Ce contrôle de maths de L3 porte sur le thème suivant : espaces métriques, ouverts, fermés, continuité.
Ce partiel d’une heure trente, conçu pour la troisième année de licence, porte sur les espaces métriques. Vous démontrerez d’abord deux résultats de cours : la caractérisation séquentielle des fermés et la continuité par image réciproque d’ouverts. Vous vérifierez ensuite que deux applications sont des distances, dont la célèbre distance SNCF, et vous décrirez ses boules.
La suite demande de calculer intérieur, adhérence et frontière de parties du plan et de \(\mathbb{Q}\), puis d’établir une densité. Le problème final étudie la distance à une partie et en tire la séparation de deux fermés disjoints. Raisonnez dans un espace métrique quelconque, sans vous appuyer sur les propriétés propres à \(\mathbb{R}^n\).
- Niveau : licence L3
- Chapitre : Espaces métriques : ouverts, fermés, continuité
- Durée conseillée : 1 heure 30 minutes
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 4 points ; exercice 2 : 5 points ; exercice 3 : 5 points ; exercice 4 : 6 points)
- Compétences évaluées :
- Raisonner : démontrer les caractérisations séquentielle des fermés et topologique de la continuité
- Chercher : vérifier les axiomes d’une distance, en particulier l’inégalité triangulaire
- Calculer : déterminer intérieur, adhérence et frontière de parties explicites
- Communiquer : rédiger des preuves valables dans un espace métrique quelconque
Exercice 1 : Question de cours, fermés et continuité (4 points)
Calculatrice interdite. Documents interdits. Durée : 1 heure 30 minutes.
Dans cet exercice, \((E, d)\) et \((F, \delta)\) sont deux espaces métriques quelconques.
- Soit \(A\) une partie de \(E\). Démontrez que \(A\) est fermée si et seulement si, pour toute suite \((a_n)\) d’éléments de \(A\) qui converge dans \(E\) vers un point \(x\), on a \(x \in A\). (2 points)
- Soit \(f : E \to F\) une application. Démontrez que \(f\) est continue en tout point de \(E\) si et seulement si, pour tout ouvert \(V\) de \(F\), l’image réciproque \(f^{-1}(V)\) est un ouvert de \(E\). (2 points)
Exercice 2 : Deux distances non usuelles (5 points)
Partie A. Pour \(x, y\) réels, on pose \(d(x, y) = |\arctan x – \arctan y|\).
- Montrez que \(d\) est une distance sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
- Montrez qu’il n’existe aucune constante \(C > 0\) telle que \(|x – y| \leq\, C\, d(x, y)\) pour tous réels \(x, y\). Montrez pourtant que \(d\) et la distance usuelle définissent les mêmes ouverts de \(\mathbb{R}\). (1,5 point)
Partie B. On munit \(\mathbb{R}^2\) de la norme euclidienne \(\|\cdot\|\) et on note \(O\) l’origine. On dit que \(x\) et \(y\) sont alignés avec \(O\) lorsque la famille \((x, y)\) est liée. On pose
\[d_S(x, y) = \|x – y\| \text{ si } x \text{ et } y \text{ sont alignés avec } O, \qquad d_S(x, y) = \|x\| + \|y\| \text{ sinon.}\]
(C’est la distance « SNCF » : pour aller d’une ville à une autre qui n’est pas sur la même ligne, on passe par Paris.)
- Montrez que \(d_S\) est une distance sur \(\mathbb{R}^2\). (1,5 point)
- Soit \(a \in \mathbb{R}^2\) non nul et \(r > 0\). Décrivez la boule ouverte \(B_S(a, r)\) pour cette distance, en distinguant les cas \(r \leq\, \|a\|\) et \(r > \|a\|\). (1 point)
Exercice 3 : Intérieur, adhérence, frontière et densité (5 points)
Sauf mention contraire, \(\mathbb{R}\) et \(\mathbb{R}^2\) sont munis de leurs distances usuelles. On considère la partie
\[A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 < 1 \text{ et } y \geq\, 0\} \cup \{(2, 0)\}.\]
- Déterminez, en justifiant, l’intérieur, l’adhérence et la frontière de \(A\). (2 points)
- Déterminez l’intérieur, l’adhérence et la frontière de \(\mathbb{Q}\) dans \(\mathbb{R}\). (1 point)
- On munit \(\mathbb{Q}\) de la distance induite par celle de \(\mathbb{R}\). Montrez que \(P = \{q \in \mathbb{Q} : q^2 < 2\}\) est à la fois un ouvert et un fermé de l’espace métrique \(\mathbb{Q}\). (1 point)
- Montrez que l’ensemble \(\mathbb{D} = \{\dfrac{p}{2^n} : p \in \mathbb{Z},\ n \in \mathbb{N}\}\) des nombres dyadiques est dense dans \(\mathbb{R}\). (1 point)
Exercice 4 : Problème, distance à une partie (6 points)
Soit \((E, d)\) un espace métrique. Pour toute partie non vide \(A\) de \(E\) et tout \(x \in E\), on pose \(d_A(x) = \inf\{d(x, a) : a \in A\}\).
- Montrez que, pour tous \(x, y \in E\), \(|d_A(x) – d_A(y)| \leq\, d(x, y)\). Qu’en déduisez-vous pour la fonction \(d_A\) ? (1,5 point)
- Montrez que l’adhérence de \(A\) est \(\overline{A} = \{x \in E : d_A(x) = 0\}\). En déduire que tout fermé non vide de \(E\) est l’ensemble des zéros d’une fonction continue de \(E\) dans \(\mathbb{R}\). (1,5 point)
- Soit \(F\) et \(G\) deux fermés non vides et disjoints de \(E\). Justifiez que \(d_F(x) + d_G(x) > 0\) pour tout \(x \in E\), puis que la fonction \(g = \dfrac{d_F}{d_F + d_G}\) est continue, vaut \(0\) sur \(F\) et \(1\) sur \(G\). Déduisez-en deux ouverts disjoints \(U\) et \(V\) tels que \(F \subset U\) et \(G \subset V\). (2 points)
- Soit \(D\) une partie dense de \(E\) et \(f, h : E \to \mathbb{R}\) deux applications continues qui coïncident sur \(D\). Montrez que \(f = h\). (1 point)
Réviser avant le contrôle : espaces métriques, ouverts, fermés, continuité
Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Espaces métriques » en L3 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés espaces métriques.
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