Contrôle de maths sup : fonctions de deux variables et extremums

Exercice 1 : Questions de cours (3 points)

Calculatrice interdite.

Dans cet exercice, \(U\) est un ouvert de \(\mathbb{R}^2\) et \(f : U \to \mathbb{R}\) une fonction de classe \(C^1\).

1. Écrivez le développement limité à l’ordre 1 de \(f\) en un point \(a = (a_1, a_2)\) de \(U\), puis l’équation du plan tangent à la surface d’équation \(z = f(x, y)\) au point de coordonnées \((a_1, a_2, f(a))\). (1 point)
2. Démontrez que si \(f\) admet un extremum local en un point \(a\) de \(U\), alors \(a\) est un point critique de \(f\). Expliquez où intervient le fait que \(U\) est ouvert. (2 points)

Exercice 2 : Continuité en l’origine (4 points)

On définit sur \(\mathbb{R}^2\) les fonctions \(f\) et \(g\) par \(f(0, 0) = g(0, 0) = 0\) et, pour \((x, y) \neq (0, 0)\) : \[f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}\] et \[g(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}.\]

1. Démontrez que \(f\) est continue en \((0, 0)\), soit par une majoration, soit en passant en coordonnées polaires. (1,5 point)
2. Démontrez que \(g\) n’est pas continue en \((0, 0)\). (1 point)
3. Montrez que \(f\) admet des dérivées partielles en \((0, 0)\) et calculez-les. Calculez ensuite la dérivée de \(f\) en \((0, 0)\) selon le vecteur \(v = (1, 1)\), puis déduisez-en que \(f\) n’est pas de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\). (1,5 point)

Exercice 3 : Gradient, plan tangent et règle de la chaîne (4 points)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^2\) par \(f(x, y) = x\,\mathrm{e}^{y} + y^2\).

1. Justifiez que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\) et calculez ses dérivées partielles. (1 point)
2. Déterminez une équation du plan tangent à la surface d’équation \(z = f(x, y)\) au point de coordonnées \((1, 0, 1)\). (1 point)
3. Dans quelle direction \(f\) croît-elle le plus vite à partir du point \((1, 0)\) ? Donnez la dérivée de \(f\) selon le vecteur unitaire correspondant. (0,5 point)
4. On pose \(\varphi(t) = f(\cos t, \sin t)\) pour \(t \in \mathbb{R}\). Calculez \(\varphi^{\prime}(t)\) à l’aide de la règle de la chaîne, puis vérifiez le résultat en dérivant directement l’expression de \(\varphi\). Donnez enfin \(\varphi^{\prime}(0)\). (1,5 point)

Exercice 4 : Une équation aux dérivées partielles (4 points)

On cherche les fonctions \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) de classe \(C^1\) telles que, pour tout \((x, y) \in \mathbb{R}^2\) : \[\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) – \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = x + y.\] On note \((\mathcal{E})\) cette équation. On utilise le changement de variables \(u = x + y\), \(v = x – y\).

1. Montrez que l’application \(\Phi : (x, y) \mapsto (x + y, x – y)\) est une bijection de \(\mathbb{R}^2\) sur \(\mathbb{R}^2\), de classe \(C^1\) ainsi que sa réciproque, que vous préciserez. (1 point)
2. Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\) et \(g = f \circ \Phi^{-1}\), de sorte que \(f(x, y) = g(x + y, x – y)\). Exprimez \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) et \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) à l’aide des dérivées partielles de \(g\). (1 point)
3. Déduisez-en toutes les solutions de \((\mathcal{E})\). (1,5 point)
4. Déterminez la solution de \((\mathcal{E})\) qui vérifie \(f(x, 0) = x^2\) pour tout réel \(x\). (0,5 point)

Exercice 5 : Points critiques et extremums (5 points)

On considère les fonctions définies sur l’ouvert \(\mathbb{R}^2\) par \[f(x, y) = x^2 + xy + y^2 – 3x – 3y\] et \[g(x, y) = x^3 + y^3 – 3xy.\] La figure ci-dessous représente quelques lignes de niveau de \(g\) ; elle peut vous aider à conjecturer, mais pas à démontrer.

1. Déterminez les points critiques de \(f\). (1 point)
2. En écrivant \(f(x, y) + 3\) à l’aide de \(x – 1\) et \(y – 1\), montrez que \(f\) admet un minimum global, que vous préciserez. \(f\) admet-elle un maximum global ? (1 point)
3. Déterminez les points critiques de \(g\). (1 point)
4. En étudiant \(t \mapsto g(t, t)\) et \(t \mapsto g(t, -t)\) au voisinage de 0, montrez que \(g\) n’admet pas d’extremum local en \((0, 0)\). (0,5 point)
5. Montrez que, pour tous réels \(h\) et \(k\), \(g(1 + h, 1 + k) – g(1, 1) = 3(h^2 – hk + k^2) + h^3 + k^3\). Déduisez-en que \(g\) admet un minimum local en \((1, 1)\), puis que ce minimum n’est pas global. (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : fonctions de deux variables et extremums

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Fonctions de deux variables » en maths sup puis entraînez-vous avec les exercices corrigés fonctions de deux variables.

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