Contrôle de maths spé : exponentielle de matrice, systèmes linéaires

Exercice 1 : Question de cours : dérivation et exponentielle d’une somme (3 points)

Calculatrice interdite.

Dans tout le sujet, \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est muni d’une norme d’algèbre \(\| \cdot \|\), c’est-à-dire telle que \(\|AB\| \leq\, \|A\|\, \|B\|\) pour toutes matrices \(A\) et \(B\).

1. Rappelez la définition de \(\exp(A)\) pour \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) et justifiez la convergence de la série qui la définit. (1 point)
2. Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Démontrez que \(\varphi : t \mapsto \exp(tA)\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et que \(\varphi^{\prime}(t) = A \exp(tA) = \exp(tA) A\). (1 point)
3. Soit \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) telles que \(AB = BA\). On admet que \(B\) commute alors avec \(\exp(tA)\) pour tout réel \(t\). En comparant \(t \mapsto \exp(t(A + B))\) et \(t \mapsto \exp(tA) \exp(tB)\), démontrez que \(\exp(A + B) = \exp(A) \exp(B)\). Déduisez-en que \(\exp(A)\) est inversible. (1 point)

Exercice 2 : Calculs d’exponentielles (5 points)

1. Soit \(A_1 = \begin{pmatrix} 1 2 \\ 2 1 \end{pmatrix}\). Diagonalisez \(A_1\) et calculez \(\exp(A_1)\). (1,5 point)
2. Soit \(N = \begin{pmatrix} 0 1 2 \\ 0 0 3 \\ 0 0 0 \end{pmatrix}\). Calculez \(N^2\) et \(N^3\), puis \(\exp(N)\). (1 point)
3. Soit \(B = \begin{pmatrix} 2 1 0 \\ 0 2 1 \\ 0 0 2 \end{pmatrix}\). Écrivez \(B = 2 I_3 + J\) avec \(J\) nilpotente et calculez \(\exp(tB)\) pour tout réel \(t\), en justifiant chaque étape. (1,5 point)
4. Soit \(C = \begin{pmatrix} 0 1 \\ 0 0 \end{pmatrix}\) et \(D = \begin{pmatrix} 0 0 \\ 1 0 \end{pmatrix}\). Calculez \(\exp(C)\), \(\exp(D)\) et \(\exp(C + D)\). Que constatez-vous ? (1 point)

Exercice 3 : Spectre et déterminant de exp(A) (4 points)

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\). On sait qu’il existe \(P \in GL_n(\mathbb{C})\) et une matrice triangulaire supérieure \(T\), de coefficients diagonaux \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\), telles que \(A = P T P^{-1}\).

1. Montrez que \(\exp(A) = P \exp(T) P^{-1}\), puis que \(\exp(T)\) est triangulaire supérieure de coefficients diagonaux \(e^{\lambda_1}, \ldots, e^{\lambda_n}\). (1,5 point)
2. Déduisez-en que \(\operatorname{Sp}(\exp(A)) = \{ e^{\lambda} : \lambda \in \operatorname{Sp}(A) \}\) et que \(\det(\exp(A)) = e^{\operatorname{tr}(A)}\). (1 point)
3. Montrez que l’application \(\exp : \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to GL_n(\mathbb{R})\) n’est pas surjective. (0,5 point)
4. Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) antisymétrique. Montrez que \(\exp(A) \in SO_n(\mathbb{R})\). (1 point)

Exercice 4 : Problème : un système différentiel en dimension 3 (8 points)

On note \(U\) la matrice de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) dont tous les coefficients valent \(1\), \(u = (1, 1, 1)\) et

\[A = \begin{pmatrix} 0 1 1 \\ 1 0 1 \\ 1 1 0 \end{pmatrix} = U – I_3.\]

On étudie le système différentiel \(X^{\prime} = AX\), d’inconnue \(X : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3\).

1. Calculez \(U^2\) et déduisez-en que \(A^2 = A + 2 I_3\). (1 point)
2. Montrez que \(A\) est diagonalisable, de valeurs propres \(2\) et \(-1\), et déterminez ses sous-espaces propres. (1,5 point)
3. Montrez que, pour tout réel \(t\), \(\exp(tA) = e^{-t} I_3 + \dfrac{e^{2t} – e^{-t}}{3}\, U\). (2 points)
4. Déterminez la solution du système vérifiant \(X(0) = (1, 0, 0)\). (1,5 point)
5. Déterminez les conditions initiales \(X(0) = (a, b, c)\) pour lesquelles la solution tend vers \(0\) quand \(t \to +\infty\). Interprétez géométriquement cet ensemble. (1 point)
6. Résolvez le système \(X^{\prime} = AX + u\) avec la condition \(X(0) = 0\), en cherchant d’abord une solution constante. (1 point)

Réviser avant le contrôle : exponentielle de matrice, systèmes linéaires

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Systèmes différentiels linéaires » en maths spé puis entraînez-vous avec les exercices corrigés systèmes différentiels linéaires.

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