pi}{3} = \frac{116{,}375\pi}{3} \approx 121{,}87 \text{ m}^3.\]
Le volume de la yourte est d’environ 121,9 m³ (cylindre \(\approx 96{,}2\) m³ et cône \(\approx 25{,}7\) m³).
Attention : une erreur fréquente consiste à oublier le facteur \(R^2\) dans le volume du cône, ce qui donne un cône de seulement 2,1 m³ environ, beaucoup trop petit pour un toit de 7 m de diamètre.
3. Samia réalise une maquette à l’échelle \(\dfrac{1}{25}\). On cherche la hauteur de la maquette.
Toutes les longueurs sont divisées par 25 :
\[\frac{4{,}5}{25} = 0{,}18 \text{ m} = 18 \text{ cm}.\]
La maquette mesure 18 cm de haut.
Exercice 4 :
Réciproque de Pythagore, Thalès et Pythagore
Le point K appartient au segment [IL] et le point J au segment [IM]. On donne (en mètres) \(IK = 3{,}2\), \(KL = 1{,}8\), \(IJ = 4\) et \(KJ = 2{,}4\) ; le triangle ILM est rectangle en L.
1. On montre que le triangle IKJ est rectangle.
Le plus grand côté du triangle IKJ est [IJ]. On calcule séparément :
\[IJ^2 = 4^2 = 16 \qquad IK^2 + KJ^2 = 3{,}2^2 + 2{,}4^2 = 10{,}24 + 5{,}76 = 16.\]
On a \(IJ^2 = IK^2 + KJ^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle IKJ est rectangle en K.
2. On montre que \(LM = 3{,}75\) m.
Le triangle IKJ est rectangle en K, donc \((KJ) \perp (IL)\). Le triangle ILM est rectangle en L, donc \((LM) \perp (IL)\). Or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles : \((KJ) \parallel (LM)\).
Les points I, K, L d’une part et I, J, M d’autre part sont alignés, et \((KJ) \parallel (LM)\). D’après le théorème de Thalès :
\[\frac{IK}{IL} = \frac{IJ}{IM} = \frac{KJ}{LM}.\]
Avec \(IL = IK + KL = 3{,}2 + 1{,}8 = 5\) m :
\[\frac{3{,}2}{5} = \frac{2{,}4}{LM} \quad \text{donc} \quad LM = \frac{5 \times 2{,}4}{3{,}2} = \frac{12}{3{,}2} = 3{,}75.\]
On a bien \(LM = 3{,}75\) m.
3. On calcule KM au centimètre près.
Le triangle KLM est rectangle en L (car ILM est rectangle en L et K appartient à [IL]). D’après le théorème de Pythagore :
\[KM^2 = KL^2 + LM^2 = 1{,}8^2 + 3{,}75^2 = 3{,}24 + 14{,}0625 = 17{,}3025.\]
\[KM = \sqrt{17{,}3025} \approx 4{,}159\ldots\]
La longueur KM vaut environ 4,16 m.
Exercice 5 :
Contraposée du théorème de Thalès : les deux cordes
Deux cordes [AD] et [BC] se coupent en E, avec \(EA = 7\) m, \(EB = 13\) m, \(EC = 10\) m et \(ED = 9\) m. On se demande si les droites (AC) et (BD) sont parallèles.
Les points A, E, D d’une part et C, E, B d’autre part sont alignés (configuration « papillon »). On compare les rapports :
\[\frac{EA}{ED} = \frac{7}{9} = \frac{7 \times 13}{9 \times 13} = \frac{91}{117} \qquad \frac{EC}{EB} = \frac{10}{13} = \frac{10 \times 9}{13 \times 9} = \frac{90}{117}.\]
Donc \(\dfrac{EA}{ED} \neq \dfrac{EC}{EB}\).
Si les droites (AC) et (BD) étaient parallèles, le théorème de Thalès donnerait l’égalité \(\dfrac{EA}{ED} = \dfrac{EC}{EB}\), ce qui n’est pas le cas. Par contraposée, les droites (AC) et (BD) ne sont pas parallèles.
Exercice 6 :
Trigonométrie : les points E, A et B sont-ils alignés ?
Sur la figure, ADE est rectangle en E avec \(DE = 3\) cm et \(DA = 5\) cm ; ABC est rectangle en B avec \(AB = 3\) cm et \(AC = 4{,}2\) cm ; enfin \(\widehat{DAC} = 102^\circ\). Les points E, A et B sont alignés si et seulement si \(\widehat{EAD} + \widehat{DAC} + \widehat{CAB} = 180^\circ\).
Angle \(\widehat{EAD}\). Dans le triangle ADE rectangle en E, [DE] est le côté opposé à l’angle \(\widehat{EAD}\) et [DA] l’hypoténuse :
\[\sin \widehat{EAD} = \frac{DE}{DA} = \frac{3}{5} = 0{,}6 \quad \text{donc} \quad \widehat{EAD} \approx 36{,}9^\circ.\]
Angle \(\widehat{CAB}\). Dans le triangle ABC rectangle en B, [AB] est le côté adjacent à l’angle \(\widehat{CAB}\) et [AC] l’hypoténuse :
\[\cos \widehat{CAB} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4{,}2} \quad \text{donc} \quad \widehat{CAB} \approx 44{,}4^\circ.\]
Somme des trois angles :
\[\widehat{EAD} + \widehat{DAC} + \widehat{CAB} \approx 36{,}9 + 102 + 44{,}4 = 183{,}3^\circ.\]
Comme \(183{,}3^\circ \neq 180^\circ\), l’angle \(\widehat{EAB}\) n’est pas plat : les points E, A et B ne sont pas alignés. (Sur un dessin, l’écart de 3° est presque invisible : seul le calcul permet de conclure.)
Exercice 7 :
Algorithmique : le programme Scratch d’Anna
À chacune des 4 étapes, le lutin s’oriente à 90° (vers la droite), demande « 0 ou 1 ? », puis tourne de 30° vers la gauche et avance de 50 pas si la réponse est 0, ou tourne de 30° vers la droite et avance de 50 pas si la réponse est 1. Autrement dit : un 0 fait monter d’un cran, un 1 fait descendre d’un cran dans le réseau qui mène aux portes 0 (en haut) à 4 (en bas).
1. On cherche la porte atteinte avec le code 0-0-1-0.
Le lutin monte, monte, descend, puis monte : partant de A, il passe par D, E, S et arrive en J. Le lutin arrive à la porte 1.
2. On propose un code qui mène à la porte 3.
Pour arriver à la porte 3, il faut descendre trois fois et monter une fois. Par exemple 0-1-1-1 (ou encore 1-0-1-1, 1-1-0-1, 1-1-1-0).
3. a. On détermine les six codes qui mènent à la porte 2, puis b. on additionne leurs chiffres.
Pour arriver à la porte 2, il faut monter deux fois et descendre deux fois : les codes contiennent exactement deux 0 et deux 1.
| Code | Somme des chiffres |
|---|---|
| 0-0-1-1 | 2 |
| 0-1-0-1 | 2 |
| 0-1-1-0 | 2 |
| 1-0-0-1 | 2 |
| 1-0-1-0 | 2 |
| 1-1-0-0 | 2 |
On constate que la somme des chiffres est toujours égale à 2, c’est-à-dire au numéro de la porte.
4. Que représente la somme des chiffres d’un code ?
Chaque chiffre 1 fait descendre le lutin d’une porte, chaque 0 le fait monter, et la somme des chiffres compte le nombre de 1. La somme des chiffres du code est donc le numéro de la porte à laquelle arrive le lutin. On le vérifie avec les questions précédentes : 0-0-1-0 a pour somme 1 (porte 1) et 0-1-1-1 a pour somme 3 (porte 3).
