Contrôle de maths sup : intégrale sur un segment et sommes de Riemann

Exercice 1 : Question de cours sur la positivité de l’intégrale (3,5 points)

Calculatrice interdite.

1. Soient \(a < b\) deux réels et \(f\) une fonction continue et positive sur \([a, b]\) telle que \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = 0\). Démontrez que \(f\) est nulle sur \([a, b]\). (1,5 point)
2. Montrez par un exemple que ce résultat devient faux si \(f\) est seulement supposée continue par morceaux. (0,5 point)
3. Déterminez toutes les fonctions \(f\) continues sur \([0, 1]\) telles que \(\int_0^1 f(t)^2\,\mathrm{d}t – 2\int_0^1 t f(t)\,\mathrm{d}t + \dfrac{1}{3} = 0\). (1,5 point)

Exercice 2 : Limites de sommes de Riemann (4 points)

1. Rappelez le théorème sur les sommes de Riemann d’une fonction continue sur \([0, 1]\). (0,5 point)
2. Déterminez la limite de \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{n}{n^2 + k^2}\). La figure ci-dessous représente, pour \(n = 8\), des rectangles dont l’aire totale est \(S_8\). (1 point)

3. Déterminez la limite de \(T_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac{1}{k}\). (1 point)
4. Déterminez la limite de \(U_n = (\prod_{k=1}^{n} (1 + \dfrac{k}{n}))^{1/n}\). (1,5 point)

Exercice 3 : Une intégrale à bornes variables (3,5 points)

Pour tout réel \(x\), on pose \(G(x) = \int_x^{2x} e^{-t^2}\,\mathrm{d}t\).

1. Justifiez que \(G\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et montrez qu’elle est impaire. (0,5 point)
2. Montrez que \(G\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et calculez \(G^{\prime}(x)\). (1 point)
3. Dressez le tableau de variations de \(G\) sur \([0, +\infty[\). (1 point)
4. Montrez que \(0 \leq\, G(x) \leq\, x e^{-x^2}\) pour tout \(x \geq\, 0\), et déduisez-en la limite de \(G\) en \(+\infty\). (1 point)

Exercice 4 : Intégrales de Wallis (4,5 points)

Pour tout entier \(n \geq\, 0\), on pose \(W_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n t\,\mathrm{d}t\).

1. Calculez \(W_0\) et \(W_1\). (0,5 point)
2. Montrez que \(W_n > 0\) pour tout \(n\) et que la suite \((W_n)\) est décroissante. (1 point)
3. À l’aide d’une intégration par parties, montrez que \(W_{n+2} = \dfrac{n + 1}{n + 2} W_n\) pour tout \(n \geq\, 0\). (1 point)
4. Montrez que la suite \(((n + 1) W_{n+1} W_n)_{n \geq\, 0}\) est constante et donnez sa valeur. (0,5 point)
5. Montrez que \(W_{n+1} \sim W_n\), puis que \(W_n \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}\) quand \(n \to +\infty\). (1,5 point)

Exercice 5 : Formule de Taylor et approximation de e (4,5 points)

Soient \(a < b\) deux réels, \(n \in \mathbb{N}\) et \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\) sur \([a, b]\).

1. Démontrez la formule de Taylor avec reste intégral :
   \[f(b) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (b – a)^k + \int_a^b \frac{(b – t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\,\mathrm{d}t.\]
   (1,5 point)
2. On suppose que \(|f^{(n+1)}| \leq\, M\) sur \([a, b]\). Déduisez-en l’inégalité de Taylor-Lagrange : \(|f(b) – \sum_{k=0}^{n} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!} (b – a)^k| \leq\, \dfrac{M (b – a)^{n+1}}{(n + 1)!}\). (1 point)
3. En l’appliquant à l’exponentielle sur \([0, 1]\) (on admet que \(e < 3\)), montrez que \(|e – \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!}| \leq\, \dfrac{3}{(n + 1)!}\), puis que \(\sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!}\) tend vers \(e\). (1 point)
4. Trouvez le plus petit entier \(n\) pour lequel cette majoration garantit une erreur inférieure à \(10^{-3}\), et donnez la valeur approchée correspondante de \(e\) sous forme de fraction. (1 point)

Réviser avant le contrôle : intégrale sur un segment et sommes de Riemann

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Intégration sur un segment » en maths sup puis entraînez-vous avec les exercices corrigés intégration sur un segment.

Retrouvez tous les contrôles de maths sup classés par chapitre, ou choisissez un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP au post-bac.