Corrigé du brevet blanc de maths 2022 n° 4 (mai 2022) à télécharger en PDF

L’énoncé de cette épreuve est sur la page Brevet Maths 2022 : sujet blanc pour réviser le brevet : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.

Corrigé du sujet (brevet blanc 4)

Exercice 1 :

Fonctions : aire d’un rectangle de périmètre 32 cm

Par ailleurs, on étudie un rectangle ABCD de périmètre 32 cm, dont on note \(x\) la longueur AB (en cm).

1. a. On demande de tracer le rectangle en vraie grandeur lorsque \(x = 10\) cm.

Le périmètre vaut \(2 \times (\text{longueur} + \text{largeur}) = 32\) cm, donc le demi-périmètre vaut \(\dfrac{32}{2} = 16\) cm. Par ailleurs, la largeur est alors \(16 – 10 = 6\) cm.

Enfin, il suffit de tracer un rectangle de 10 cm sur 6 cm (angles droits à l’équerre).

1. b. On exprime BC en fonction de \(x\).

\[2 \times (AB + BC) = 32 \quad \text{donc} \quad x + BC = 16 \quad \text{puis} \quad BC = 16 – x.\]

\(BC = 16 – x\) (en cm).

1. c. On en déduit l’aire du rectangle en fonction de \(x\).

De plus, aire \(= \text{longueur} \times \text{largeur} = AB \times BC\), soit \(\mathcal{A}(x) = x(16 – x)\) en cm².

Exercice 1 (suite)

2. a. On considère \(f(x) = x(16 – x)\) ; on cherche l’image de 4 et son sens concret.

\[f(4) = 4 \times (16 – 4) = 4 \times 12 = 48.\]

Ainsi, l’image de 4 par \(f\) est 48. Concrètement : lorsque la longueur AB mesure 4 cm, l’aire du rectangle est de 48 cm² (la largeur vaut alors 12 cm).

2. b. On cherche les antécédents de 0, c’est-à-dire les nombres \(x\) tels que \(f(x) = 0\).

\(x(16 – x) = 0\). Puis un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :

\[x = 0 \quad \text{ou} \quad 16 – x = 0, \quad \text{soit} \quad x = 0 \quad \text{ou} \quad x = 16.\]

De même, les antécédents de 0 par \(f\) sont 0 et 16. (Ce sont les cas limites où le rectangle est « aplati » : aire nulle.)

3. Également, on lit sur la courbe de \(f\) (aire en fonction de \(x\)) des valeurs approchées.

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 1 : (suite)

a. On trace la droite horizontale d’ordonnée 40 : elle coupe la courbe en deux points, dont les abscisses sont environ 3 et 13. Ensuite, on obtient une aire de 40 cm² pour \(x \approx 3{,}1\) cm et \(x \approx 12{,}9\) cm.

Vérification par le calcul : \(x(16-x) = 40\) équivaut à \(x^2 – 16x + 40 = 0\), dont les solutions sont \(8 – \sqrt{24} \approx 3{,}10\) et \(8 + \sqrt{24} \approx 12{,}90\). Puis la lecture graphique est cohérente.

b. Le point le plus haut de la courbe a pour coordonnées environ \((8\ ;\ 64)\). De plus, l’aire maximale est donc de 64 cm², atteinte pour \(x = 8\) cm. Ensuite, le rectangle est alors un carré de 8 cm de côté (\(BC = 16 – 8 = 8\)).

4. Par ailleurs, le point A\((2\ ;\ 28)\) appartient-il à la courbe de \(f\) ? Par ailleurs, on calcule l’image de l’abscisse 2 :

\[f(2) = 2 \times (16 – 2) = 2 \times 14 = 28.\]

L’image de 2 est bien égale à l’ordonnée du point A, donc le point A\((2\ ;\ 28)\) appartient à la courbe représentative de \(f\).

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 2 (brevet blanc 4)

Trigonométrie : l’escalier de la mezzanine

Enfin, l’escalier est modélisé par un triangle ABC rectangle en A, avec \(BC = 3{,}5\) m et \(\widehat{ABC} = 40^\circ\). Puis une marche est représentée par un triangle EBD rectangle en D, avec \(BD = 20\) cm et \(\widehat{BED} = 40^\circ\).

1. De plus, on cherche une valeur approchée au centimètre près de la longueur AB.

Ainsi, dans le triangle ABC rectangle en A, [AB] est le côté adjacent à l’angle \(\widehat{ABC}\) et [BC] est l’hypoténuse :

\[\cos \widehat{ABC} = \frac{AB}{BC} \quad \text{donc} \quad \cos 40^\circ = \frac{AB}{3{,}5}.\]

\[AB = 3{,}5 \times \cos 40^\circ \approx 2{,}681 \text{ m}.\]

De même, la longueur AB est d’environ 2,68 m.

2. Également, on cherche la profondeur DE d’une marche au millimètre près.

Par ailleurs, dans le triangle EBD rectangle en D, pour l’angle \(\widehat{BED}\), [BD] est le côté opposé et [DE] le côté adjacent :

\[\tan \widehat{BED} = \frac{BD}{DE} \quad \text{donc} \quad \tan 40^\circ = \frac{20}{DE}.\]

\[DE = \frac{20}{\tan 40^\circ} \approx 23{,}835 \text{ cm}.\]

Enfin, la profondeur d’une marche est d’environ 23,8 cm, soit 238 mm.

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Également, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 3 :

Aires et volumes : la yourte de Samia

La yourte est modélisée par un cylindre de diamètre 7 m et de hauteur 2,5 m, surmonté d’un cône de même base ; la hauteur totale est de 4,5 m. Ensuite, L’appartement de Samia a une surface au sol de 35 m².

1. De plus, on montre que l’appartement offre une plus petite surface au sol que la yourte.

Ainsi, le sol de la yourte est un disque de rayon \(\dfrac{7}{2} = 3{,}5\) m. Son aire vaut :

\[\pi R^2 = \pi \times 3{,}5^2 = 12{,}25\pi \approx 38{,}5 \text{ m}^2.\]

De même, comme \(38{,}5 \gt 35\), l’appartement de Samia a une surface au sol plus petite que celle de la yourte.

2. Également, on calcule le volume de la yourte, arrondi au dixième de m³.

Volume du cylindre (rayon 3,5 m, hauteur 2,5 m) :

\[V_{\text{cyl}} = \pi R^2 h = \pi \times 3{,}5^2 \times 2{,}5 = 30{,}625\pi \text{ m}^3.\]

Volume du cône : même base de rayon 3,5 m, hauteur \(4{,}5 – 2{,}5 = 2\) m :

\[V_{\text{cône}} = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times 3{,}5^2 \times 2 = \frac{24{,}5\pi}{3} \text{ m}^3.\]

Volume total :

\[V = 30{,}625\pi + \frac{24{,}5\pi}{3} = \frac{91{,}875\pi + 24{,}5\pi}{3} = \frac{116{,}375\pi}{3} \approx 121{,}87 \text{ m}^3.\]

Par ailleurs, le volume de la yourte est d’environ 121,9 m³ (cylindre \(\approx 96{,}2\) m³ et cône \(\approx 25{,}7\) m³).

Attention : une erreur fréquente consiste à oublier le facteur \(R^2\) dans le volume du cône, ce qui donne un cône de seulement 2,1 m³ environ, beaucoup trop petit pour un toit de 7 m de diamètre.

Exercice 3 (suite)

3. Samia réalise une maquette à l’échelle \(\dfrac{1}{25}\). Puis on cherche la hauteur de la maquette.

Enfin, toutes les longueurs sont divisées par 25 :

\[\frac{4{,}5}{25} = 0{,}18 \text{ m} = 18 \text{ cm}.\]

De plus, la maquette mesure 18 cm de haut.

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 4 (brevet blanc 4)

Réciproque de Pythagore, Thalès et Pythagore

Ainsi, le point K appartient au segment [IL] et le point J au segment [IM]. De plus, on donne (en mètres) \(IK = 3{,}2\), \(KL = 1{,}8\), \(IJ = 4\) et \(KJ = 2{,}4\) ; le triangle ILM est rectangle en L.

1. De même, on montre que le triangle IKJ est rectangle.

Également, le plus grand côté du triangle IKJ est [IJ]. Ensuite, on calcule séparément :

\[IJ^2 = 4^2 = 16 \qquad IK^2 + KJ^2 = 3{,}2^2 + 2{,}4^2 = 10{,}24 + 5{,}76 = 16.\]

On a \(IJ^2 = IK^2 + KJ^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle IKJ est rectangle en K.

2. Par ailleurs, on montre que \(LM = 3{,}75\) m.

Le triangle IKJ est rectangle en K, donc \((KJ) \perp (IL)\). Par ailleurs, le triangle ILM est rectangle en L, donc \((LM) \perp (IL)\). Par ailleurs, or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles : \((KJ) \parallel (LM)\).

Les points I, K, L d’une part et I, J, M d’autre part sont alignés, et \((KJ) \parallel (LM)\). D’après le théorème de Thalès :

\[\frac{IK}{IL} = \frac{IJ}{IM} = \frac{KJ}{LM}.\]

Enfin, Avec \(IL = IK + KL = 3{,}2 + 1{,}8 = 5\) m :

\[\frac{3{,}2}{5} = \frac{2{,}4}{LM} \quad \text{donc} \quad LM = \frac{5 \times 2{,}4}{3{,}2} = \frac{12}{3{,}2} = 3{,}75.\]

On a bien \(LM = 3{,}75\) m.

Exercice 4 (brevet blanc 4) (suite)

3. On calcule KM au centimètre près.

Le triangle KLM est rectangle en L (car ILM est rectangle en L et K appartient à [IL]). D’après le théorème de Pythagore :

\[KM^2 = KL^2 + LM^2 = 1{,}8^2 + 3{,}75^2 = 3{,}24 + 14{,}0625 = 17{,}3025.\]

\[KM = \sqrt{17{,}3025} \approx 4{,}159\ldots\]

La longueur KM vaut environ 4,16 m.

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 5 :

Contraposée du théorème de Thalès : les deux cordes

Deux cordes [AD] et [BC] se coupent en E, avec \(EA = 7\) m, \(EB = 13\) m, \(EC = 10\) m et \(ED = 9\) m. Puis on se demande si les droites (AC) et (BD) sont parallèles.

Les points A, E, D d’une part et C, E, B d’autre part sont alignés (configuration « papillon »). Ensuite, on compare les rapports :

\[\frac{EA}{ED} = \frac{7}{9} = \frac{7 \times 13}{9 \times 13} = \frac{91}{117} \qquad \frac{EC}{EB} = \frac{10}{13} = \frac{10 \times 9}{13 \times 9} = \frac{90}{117}.\]

Donc \(\dfrac{EA}{ED} \neq \dfrac{EC}{EB}\).

Si les droites (AC) et (BD) étaient parallèles, le théorème de Thalès donnerait l’égalité \(\dfrac{EA}{ED} = \dfrac{EC}{EB}\), ce qui n’est pas le cas. Par contraposée, les droites (AC) et (BD) ne sont pas parallèles.

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 6 (brevet blanc 4)

Trigonométrie : les points E, A et B sont-ils alignés ?

Sur la figure, ADE est rectangle en E avec \(DE = 3\) cm et \(DA = 5\) cm ; ABC est rectangle en B avec \(AB = 3\) cm et \(AC = 4{,}2\) cm ; enfin \(\widehat{DAC} = 102^\circ\). Puis les points E, A et B sont alignés si et seulement si \(\widehat{EAD} + \widehat{DAC} + \widehat{CAB} = 180^\circ\).

Angle \(\widehat{EAD}\). Dans le triangle ADE rectangle en E, [DE] est le côté opposé à l’angle \(\widehat{EAD}\) et [DA] l’hypoténuse :

\[\sin \widehat{EAD} = \frac{DE}{DA} = \frac{3}{5} = 0{,}6 \quad \text{donc} \quad \widehat{EAD} \approx 36{,}9^\circ.\]

Angle \(\widehat{CAB}\). Dans le triangle ABC rectangle en B, [AB] est le côté adjacent à l’angle \(\widehat{CAB}\) et [AC] l’hypoténuse :

\[\cos \widehat{CAB} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4{,}2} \quad \text{donc} \quad \widehat{CAB} \approx 44{,}4^\circ.\]

Somme des trois angles :

\[\widehat{EAD} + \widehat{DAC} + \widehat{CAB} \approx 36{,}9 + 102 + 44{,}4 = 183{,}3^\circ.\]

Comme \(183{,}3^\circ \neq 180^\circ\), l’angle \(\widehat{EAB}\) n’est pas plat : les points E, A et B ne sont pas alignés. (Sur un dessin, l’écart de 3° est presque invisible : seul le calcul permet de conclure.)

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 7 :

Algorithmique : le programme Scratch d’Anna

À chacune des 4 étapes, le lutin s’oriente à 90° (vers la droite), demande « 0 ou 1 ? », puis tourne de 30° vers la gauche et avance de 50 pas si la réponse est 0, ou tourne de 30° vers la droite et avance de 50 pas si la réponse est 1. Autrement dit : un 0 fait monter d’un cran, un 1 fait descendre d’un cran dans le réseau qui mène aux portes 0 (en haut) à 4 (en bas).

1. On cherche la porte atteinte avec le code 0-0-1-0.

Le lutin monte, monte, descend, puis monte : partant de A, il passe par D, E, S et arrive en J. Le lutin arrive à la porte 1.

2. On propose un code qui mène à la porte 3.

Pour arriver à la porte 3, il faut descendre trois fois et monter une fois. Par exemple 0-1-1-1 (ou encore 1-0-1-1, 1-1-0-1, 1-1-1-0).

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 7 : (suite)

3. a. On détermine les six codes qui mènent à la porte 2, puis b. on additionne leurs chiffres.

Pour arriver à la porte 2, il faut monter deux fois et descendre deux fois : les codes contiennent exactement deux 0 et deux 1.

Code	Somme des chiffres
0-0-1-1	2
0-1-0-1	2
0-1-1-0	2
1-0-0-1	2
1-0-1-0	2
1-1-0-0	2

On constate que la somme des chiffres est toujours égale à 2, c’est-à-dire au numéro de la porte.

4. Que représente la somme des chiffres d’un code ?

Chaque chiffre 1 fait descendre le lutin d’une porte, chaque 0 le fait monter, et la somme des chiffres compte le nombre de 1. La somme des chiffres du code est donc le numéro de la porte à laquelle arrive le lutin. On le vérifie avec les questions précédentes : 0-0-1-0 a pour somme 1 (porte 1) et 0-1-1-1 a pour somme 3 (porte 3).

Brevet blanc 4 : nos conseils pour progresser

D’abord, cherche chaque exercice seul, sur une feuille de brouillon. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. Par ailleurs, brevet blanc 4 demande surtout de la régularité.

Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, le programme officiel de mathématiques est détaillé sur le site Éduscol. Également, tu peux continuer avec corrigé du brevet de maths 2016 en Polynésie.