Corrigé du contrôle de maths spé : séries entières et développements usuels

Exercice 1 : Question de cours : lemme d’Abel et rayon de convergence (3 points)

1. Lemme d’Abel. Soit \(z_0 \neq 0\) tel que \((a_n z_0^n)\) soit bornée. Alors, pour tout \(z\) vérifiant \(|z| < |z_0|\), la série \(\sum a_n z^n\) converge absolument.

   Démonstration. Soit \(M\) tel que \(|a_n z_0^n| \leq\, M\) pour tout \(n\), et soit \(z\) tel que \(|z| < |z_0|\). On pose \(q = \dfrac{|z|}{|z_0|} \in [0,1[\). Alors :

   \[|a_n z^n| = |a_n z_0^n| |\frac{z}{z_0}|^n \leq\, M q^n.\]

   Or la série géométrique \(\sum M q^n\) converge, car \(0 \leq\, q < 1\). Par comparaison de séries à termes positifs, \(\sum a_n z^n\) converge absolument.

2. Le rayon de convergence est \(R = \sup\{ r \geq\, 0 \,:\, (a_n r^n) \text{ est bornée} \} \in [0,+\infty]\). La série converge absolument si \(|z| < R\) et diverge grossièrement si \(|z| > R\).
3. Soit \(\sum a_n x^n\) de rayon \(R > 0\) et de somme \(S\) sur \(]-R,R[\). La série dérivée \(\sum n a_n x^{n-1}\) a le même rayon \(R\). De plus, \(S\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(]-R,R[\) et \(S^{\prime}(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1}\) ; en particulier \(a_n = \dfrac{S^{(n)}(0)}{n!}\).

Barème : a) 1,5 point : 0,5 point pour l’énoncé, 1 point pour la majoration géométrique et la conclusion ; b) 0,5 point ; c) 1 point : 0,5 point pour le rayon conservé, 0,5 point pour la régularité et la formule.

Exercice 2 : Deux rayons de convergence (4 points)

1. La série est lacunaire : on ne peut pas appliquer la règle de d’Alembert aux coefficients. On l’applique donc à la série numérique. Pour \(z \neq 0\), on pose \(u_n = n!\,|z|^{n^2} > 0\). Alors :

   \[\frac{u_{n+1}}{u_n} = (n+1)\,|z|^{(n+1)^2 – n^2} = (n+1)\,|z|^{2n+1}.\]

   Si \(|z| < 1\), ce rapport tend vers \(0\) par croissances comparées, donc la série converge absolument. Si \(|z| \geq\, 1\), alors \(u_n \geq\, n! \geq\, 1\), et le terme général ne tend pas vers \(0\) : la série diverge grossièrement. Le rayon de convergence vaut donc \(R = 1\).

2. 1. Par la quantité conjuguée, \(a_n = \dfrac{(n^2+1) – n^2}{\sqrt{n^2+1} + n} = \dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}\). Comme \(\sqrt{n^2+1} \sim n\), on obtient \(a_n \sim \dfrac{1}{2n}\). Deux séries entières dont les coefficients sont équivalents ont le même rayon. Or le rayon de \(\sum \dfrac{x^n}{2n}\) vaut \(1\), car le rapport \(\dfrac{n}{n+1}\) tend vers \(1\). Donc le rayon de \(\sum a_n x^n\) vaut \(1\).
   2. Pour \(x = 1\) : \(a_n > 0\) et \(a_n \sim \dfrac{1}{2n}\), terme général d’une série divergente. Par comparaison de séries à termes positifs, \(\sum a_n\) diverge.

      Pour \(x = -1\) : le dénominateur \(\sqrt{n^2+1}+n\) croît strictement vers \(+\infty\). Ainsi \((a_n)\) est décroissante et tend vers \(0\). Par le critère spécial des séries alternées, \(\sum (-1)^n a_n\) converge.

Erreur fréquente : écrire \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\) pour la série lacunaire, alors que la plupart des coefficients sont nuls.

Barème : a) 1,5 point : 1 point pour le rapport et le cas \(|z| < 1\), 0,5 point pour la divergence grossière ; b) i) 1 point : 0,5 point pour l’équivalent, 0,5 point pour le rayon ; ii) 1,5 point : 0,5 point pour \(x = 1\), 1 point pour \(x = -1\) (décroissance justifiée et critère cité).

Exercice 3 : Développements usuels et calcul de sommes (5 points)

1. Pour \(|t| < 1\), on a \(\dfrac{1}{1+t} = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n t^n\), de rayon \(1\). On peut primitiver terme à terme sur \(]-1,1[\) sans changer le rayon. Comme \(\ln(1+0) = 0\), il vient :

   \[\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n, \quad x \in ]-1,1[.\]

   De même, en remplaçant \(t\) par \(t^2\), on a \(\dfrac{1}{1+t^2} = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n t^{2n}\) pour \(|t| < 1\). Puis, en primitivant avec \(\arctan 0 = 0\) :

   \[\arctan x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}, \quad x \in ]-1,1[.\]

   Les deux développements ont pour rayon \(1\). La figure montre que les sommes partielles approchent l’arctangente sur \(]-1,1[\) et s’en écartent au-delà.

   

2. 1. Sur \(]-R,R[\), on a \((1+x)y^{\prime}(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} ((n+1)a_{n+1} + n a_n) x^n\). Par unicité des coefficients, l’équation équivaut à \((n+1)a_{n+1} + n a_n = \alpha a_n\) pour tout \(n\), soit :

      \[a_{n+1} = \frac{\alpha – n}{n+1}\, a_n, \quad \text{donc} \quad a_n = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.\]

      Comme \(\alpha \notin \mathbb{N}\), aucun \(a_n\) n’est nul, et \(|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}| = \dfrac{|\alpha – n|}{n+1} \to 1\). Par la règle de d’Alembert, il existe une unique série solution, et son rayon vaut \(1\).

   2. Sur \(]-1,1[\), on pose \(h(x) = y(x)(1+x)^{-\alpha}\). Alors :

      \[h^{\prime}(x) = (1+x)^{-\alpha-1}((1+x)y^{\prime}(x) – \alpha\, y(x)) = 0.\]

      La fonction \(h\) est donc constante sur l’intervalle \(]-1,1[\), égale à \(h(0) = a_0 = 1\). Ainsi \((1+x)^\alpha = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!} x^n\) pour \(|x| < 1\).

3. Pour \(|x| < 1\), on dérive terme à terme \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} x^n = \frac{1}{1-x}\) puis on multiplie par \(x\) :

   \[\sum_{n=0}^{+\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}.\]

   En recommençant, on calcule \(\dfrac{d}{dx}(\dfrac{x}{(1-x)^2}) = \dfrac{(1-x) + 2x}{(1-x)^3} = \dfrac{1+x}{(1-x)^3}\). Donc :

   \[\sum_{n=0}^{+\infty} n^2 x^n = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}.\]

   Enfin, avec \(x = \dfrac{1}{2}\) : \(\dfrac{\frac{1}{2} \times \frac{3}{2}}{\frac{1}{8}} = \dfrac{3}{4} \times 8 = 6\). Donc \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2}{2^n} = 6\).

Barème : a) 1,5 point : 0,5 point pour le logarithme, 0,5 point pour l’arctangente, 0,5 point pour la primitivation justifiée et le rayon ; b) i) 1 point : 0,5 point pour la récurrence, 0,5 point pour le rayon ; ii) 1 point ; c) 1,5 point : 0,5 point par somme, 0,5 point pour la valeur \(6\).

Exercice 4 : Une équation différentielle résolue par série entière (4 points)

1. Sur \(]-R,R[\), la somme \(y\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) et on peut dériver terme à terme. D’abord :

   \[x\,y^{\prime\prime}(x) + 2\,y^{\prime}(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} (n(n-1) + 2n) a_n x^{n-1} = \sum_{m=0}^{+\infty} (m+1)(m+2)\, a_{m+1} x^m.\]

   Ensuite, \(x\,y(x) = \displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} a_{m-1} x^m\). Par unicité des coefficients d’une série entière de rayon non nul, \(y\) est solution sur \(]-R,R[\) si et seulement si le coefficient constant \(2a_1\) est nul et, pour \(m \geq\, 1\), \((m+1)(m+2)a_{m+1} + a_{m-1} = 0\). C’est bien la condition annoncée.

2. Comme \(a_1 = 0\), la relation \(a_{n+1} = -\dfrac{a_{n-1}}{(n+1)(n+2)}\) donne par récurrence \(a_{2k+1} = 0\). Pour les indices pairs, avec \(n = 2k+1\), on obtient \(a_{2k+2} = -\dfrac{a_{2k}}{(2k+2)(2k+3)}\). Par récurrence :

   \[a_{2k} = \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\, a_0.\]

   En effet, la formule vaut pour \(k = 0\), et si elle vaut au rang \(k\), alors \(a_{2k+2} = \dfrac{(-1)^{k+1} a_0}{(2k+1)!\,(2k+2)(2k+3)} = \dfrac{(-1)^{k+1} a_0}{(2k+3)!}\).

   Pour \(x \neq 0\), la série \(\sum \dfrac{x^{2k}}{(2k+1)!}\) converge absolument par la règle de d’Alembert, puisque le rapport \(\dfrac{x^2}{(2k+2)(2k+3)}\) tend vers \(0\) : le rayon est \(+\infty\). De plus, pour \(x \neq 0\) :

   \[\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k+1)!} = \frac{1}{x}\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!} = \frac{\sin x}{x}.\]

   Ainsi \(y(x) = a_0\,\dfrac{\sin x}{x}\) pour \(x \neq 0\), et \(y(0) = a_0\), avec un rayon infini.

3. Réciproquement, pour tout \(a_0\), la série obtenue vérifie les conditions de a) sur \(\mathbb{R}\). Les solutions développables en série entière sont donc les fonctions \(x \mapsto a_0\,\dfrac{\sin x}{x}\), prolongées par \(a_0\) en \(0\), avec \(a_0 \in \mathbb{R}\).

Barème : a) 2 points : 1 point pour les dérivations et le décalage d’indice, 0,5 point pour l’unicité des coefficients, 0,5 point pour \(a_1 = 0\) ; b) 1,5 point : 0,5 point pour les coefficients, 0,5 point pour le rayon, 0,5 point pour la somme ; c) 0,5 point.

Exercice 5 : Problème : une récurrence et sa série génératrice (4 points)

1. On montre par récurrence forte que \(0 < t_k \leq\, k!\) pour tout \(k\). C’est vrai pour \(k = 0\) et \(k = 1\). Supposons-le jusqu’au rang \(n \geq\, 1\). Alors \(t_{n+1} = t_n + n t_{n-1} > 0\), et :

   \[t_{n+1} \leq\, n! + n\,(n-1)! = 2\,n! \leq\, (n+1)\,n! = (n+1)!,\]

   car \(n + 1 \geq\, 2\). Ainsi, pour \(|x| < 1\), \(|\dfrac{t_n}{n!} x^n| \leq\, |x|^n\), terme général d’une série convergente. Le rayon de \(f\) est donc au moins \(1\).

2. Sur \(]-1,1[\), la dérivation terme à terme donne \(f^{\prime}(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t_{n+1}}{n!} x^n\). D’autre part :

   \[(1+x) f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t_n}{n!} x^n + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{t_{n-1}}{(n-1)!} x^n = t_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{t_n + n\,t_{n-1}}{n!} x^n.\]

   Or \(t_1 = t_0 = 1\) et \(t_n + n t_{n-1} = t_{n+1}\) pour \(n \geq\, 1\). Les deux séries coïncident, donc \(f^{\prime}(x) = (1+x) f(x)\) sur \(]-1,1[\).

3. C’est une équation linéaire d’ordre un. La fonction \(x \mapsto f(x)\, e^{-x – x^2/2}\) a une dérivée nulle sur \(]-1,1[\), donc elle est constante, égale à \(f(0) = t_0 = 1\). Ainsi \(f(x) = e^{x + x^2/2}\) pour \(|x| < 1\).
4. Les séries \(e^x = \displaystyle\sum_{j \geq\, 0} \frac{x^j}{j!}\) et \(e^{x^2/2} = \displaystyle\sum_{k \geq\, 0} \frac{x^{2k}}{2^k\, k!}\) ont un rayon infini. Leur produit de Cauchy a donc pour coefficient de \(x^n\) :

   \[c_n = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{1}{2^k\, k!} \cdot \frac{1}{(n-2k)!}.\]

   Ce produit vaut \(f(x)\) sur \(]-1,1[\). Par unicité des coefficients, \(\dfrac{t_n}{n!} = c_n\). On obtient bien la formule annoncée.

   Vérification : par la récurrence, \(t_2 = 1 + 1 = 2\), \(t_3 = 2 + 2 \times 1 = 4\), \(t_4 = 4 + 3 \times 2 = 10\) et \(t_5 = 10 + 4 \times 4 = 26\). Par la formule, \(t_5 = 1 + \dfrac{120}{2 \times 1 \times 6} + \dfrac{120}{4 \times 2 \times 1} = 1 + 10 + 15 = 26\). Les deux calculs donnent \(t_5 = 26\).

   Enfin, la série de \(f\) coïncide avec le produit de Cauchy, dont le rayon est infini. Le rayon de convergence de \(f\) est donc \(+\infty\), et \(f(x) = e^{x + x^2/2}\) sur \(\mathbb{R}\).

Barème : a) 1 point : 0,5 point pour la récurrence, 0,5 point pour le rayon ; b) 1 point ; c) 0,5 point ; d) 1,5 point : 0,5 point pour le produit de Cauchy, 0,5 point pour l’unicité et la formule, 0,5 point pour la vérification et le rayon infini.

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