Contrôle de maths L3 : différentielle de Fréchet et formules de Taylor

Exercice 1 : Question de cours : différentiabilité et accroissements finis (3 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Dans tout l’exercice, \(E\) et \(F\) sont des espaces vectoriels normés, \(U\) est un ouvert de \(E\) et \(f : U \to F\) une application.

1. Donnez la définition de « \(f\) est différentiable en \(a \in U\) ». Démontrez ensuite que si \(f\) est différentiable en \(a\), alors \(f\) est continue en \(a\). (1,5 point)
2. Énoncez l’inégalité des accroissements finis pour une application différentiable sur un ouvert convexe. Déduisez-en que si \(U\) est convexe et si \(\mathrm{d}f(x) = 0\) pour tout \(x \in U\), alors \(f\) est constante sur \(U\). (1,5 point)

Exercice 2 : Différentielles d’applications matricielles (5 points)

On munit \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) d’une norme sous-multiplicative \(\|\cdot\|\), c’est-à-dire telle que \(\|AB\| \leq\, \|A\|\,\|B\|\) pour toutes matrices \(A\) et \(B\). On admet que \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\) est un ouvert de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et que l’application \(A \mapsto A^{-1}\) est continue sur cet ouvert.

1. Soit \(f : \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), \(f(A) = A^2\). Montrez que \(f\) est différentiable en tout point \(A\) et que \(\mathrm{d}f(A)(H) = AH + HA\). (1,5 point)
2. Soit \(g : \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), \(g(A) = A^{-1}\). Pour \(A\) inversible et \(H\) telle que \(A + H\) soit inversible, établissez l’égalité
   \[(A+H)^{-1} – A^{-1} + A^{-1} H A^{-1} = (A+H)^{-1} H A^{-1} H A^{-1}.\]
   Déduisez-en que \(g\) est différentiable en \(A\) avec \(\mathrm{d}g(A)(H) = -A^{-1} H A^{-1}\). (2 points)
3. Montrez que \(\det(I_n + H) = 1 + \operatorname{tr}(H) + o(\|H\|)\) quand \(H \to 0\). Déduisez-en que le déterminant est différentiable en toute matrice inversible \(A\), avec \(\mathrm{d}(\det)(A)(H) = \det(A)\,\operatorname{tr}(A^{-1} H)\). (1,5 point)

Exercice 3 : Dérivées directionnelles sans différentiabilité (4 points)

On définit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) par \(f(0,0) = 0\) et, pour \((x,y) \neq (0,0)\),

\[f(x,y) = \dfrac{x^2 y}{x^4 + y^2}.\]

1. Soit \(v = (h,k)\) un vecteur non nul. Montrez que \(f\) admet en \((0,0)\) une dérivée selon \(v\), notée \(D_v f(0,0)\), et calculez-la selon que \(k \neq 0\) ou \(k = 0\). (1,5 point)
2. L’application \(v \mapsto D_v f(0,0)\) est-elle linéaire ? Que peut-on en conclure sur la différentiabilité de \(f\) en \((0,0)\) ? (1 point)
3. Calculez \(f(x, x^2)\) pour \(x \neq 0\). La fonction \(f\) est-elle continue en \((0,0)\) ? (1 point)
4. Donnez les deux dérivées partielles de \(f\) en \((0,0)\). Expliquez pourquoi leur existence ne suffit pas à conclure. (0,5 point)

Exercice 4 : Théorème de Schwarz et contre-exemple (3 points)

On définit \(g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) par \(g(0,0) = 0\) et, pour \((x,y) \neq (0,0)\),

\[g(x,y) = \dfrac{xy\,(x^2 – y^2)}{x^2 + y^2}.\]

1. Calculez \(\dfrac{\partial g}{\partial x}(0,0)\) et \(\dfrac{\partial g}{\partial y}(0,0)\). Montrez ensuite que \(|g(x,y)| \leq\, \dfrac{x^2+y^2}{2}\) et déduisez-en que \(g\) est différentiable en \((0,0)\). (1 point)
2. Pour \(y \neq 0\), calculez \(\dfrac{\partial g}{\partial x}(0,y)\) ; pour \(x \neq 0\), calculez \(\dfrac{\partial g}{\partial y}(x,0)\). (1 point)
3. Déduisez-en les dérivées croisées \(\dfrac{\partial^2 g}{\partial y\,\partial x}(0,0)\) et \(\dfrac{\partial^2 g}{\partial x\,\partial y}(0,0)\). Énoncez le théorème de Schwarz et expliquez pourquoi il n’y a pas de contradiction. (1 point)

Exercice 5 : Problème : formule de Taylor et majoration du reste (5 points)

On considère \(\varphi : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par \(\varphi(x,y) = e^{x} \cos y\). On munit \(\mathbb{R}^2\) de la norme euclidienne \(\|\cdot\|\).

1. Justifiez que \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^2\). Calculez son gradient et sa matrice hessienne en un point \((x,y)\), puis en \((0,0)\). (1 point)
2. Écrivez la formule de Taylor-Young à l’ordre 2 de \(\varphi\) en \((0,0)\). (1 point)
3. Étudiez l’existence de la limite de \(\dfrac{\varphi(x,y) – 1 – x}{x^2 + y^2}\) quand \((x,y) \to (0,0)\). (1 point)
4. On note \(P = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x < 1\}\). Montrez que pour tous points \(a\) et \(b\) de \(P\), on a \(|\varphi(b) – \varphi(a)| \leq\, e\,\|b – a\|\). (1 point)
5. Calculez la norme d’opérateur de la hessienne en \((x,y)\). À l’aide de l’inégalité de Taylor-Lagrange, montrez que pour \(x^2 + y^2 \leq\, 1\), on a \(|\varphi(x,y) – 1 – x| \leq\, \dfrac{e}{2}\,(x^2+y^2)\). (1 point)

Réviser avant le contrôle : différentielle de Fréchet et formules de Taylor

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Calcul différentiel » en L3 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés calcul différentiel.

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