Contrôle de maths L2 : intégrales généralisées et intégrabilité

Exercice 1 : Question de cours, les intégrales de Riemann (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits. Durée : 2 heures.

Soit \(\alpha\) un réel.

1. Démontrez que l’intégrale \(\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}}\) converge si et seulement si \(\alpha > 1\), et donnez alors sa valeur. (1,5 point)
2. Démontrez que l’intégrale \(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}}\) converge si et seulement si \(\alpha < 1\), et donnez alors sa valeur. (1,5 point)
3. Énoncez le théorème de comparaison par équivalents pour les intégrales généralisées de fonctions positives sur \([a, b[\). (1 point)

Exercice 2 : Nature et calcul de quatre intégrales (5 points)

Pour chaque intégrale, précisez le ou les points où elle est impropre et justifiez sa nature.

1. Montrez que \(I = \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}\,(1+t)}\) converge, puis calculez-la à l’aide du changement de variable \(u = \sqrt{t}\). (1,5 point)
2. Montrez que \(J = \displaystyle\int_{1}^{+\infty} \frac{\ln t}{t^2}\,\mathrm{d}t\) converge, puis calculez-la par une intégration par parties sur \([1, x]\). (1,5 point)
3. Déterminez la nature de \(\displaystyle\int_{2}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t \ln t}\). (1 point)
4. Déterminez la nature de \(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{1 – \cos t}{t^{5/2}}\,\mathrm{d}t\). (1 point)

Exercice 3 : La fonction Gamma aux entiers (4 points)

Pour \(x > 0\), on pose \(\Gamma(x) = \displaystyle\int_{0}^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t\).

1. Montrez que cette intégrale converge pour tout \(x > 0\). (1,5 point)
2. Par une intégration par parties sur un segment \([\varepsilon, A]\) avec \(0 < \varepsilon < A\), suivie d’un passage à la limite, montrez que \(\Gamma(x+1) = x\,\Gamma(x)\). (1,5 point)
3. Calculez \(\Gamma(1)\) et déduisez-en que \(\Gamma(n+1) = n!\) pour tout entier \(n \geq\, 0\). (1 point)

Exercice 4 : Problème, l’intégrale semi-convergente de sin(t)/t (7 points)

La fonction \(f : t \mapsto \dfrac{\sin t}{t}\) est définie et continue sur \(]0, +\infty[\). Sa courbe est représentée ci-dessous.

1. Montrez que \(f\) se prolonge par continuité en 0. Que dire alors de \(\displaystyle\int_{0}^{1} f(t)\,\mathrm{d}t\) ? (1 point)
2. À l’aide d’une intégration par parties sur \([1, A]\), montrez que \(\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\,\mathrm{d}t\) converge. Concluez sur la convergence de \(\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\,\mathrm{d}t\). (1,5 point)
3. Montrez que, pour tout entier \(k \geq\, 0\), \(\displaystyle\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin t|}{t}\,\mathrm{d}t \geq\, \frac{2}{(k+1)\pi}\). Déduisez-en que \(f\) n’est pas intégrable sur \(]0, +\infty[\). (1,5 point)
4. Par une intégration par parties sur \([\varepsilon, A]\) justifiée par un passage à la limite, montrez que
   \[\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\,\mathrm{d}t = \int_{0}^{+\infty} \frac{1 – \cos t}{t^2}\,\mathrm{d}t,\]
   en vérifiant que la seconde intégrale est absolument convergente. (1,5 point)
5. À l’aide de la formule \(1 – \cos t = 2\sin^2(\frac{t}{2})\) et d’un changement de variable, déduisez-en que \(\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\,\mathrm{d}t = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin^2 u}{u^2}\,\mathrm{d}u\). (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : intégrales généralisées et intégrabilité

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Intégrales généralisées » en L2 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés intégrales généralisées.

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