Contrôle de maths L3 : extrema libres et multiplicateurs de Lagrange

Exercice 1 : Question de cours : conditions d’extremum (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

1. Soit \(U\) un ouvert de \(\mathbb{R}^n\) et \(f : U \to \mathbb{R}\) différentiable en \(a \in U\). Démontrez que si \(f\) admet un extremum local en \(a\), alors \(\mathrm{d}f(a) = 0\). (1,5 point)
2. Énoncez le théorème des extrema liés (multiplicateurs de Lagrange) pour une fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sous des contraintes \(g_1 = \cdots = g_p = 0\), en précisant la condition de qualification. (1,5 point)
3. On considère la courbe \(\Gamma\) d’équation \(g(x,y) = y^2 – x^3 = 0\), tracée ci-dessous, et \(f(x,y) = x\). Montrez que \(f\) restreinte à \(\Gamma\) atteint son minimum en \(O = (0,0)\). Existe-t-il un réel \(\lambda\) tel que \(\nabla f(O) = \lambda \nabla g(O)\) ? Expliquez. (1 point)

Exercice 2 : Points critiques et matrice hessienne (5 points)

On considère \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x,y) = x^4 + y^4 – 4xy\).

1. Déterminez les points critiques de \(f\). (1,5 point)
2. Calculez la matrice hessienne de \(f\) en chaque point critique et déterminez leur nature. (1,5 point)
3. Montrez que \(f(x,y) \geq\, \dfrac{r^4}{2} – 2r^2\), où \(r^2 = x^2 + y^2\). Déduisez-en que \(f\) admet un minimum global sur \(\mathbb{R}^2\) et donnez sa valeur. \(f\) admet-elle un maximum global ? (1 point)
4. On pose \(h(x,y) = x^2 + y^3\) et \(k(x,y) = x^2 + y^4\). Montrez que \((0,0)\) est un point critique de ces deux fonctions, avec la même hessienne. Étudiez à la main s’il s’agit d’un extremum. Que peut-on en conclure ? (1 point)

Exercice 3 : Extrema de xyz sur une sphère (6 points)

On note \(S = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 3\}\) et \(f(x,y,z) = xyz\).

1. Justifiez que \(f\) admet un maximum et un minimum sur \(S\). (1 point)
2. On pose \(g(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 – 3\). Vérifiez que la condition de qualification est satisfaite en tout point de \(S\). (0,5 point)
3. Écrivez le système vérifié par un point \((x,y,z)\) de \(S\) en lequel \(f_{|S}\) admet un extremum, avec un multiplicateur \(\lambda\). (1 point)
4. Résolvez ce système. On distinguera les cas \(\lambda = 0\) et \(\lambda \neq 0\). (1,5 point)
5. Déduisez-en le maximum et le minimum de \(f\) sur \(S\), ainsi que les points où ils sont atteints. (1 point)
6. Déduisez-en que pour tous réels \(a, b, c\) positifs, \(\sqrt[3]{abc} \leq\, \dfrac{a+b+c}{3}\). (1 point)

Exercice 4 : Problème : minimisation d’une fonctionnelle quadratique (5 points)

Soit \(n \geq\, 1\), \(A\) une matrice symétrique définie positive de taille \(n\), et \(b \in \mathbb{R}^n\). On munit \(\mathbb{R}^n\) du produit scalaire usuel \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) et on pose, pour \(x \in \mathbb{R}^n\) :

\[J(x) = \dfrac{1}{2}\langle Ax, x \rangle – \langle b, x \rangle.\]

1. Développez \(J(x + h)\). Déduisez-en le gradient et la matrice hessienne de \(J\) en tout point. (1 point)
2. Montrez que, pour \(x, y \in \mathbb{R}^n\) et \(t \in [0,1]\), on a \(J(tx + (1-t)y) = tJ(x) + (1-t)J(y) – \dfrac{t(1-t)}{2}\langle A(x-y), x-y \rangle\). Déduisez-en que \(J\) est strictement convexe. (1 point)
3. On note \(\lambda_1 > 0\) la plus petite valeur propre de \(A\). Montrez que \(J(x) \geq\, \dfrac{\lambda_1}{2}\|x\|^2 – \|b\|\,\|x\|\). (1 point)
4. Montrez que \(J\) admet un unique minimum global, atteint en \(x^{*} = A^{-1}b\), et que \(J(x^{*}) = -\dfrac{1}{2}\langle A^{-1}b, b \rangle\). (1 point)
5. Application : \(n = 2\), \(A = \begin{pmatrix} 2 1 \\ 1 2 \end{pmatrix}\) et \(b = (1, 1)\). Vérifiez que \(A\) est définie positive, puis calculez \(x^{*}\) et \(J(x^{*})\). (1 point)

Réviser avant le contrôle : extrema libres et multiplicateurs de Lagrange

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Inversion locale et extrema liés » en L3 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés inversion locale et extrema liés.

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