Corrigé du contrôle de maths L3 : inégalités de Hölder et espaces Lp

Exercice 1 : Question de cours, de Young à Hölder (5 points)

1. Si \(a = 0\) ou \(b = 0\), le membre de gauche est nul et celui de droite positif : l’inégalité est vraie. Supposons donc \(a, b > 0\). Le logarithme est concave sur \(]0, +\infty[\), et \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\) avec des coefficients positifs. Donc
   \[\ln(\frac{1}{p} a^p + \frac{1}{q} b^q) \geq\, \frac{1}{p} \ln(a^p) + \frac{1}{q} \ln(b^q) = \ln a + \ln b = \ln(ab).\]
   La croissance de l’exponentielle donne alors \(ab \leq\, \dfrac{a^p}{p} + \dfrac{b^q}{q}\).
2. Traitons d’abord les cas dégénérés. Si \(\|f\|_p = 0\), alors \(|f|^p = 0\) presque partout, donc \(f = 0\) presque partout, puis \(fg = 0\) presque partout : le membre de gauche est nul. Il en va de même si \(\|g\|_q = 0\). Si l’une des normes est infinie et l’autre non nulle, le membre de droite vaut \(+\infty\) et il n’y a rien à montrer.
   
   Supposons maintenant \(0 < \|f\|_p < +\infty\) et \(0 < \|g\|_q < +\infty\). On normalise : \(F = \frac{|f|}{\|f\|_p}\) et \(G = \frac{|g|}{\|g\|_q}\), de sorte que \(\int F^p = \int G^q = 1\). L’inégalité de Young, appliquée point par point, donne \(FG \leq\, \frac{F^p}{p} + \frac{G^q}{q}\). En intégrant ces fonctions positives,
   \[\int_X F G \,\mathrm{d}\mu \leq\, \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1, \quad \text{soit} \quad \int_X |f g| \,\mathrm{d}\mu \leq\, \|f\|_p \|g\|_q.\]
   C’est l’inégalité de Hölder.
3. Pour \(p = q = 2\), on obtient l’inégalité de Cauchy-Schwarz : \(\int |fg| \leq\, \|f\|_2 \|g\|_2\). Sur \([0, 1]\), prenons \(g = 1\), dont la norme vaut \(\|1\|_2 = (\int_{0}^{1} 1 \,\mathrm{d}x)^{1/2} = 1\). Ainsi, \(\|f\|_1 = \int_{0}^{1} |f| \times 1 \leq\, \|f\|_2\). En particulier, \(L^2([0, 1]) \subset L^1([0, 1])\).

Barème : a) 1,5 point : 0,5 pour le cas nul, 1 point pour la concavité ; b) 2 points : 0,5 pour les cas dégénérés, 0,5 pour la normalisation, 1 point pour l’intégration de Young ; c) 1,5 point : 0,5 pour Cauchy-Schwarz, 1 point pour l’inégalité sur \([0, 1]\).

Exercice 2 : Inégalité de Jensen sur un espace de probabilité (4 points)

1. Inégalité de Jensen. Si \(\varphi\) est convexe sur \(\mathbb{R}\), si \(Y\) est intégrable et si \(\varphi(Y)\) est intégrable, alors \(\varphi(E(Y)) \leq\, E(\varphi(Y))\).
2. Posons \(m = E(Y)\), réel car \(Y\) est intégrable, et prenons \(c\) donné par la droite d’appui en \(m\). Pour tout \(\omega \in \Omega\), \(\varphi(Y(\omega)) \geq\, \varphi(m) + c(Y(\omega) – m)\). Les deux membres sont intégrables. Par croissance et linéarité de l’espérance,
   \[E(\varphi(Y)) \geq\, \varphi(m) E(1) + c(E(Y) – m E(1)) = \varphi(m) + c(m – m) = \varphi(m).\]
   On obtient \(\varphi(E(Y)) \leq\, E(\varphi(Y))\). L’hypothèse \(P(\Omega) = 1\) sert à écrire \(E(1) = 1\) : l’espérance d’une constante est cette constante. Sur un espace de mesure quelconque, l’inégalité est fausse en général.

3. Pour \(r \geq\, 1\), la fonction \(\varphi(y) = |y|^r\) est convexe sur \(\mathbb{R}\). Appliquée à la variable \(|Y|\), intégrable, l’inégalité de Jensen donne \((E|Y|)^r \leq\, E(|Y|^r)\).
   
   Ensuite, prenons \(\Omega = \{1, \ldots, n\}\) muni de la probabilité uniforme, et \(Y(i) = \ln a_i\). La fonction exponentielle est convexe, donc
   \[\exp(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln a_i) \leq\, \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} e^{\ln a_i}.\]
   Le membre de gauche vaut \((a_1 \cdots a_n)^{1/n}\). La moyenne géométrique est donc inférieure à la moyenne arithmétique.

Barème : a) 1 point ; b) 1,5 point : 1 point pour l’intégration de la droite d’appui, 0,5 pour le rôle de \(P(\Omega) = 1\) ; c) 1,5 point : 0,5 pour la première inégalité, 1 point pour la moyenne géométrique avec le choix de l’espace.

Exercice 3 : Inclusions entre espaces Lp (5 points)

1. Posons \(r = \frac{q}{p} > 1\) et \(r^{\prime} = \frac{q}{q – p}\) son exposant conjugué. L’inégalité de Hölder appliquée à \(|f|^p\) et à la constante 1 donne
   \[\int_{0}^{1} |f|^p \times 1 \,\mathrm{d}\lambda \leq\, (\int_{0}^{1} |f|^{p r} \,\mathrm{d}\lambda)^{1/r} (\int_{0}^{1} 1 \,\mathrm{d}\lambda)^{1/r^{\prime}} = (\int_{0}^{1} |f|^{q} \,\mathrm{d}\lambda)^{p/q}.\]
   En élevant à la puissance \(\frac{1}{p}\), \(\|f\|_p \leq\, \|f\|_q\). Si \(f \in L^q\), alors \(\|f\|_p < +\infty\) : \(L^q([0, 1]) \subset L^p([0, 1])\). Le fait que \(\lambda([0, 1]) = 1\) soit fini est essentiel.
   
   Pour \(q = +\infty\), on a \(|f| \leq\, \|f\|_{\infty}\) presque partout, donc \(\int_{0}^{1} |f|^p \leq\, \|f\|_{\infty}^p\). Ainsi \(\|f\|_p \leq\, \|f\|_{\infty}\) et \(L^{\infty}([0, 1]) \subset L^p([0, 1])\).
2. On a \(|f_\alpha|^p = x^{-\alpha p}\), intégrable sur \(]0, 1]\) si et seulement si \(\alpha p < 1\) (critère de Riemann en 0). Donc \(f_\alpha \in L^p(]0, 1])\) si et seulement si \(p < \frac{1}{\alpha}\). Pour \(p < q < +\infty\), choisissons \(\alpha = \frac{1}{q}\). Alors \(\alpha p = \frac{p}{q} < 1\), donc \(f_\alpha \in L^p\), mais \(\alpha q = 1\), donc \(f_\alpha \notin L^q\). L’inclusion \(L^q \subset L^p\) est stricte.
3. D’abord, \(\int_{\mathbb{R}} g^2 = \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x^2} = 1 < +\infty\), mais \(\int_{\mathbb{R}} |g| = \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x} = +\infty\). Donc \(g \in L^2(\mathbb{R})\) et \(g \notin L^1(\mathbb{R})\).
   
   Ensuite, \(\int_{\mathbb{R}} |h| = \int_{0}^{1} x^{-1/2} \,\mathrm{d}x = 2\), mais \(\int_{\mathbb{R}} h^2 = \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}x}{x} = +\infty\). Donc \(h \in L^1(\mathbb{R})\) et \(h \notin L^2(\mathbb{R})\).
   
   Conclusion : sur \(\mathbb{R}\), qui est de mesure infinie, aucune des inclusions entre \(L^1\) et \(L^2\) n’a lieu. La fonction \(g\) décroît trop lentement à l’infini pour être intégrable, tandis que \(h\) explose trop vite en 0 pour être de carré intégrable.

Barème : a) 2 points : 1 point pour Hölder avec les bons exposants, 0,5 pour l’inclusion, 0,5 pour le cas \(q = +\infty\) ; b) 1 point ; c) 2 points : 0,75 pour chaque fonction, 0,5 pour la conclusion.

Erreur fréquente : croire que \(L^q \subset L^p\) pour \(p < q\) sur tout espace ; ce n’est vrai qu’en mesure finie.

Exercice 4 : Problème, la bosse glissante et l’extraction presque partout (6 points)

1. On a \(|f_n|^p = \mathbf{1}_{I_n}\), donc \(\|f_n\|_p^p = \lambda(I_n) = 2^{-k}\) et \(\|f_n\|_p = 2^{-k/p}\). Comme \(2^k \leq\, n < 2^{k+1}\), l’entier \(k\) tend vers \(+\infty\) avec \(n\). Donc \(\|f_n – 0\|_p \to 0\) : \(f_n \to 0\) dans \(L^p\). En revanche, \(\lambda(I_n) > 0\) donne \(\|f_n\|_{\infty} = 1\) pour tout \(n\) : la suite ne tend pas vers 0 dans \(L^{\infty}\).
2. Fixons \(x \in [0, 1]\) et \(k \geq\, 2\). Les \(2^k\) intervalles \(I_n\), pour \(2^k \leq\, n < 2^{k+1}\), recouvrent \([0, 1]\). Donc au moins l’un d’eux contient \(x\), et \(f_n(x) = 1\) pour au moins un \(n\) de ce bloc. Par ailleurs, \(x\) appartient à au plus deux de ces intervalles, qui ne se chevauchent qu’aux extrémités. Or \(2^k \geq\, 4\), donc au moins deux indices du bloc donnent \(f_n(x) = 0\). Ceci vaut pour chaque bloc : la suite \((f_n(x))\) prend une infinité de fois les valeurs 0 et 1, donc elle diverge, et ce en tout point.
   
   Si l’on remplace chaque \(f_n\) par \(\tilde{f}_n\) égale à \(f_n\) hors d’un négligeable \(N_n\), l’ensemble \(N = \bigcup_n N_n\) est négligeable, comme réunion dénombrable. Hors de \(N\), \(\tilde{f}_n(x) = f_n(x)\) diverge. Ainsi la divergence a lieu sur \([0, 1] \setminus N\), de mesure 1 : aucun représentant de la suite des classes ne converge presque partout.
3. Prenons \(n = 2^k\), c’est-à-dire \(j = 0\) : \(f_{2^k} = \mathbf{1}_{[0, 2^{-k}]}\). Pour \(x \in \,]0, 1]\), on a \(f_{2^k}(x) = 0\) dès que \(2^{-k} < x\). Ainsi \(f_{2^k} \to 0\) sur \(]0, 1]\), donc presque partout, car \(\{0\}\) est négligeable.
4. Comme \(\|g_n – g\|_p \to 0\), on construit \((n_k)\) par récurrence. On choisit \(n_1\) tel que \(\|g_n – g\|_p \leq\, 2^{-1}\) pour \(n \geq\, n_1\). Puis, \(n_{k-1}\) étant choisi, on prend \(n_k > n_{k-1}\) tel que \(\|g_n – g\|_p \leq\, 2^{-k}\) pour \(n \geq\, n_k\). On a bien \(\|g_{n_k} – g\|_p \leq\, 2^{-k}\).
   
   Posons \(S_N = \sum_{k=1}^{N} |g_{n_k} – g|\). L’inégalité de Minkowski donne \(\|S_N\|_p \leq\, \sum_{k=1}^{N} 2^{-k} \leq\, 1\). La suite \((S_N^p)\) est croissante, positive, et converge vers \(S^p\). Par le théorème de Beppo Levi, \(\int S^p = \lim_N \int S_N^p \leq\, 1\). Ainsi \(\|S\|_p \leq\, 1\).
   
   La fonction positive \(S^p\) est d’intégrale finie, donc \(S\) est finie presque partout. En un tel point \(x\), la série \(\sum_k |g_{n_k}(x) – g(x)|\) converge, et son terme général tend vers 0. Donc \(g_{n_k} \to g\) presque partout. La conclusion ne dépend pas des représentants choisis, puisqu’une réunion dénombrable de négligeables est négligeable.

Barème : a) 1,5 point : 0,5 pour la norme, 0,5 pour la convergence, 0,5 pour \(L^{\infty}\) ; b) 1,5 point : 1 point pour la divergence en tout point, 0,5 pour l’argument sur les classes ; c) 1 point ; d) 2 points : 0,5 pour l’extraction, 1 point pour Minkowski et Beppo Levi, 0,5 pour la conclusion.

Revenir à l’énoncé du contrôle

Après le corrigé du contrôle : inégalités de Hölder et espaces Lp

Pour consolider ce que le corrigé vous a appris, relisez le cours « Espaces Lp » en L3 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés espaces lp.

Retrouvez tous les contrôles de maths de L3 classés par chapitre, ou choisissez un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP au post-bac.