Contrôle de maths L3 : résidus et calcul d’intégrales réelles

Exercice 1 : Question de cours : singularités et théorème des résidus (3 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Dans tout le sujet, les cercles sont parcourus une fois dans le sens direct. On note \(D^{*}(a,r) = \{z \in \mathbb{C} : 0 < |z-a| < r\}\).

1. Soit \(f\) holomorphe sur \(D^{*}(a,r)\), de série de Laurent \(\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n (z-a)^n\). Donnez la définition d’une singularité effaçable, d’un pôle d’ordre \(m\) et d’une singularité essentielle en \(a\) à l’aide des coefficients \(c_n\). Définissez aussi le résidu \(\operatorname{Res}(f,a)\). (1 point)
2. Énoncez le théorème des résidus pour une fonction holomorphe sur un ouvert simplement connexe privé d’un nombre fini de points et un lacet simple. (1 point)
3. Soient \(g\) et \(h\) holomorphes au voisinage de \(a\), avec \(g(a) \neq 0\), \(h(a) = 0\) et \(h^{\prime}(a) \neq 0\). Démontrez que \(a\) est un pôle simple de \(g/h\) et que \(\operatorname{Res}(\dfrac{g}{h}, a) = \dfrac{g(a)}{h^{\prime}(a)}\). (1 point)

Exercice 2 : Singularités, séries de Laurent et résidus (4 points)

1. Déterminez la nature de la singularité en \(0\) de \(z \mapsto \dfrac{\sin z}{z}\), puis de \(z \mapsto e^{1/z}\). Donnez le résidu de \(e^{1/z}\) en \(0\). (1,5 point)
2. Soit \(f(z) = \dfrac{1}{z(z-1)}\). Donnez le développement en série de Laurent de \(f\) sur la couronne \(0 < |z| < 1\), puis sur la couronne \(|z| > 1\). Pourquoi ces deux développements sont-ils différents ? (1,5 point)
3. Calculez \(\operatorname{Res}(z^2 e^{1/z}, 0)\), puis \(\operatorname{Res}(\dfrac{1}{(z^2+1)^2}, i)\). (1 point)

Exercice 3 : Intégrale d’une fraction rationnelle sur la droite réelle (4 points)

On veut calculer \(I = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{\mathrm{d}x}{1+x^4}\). On pose \(f(z) = \dfrac{1}{1+z^4}\). Pour \(R > 1\), on note \(\Gamma_R\) le demi-cercle \(t \mapsto Re^{it}\), \(t \in [0,\pi]\), et \(\gamma_R\) le lacet formé du segment \([-R,R]\) suivi de \(\Gamma_R\).

1. Justifiez la convergence de \(I\). Déterminez les pôles de \(f\), leur ordre, et ceux qui sont situés à l’intérieur de \(\gamma_R\). Calculez les résidus correspondants. (1,5 point)
2. Appliquez le théorème des résidus pour calculer \(\displaystyle\int_{\gamma_R} f(z)\,\mathrm{d}z\). (1 point)
3. Montrez que \(\displaystyle\int_{\Gamma_R} f(z)\,\mathrm{d}z\) tend vers \(0\) quand \(R \to +\infty\), en rédigeant la majoration. Déduisez-en la valeur de \(I\). (1,5 point)

Exercice 4 : Deux autres intégrales réelles (4 points)

1. À l’aide du changement de variable \(z = e^{i\theta}\), calculez \(J = \displaystyle\int_{0}^{2\pi} \dfrac{\mathrm{d}\theta}{2 + \cos\theta}\). Faites un dessin du cercle unité et des pôles de la fonction obtenue. (2 points)
2. On pose \(g(z) = \dfrac{e^{iz}}{z^2+1}\) et on reprend le contour \(\gamma_R\) de l’exercice 3. Calculez \(\displaystyle\int_{\gamma_R} g(z)\,\mathrm{d}z\) pour \(R > 1\). Montrez ensuite que l’intégrale sur \(\Gamma_R\) tend vers \(0\), puis déduisez-en \(K = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{\cos x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x\). (2 points)

Exercice 5 : Problème : nombre de zéros par le théorème de Rouché (5 points)

On considère le polynôme \(P(z) = z^5 – 6z^2 + 2\).

1. Énoncez le théorème de Rouché. (1 point)
2. Montrez que \(P\) a exactement deux zéros, comptés avec multiplicité, dans le disque ouvert \(D(0,1)\), et qu’il n’en a aucun sur le cercle \(|z| = 1\). (1,5 point)
3. Montrez que tous les zéros de \(P\) sont dans \(D(0,2)\). Combien de zéros \(P\) a-t-il dans la couronne \(1 < |z| < 2\) ? (1 point)
4. Montrez que les deux zéros de \(P\) situés dans \(D(0,1)\) sont réels. Montrez ensuite que \(P\) a exactement un zéro réel dans la couronne. Concluez sur la position des deux derniers zéros. (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : résidus et calcul d’intégrales réelles

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Théorème des résidus » en L3 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés théorème des résidus.

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