Contrôle de maths L2 : valeurs propres et diagonalisation

Exercice 1 : Question de cours, sous-espaces propres en somme directe (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits. Durée : 2 heures.

Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(n \geq\, 1\) sur \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), et \(u\) un endomorphisme de \(E\). Pour une valeur propre \(\lambda\), on note \(E_{\lambda}(u) = \ker(u – \lambda\,\mathrm{id}_E)\).

1. Soient \(\lambda_1, \ldots, \lambda_p\) des valeurs propres deux à deux distinctes de \(u\). Démontrez par récurrence sur \(p\) que, si \(x_1 + \cdots + x_p = 0\) avec \(x_i \in E_{\lambda_i}(u)\) pour tout \(i\), alors tous les \(x_i\) sont nuls. Que peut-on en déduire sur la somme des sous-espaces propres ? (2 points)
2. Déduisez-en que, si \(u\) admet \(n\) valeurs propres distinctes, alors \(u\) est diagonalisable. (1 point)
3. Démontrez que \(u\) est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à \(n\). (1 point)

Exercice 2 : Une matrice diagonalisable et une qui ne l’est pas (5 points)

On considère les matrices réelles
\[A = \begin{pmatrix} 1 1 -1 \\ -2 4 -1 \\ -2 2 1 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B = \begin{pmatrix} 3 -1 1 \\ 2 0 2 \\ 1 -1 3 \end{pmatrix}.\]
On note \(\chi_M(\lambda) = \det(\lambda I_3 – M)\) le polynôme caractéristique d’une matrice \(M\).

1. Calculez \(\chi_A\) sous forme factorisée. On pourra remplacer la première colonne de \(A – \lambda I_3\) par la somme des trois colonnes. (1,5 point)
2. Déterminez une base de chaque sous-espace propre de \(A\), puis une matrice inversible \(P\) et une matrice diagonale \(D\) telles que \(A = PDP^{-1}\). (1,5 point)
3. Montrez que \(\chi_B(\lambda) = (\lambda – 2)^3\). Déterminez la dimension du sous-espace propre \(E_2(B)\) et concluez : \(B\) est-elle diagonalisable ? (2 points)

Exercice 3 : Une matrice à paramètre et ses puissances (5 points)

Pour tout réel \(a\), on pose
\[M_a = \begin{pmatrix} 2 a -a \\ 0 1 a \\ 0 0 2 \end{pmatrix}.\]

1. Donnez les valeurs propres de \(M_a\) et leurs multiplicités algébriques. (0,5 point)
2. Déterminez, selon \(a\), le rang de \(M_a – 2I_3\), puis la dimension de \(E_2(M_a)\). Donnez aussi la dimension de \(E_1(M_a)\). (1,5 point)
3. Déduisez-en les valeurs de \(a\) pour lesquelles \(M_a\) est diagonalisable. (1 point)
4. Dans cette question et la suivante, \(a = 1\). Trouvez \(P\) inversible et \(D\) diagonale telles que \(M_1 = PDP^{-1}\), et calculez \(P^{-1}\). (1 point)
5. Calculez \(M_1^{n}\) pour tout entier \(n \geq\, 0\). (1 point)

Exercice 4 : Problème, trois réservoirs couplés (6 points)

Trois réservoirs contiennent au départ \(u_0 = 60\), \(v_0 = 30\) et \(w_0 = 0\) litres d’eau. À chaque étape, chaque réservoir garde la moitié de son contenu et en verse un quart dans chacun des deux autres. On note \(u_n\), \(v_n\), \(w_n\) les volumes après \(n\) étapes, de sorte que
\[u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + \frac{v_n + w_n}{4}, \qquad v_{n+1} = \frac{v_n}{2} + \frac{u_n + w_n}{4}, \qquad w_{n+1} = \frac{w_n}{2} + \frac{u_n + v_n}{4}.\]
On note \(J\) la matrice carrée d’ordre 3 dont tous les coefficients valent 1.

1. Écrivez le système sous la forme \(X_{n+1} = AX_n\), avec \(X_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \\ w_n \end{pmatrix}\), et vérifiez que \(A = \frac{1}{4}(I_3 + J)\). Exprimez \(X_n\) en fonction de \(A\), \(n\) et \(X_0\). (0,5 point)
2. Déterminez les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(J\), puis ceux de \(A\). Justifiez que \(A\) est diagonalisable. (2 points)
3. On pose \(Q = \frac{1}{3}J\). Montrez que, pour tout \(n \geq\, 0\), \(A^{n} = Q + \dfrac{1}{4^{n}}(I_3 – Q)\). On pourra comparer les deux membres sur une base de vecteurs propres. (1,5 point)
4. Déduisez-en \(u_n\), \(v_n\) et \(w_n\) en fonction de \(n\), puis leurs limites. (1 point)
5. Montrez que \(u_n + v_n + w_n\) ne dépend pas de \(n\) et interprétez le résultat de la question d). À partir de quelle étape l’écart entre \(u_n\) et \(w_n\) est-il inférieur à 1 litre ? (1 point)

Réviser avant le contrôle : valeurs propres et diagonalisation

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Diagonalisation » en L2 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés diagonalisation.

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