Ce contrôle de maths de L1 porte sur le thème suivant : logique, quantificateurs et ensembles.
Ce partiel de première année de licence porte sur le langage mathématique : il vérifie que vous savez écrire, nier et démontrer proprement. Vous y rencontrerez des phrases à plusieurs quantificateurs (continuité, limite, fonction majorée), la contraposée et la réciproque d’une implication, un raisonnement par l’absurde classique et une décomposition obtenue par analyse-synthèse.
Le problème final relie les opérations sur les ensembles aux fonctions indicatrices. Travaillez sans document ni calculatrice, en 1 h 30, et soignez la rédaction : chaque quantificateur doit être introduit, chaque objet défini avant d’être utilisé.
- Niveau : licence L1
- Chapitre : Logique, raisonnement et ensembles
- Durée conseillée : 1 h 30
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 4 points ; exercice 2 : 5 points ; exercice 3 : 4 points ; exercice 4 : 7 points)
- Compétences évaluées :
- Raisonner : choisir entre raisonnement direct, par contraposition, par l’absurde ou par analyse-synthèse
- Communiquer : traduire un énoncé en langage formel et nier une phrase à plusieurs quantificateurs
- Calculer : manipuler unions, intersections, complémentaires et fonctions indicatrices
- Chercher : construire un contre-exemple ou un témoin pour une phrase existentielle
Exercice 1 : Question de cours : De Morgan et irrationalité de racine de 2 (4 points)
Calculatrice interdite. Documents interdits.
Soit \(E\) un ensemble et \(A\), \(B\) deux parties de \(E\). On note \(\overline{A}\) le complémentaire de \(A\) dans \(E\).
- Énoncez les deux lois de De Morgan pour les parties \(A\) et \(B\), puis démontrez l’égalité \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\) par double inclusion. (2 points)
- Démontrez par l’absurde que \(\sqrt{2}\) est irrationnel. Vous pourrez utiliser sans démonstration le fait que, pour un entier \(n\), si \(n^2\) est pair alors \(n\) est pair. (2 points)
Exercice 2 : Quantificateurs et négations (5 points)
Dans tout l’exercice, \(f\) désigne une fonction de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) et \(a\) un réel. Les phrases demandées doivent être écrites avec des quantificateurs, sans utiliser le symbole de négation devant une phrase quantifiée.
- Écrivez la phrase « \(f\) est majorée » avec des quantificateurs, puis sa négation. (1 point)
- On rappelle que \(f\) est continue en \(a\) lorsque
\[\forall \varepsilon > 0,\ \exists \eta > 0,\ \forall x \in \mathbb{R},\ (|x-a| \leq\, \eta \Rightarrow |f(x)-f(a)| \leq\, \varepsilon).\]
Écrivez la négation de cette phrase, puis démontrez que la fonction \(g\) définie par \(g(x)=1\) si \(x \geq\, 0\) et \(g(x)=0\) si \(x < 0\) n’est pas continue en \(0\). (1,5 point) - Écrivez avec des quantificateurs la phrase « \(f(x)\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) », puis sa négation. (1 point)
- On considère les deux phrases
\[P_1 : \forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ y > x^2 \qquad P_2 : \exists y \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ y > x^2.\]
Dites si chacune est vraie ou fausse et justifiez. (1,5 point)
Exercice 3 : Implication, contraposée et réciproque (4 points)
\(P\) et \(Q\) désignent deux assertions.
- Dressez la table de vérité de \(P \Rightarrow Q\) et de \((\text{non } Q) \Rightarrow (\text{non } P)\). Que peut-on en conclure ? (1 point)
- Pour un entier \(n\), on considère l’implication « si \(n^2\) est pair, alors \(n\) est pair ». Écrivez sa contraposée et sa réciproque. Ensuite, démontrez l’implication par contraposition et dites si la réciproque est vraie. (1,5 point)
- Soit \(x\) un réel. Démontrez par contraposition que : si pour tout \(\varepsilon > 0\) on a \(|x| \leq\, \varepsilon\), alors \(x = 0\). (1,5 point)
Exercice 4 : Problème : analyse-synthèse et fonctions indicatrices (7 points)
Partie A : fonctions paires et impaires. On note \(\mathcal{F}\) l’ensemble des fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\). On veut démontrer que toute fonction \(f \in \mathcal{F}\) s’écrit de manière unique \(f = g + h\) avec \(g\) paire et \(h\) impaire.
- Analyse : on suppose qu’une telle écriture existe. Exprimez \(g(x)\) et \(h(x)\) en fonction de \(f(x)\) et \(f(-x)\). Qu’en déduisez-vous sur l’unicité ? (2 points)
- Synthèse : démontrez que les fonctions trouvées conviennent. (1,5 point)
- Donnez la décomposition de la fonction exponentielle. (0,5 point)
Partie B : fonctions indicatrices. Soit \(E\) un ensemble. Pour une partie \(A\) de \(E\), la fonction indicatrice \(\mathbb{1}_A : E \to \{0,1\}\) vaut \(1\) sur \(A\) et \(0\) ailleurs. On admet que deux parties \(A\) et \(B\) sont égales si et seulement si \(\mathbb{1}_A = \mathbb{1}_B\).
- Démontrez que \(\mathbb{1}_{A \cap B} = \mathbb{1}_A \mathbb{1}_B\) et que \(\mathbb{1}_{\overline{A}} = 1 – \mathbb{1}_A\). (1 point)
- Déduisez-en, à l’aide d’une loi de De Morgan, que \(\mathbb{1}_{A \cup B} = \mathbb{1}_A + \mathbb{1}_B – \mathbb{1}_A \mathbb{1}_B\). (1 point)
- On appelle différence symétrique de \(A\) et \(B\) l’ensemble \(A \,\Delta\, B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)\). Démontrez que \(\mathbb{1}_{A \Delta B} = (\mathbb{1}_A – \mathbb{1}_B)^2\), puis que \(A \,\Delta\, B = \emptyset\) si et seulement si \(A = B\). (1 point)
Réviser avant le contrôle : logique, quantificateurs et ensembles
Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Logique et ensembles » en L1 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés logique et ensembles.
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