Contrôle de maths sup : dimension finie et formule de Grassmann

Exercice 1 : Questions de cours (3 points)

Calculatrice interdite. Dans tout le sujet, \(E\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\). On note \((e_1, e_2, e_3, e_4)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^4\).

1. Complétez sans justifier : « dans \(E\), toute famille libre de \(n\) vecteurs est … ; toute famille génératrice de \(n\) vecteurs est … ». (0,5 point)
2. Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces de \(E\). Démontrez la formule de Grassmann : \(\dim(F + G) = \dim F + \dim G – \dim(F \cap G)\). (2 points)
3. Déduisez-en que \(E = F \oplus G\) si et seulement si \(F \cap G = \{0\}\) et \(\dim F + \dim G = n\). (0,5 point)

Exercice 2 : Sous-espaces définis par des équations (4 points)

Dans \(\mathbb{R}^4\), on considère \(F = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \,:\, x + y + z + t = 0 \text{ et } x – y + 2z = 0\}\) et \(G = \operatorname{Vect}(v_1, v_2)\) avec \(v_1 = (-1, 1, 1, -1)\) et \(v_2 = (1, 0, 0, 0)\).

1. Déterminez une base de \(F\) et sa dimension. (1,5 point)
2. Vérifiez que \(\dim G = 2\), puis déterminez \(F \cap G\) et sa dimension. (1 point)
3. Déduisez-en \(\dim(F + G)\), puis montrez que \(F + G = \{(x, y, z, t) \,:\, 2y – z + t = 0\}\). (1 point)
4. Montrez que \(\operatorname{Vect}(e_1, e_2)\) est un supplémentaire de \(F\) dans \(\mathbb{R}^4\). (0,5 point)

Exercice 3 : Rang d’une famille, bases extraites et complétées (4 points)

Dans \(\mathbb{R}^4\), on pose \(w_1 = (1, 2, 0, 1)\), \(w_2 = (2, 1, 1, 0)\), \(w_3 = (0, 3, -1, 2)\) et \(w_4 = (1, -1, 1, -1)\).

1. Exprimez \(w_3\) et \(w_4\) en fonction de \(w_1\) et \(w_2\). Déduisez-en le rang de la famille \((w_1, w_2, w_3, w_4)\). (1,5 point)
2. Extrayez de cette famille une base de \(W = \operatorname{Vect}(w_1, w_2, w_3, w_4)\). (0,5 point)
3. Complétez cette base en une base de \(\mathbb{R}^4\) à l’aide de vecteurs de la base canonique, en justifiant. (1 point)
4. Montrez que \((1, X – 2, (X – 2)^2)\) est une base de \(\mathbb{R}_2[X]\), puis donnez les coordonnées de \(X^2\) dans cette base. (1 point)

Exercice 4 : Supplémentaires dans un espace de polynômes (3 points)

Dans \(\mathbb{R}_3[X]\), on considère \(F = \{P \in \mathbb{R}_3[X] \,:\, P(1) = P(-1) = 0\}\) et \(G = \mathbb{R}_1[X]\).

1. Montrez que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}_3[X]\), donnez-en une base et sa dimension. (1,5 point)
2. Montrez que \(\mathbb{R}_3[X] = F \oplus G\) par un argument de dimension. (1 point)
3. Décomposez \(X^3 + X^2\) selon cette somme directe. (0,5 point)

Exercice 5 : Problème : suites récurrentes linéaires d’ordre 2 (6 points)

On note \(\mathcal{E}\) l’ensemble des suites réelles \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) telles que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+2} = u_{n+1} + 2u_n\).

1. Montrez que \(\mathcal{E}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\). (0,5 point)
2. Soient \(a\) et \(b\) les suites de \(\mathcal{E}\) définies par \(a_0 = 1\), \(a_1 = 0\) et \(b_0 = 0\), \(b_1 = 1\). Montrez que \((a, b)\) est une base de \(\mathcal{E}\). Que vaut \(\dim \mathcal{E}\) ? (1,5 point)
3. Déterminez les réels \(q\) non nuls tels que la suite géométrique \((q^n)\) appartienne à \(\mathcal{E}\). (1 point)
4. Déduisez-en, par un argument de dimension, une deuxième base de \(\mathcal{E}\) et l’expression générale d’une suite de \(\mathcal{E}\). (1 point)
5. Déterminez la suite \(u \in \mathcal{E}\) telle que \(u_0 = 0\) et \(u_1 = 3\). (1 point)
6. Soit \(\mathcal{F}\) l’ensemble des suites bornées de \(\mathcal{E}\) et \(\mathcal{G} = \{u \in \mathcal{E} \,:\, u_0 = 0\}\). Montrez que \(\mathcal{E} = \mathcal{F} \oplus \mathcal{G}\). (1 point)

Réviser avant le contrôle : dimension finie et formule de Grassmann

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Dimension finie » en maths sup puis entraînez-vous avec les exercices corrigés dimension finie.

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