Éléments propres : cours de maths spé en PDF.

Soient \(F_1, \ldots, F_p\) des sous-espaces de \(E\). Leur somme est \(F_1 + \cdots + F_p = \{x_1 + \cdots + x_p \mid x_i \in F_i\}\). On dit que cette somme est directe si tout vecteur de la somme s’écrit de manière unique \(x_1 + \cdots + x_p\) avec \(x_i \in F_i\). On note alors \(F_1 \oplus \cdots \oplus F_p\), ou encore \(\bigoplus_{i=1}^{p} F_i\).

Les assertions suivantes sont équivalentes :

• la somme \(F_1 + \cdots + F_p\) est directe ;
• si \(x_1 + \cdots + x_p = 0\) avec \(x_i \in F_i\), alors tous les \(x_i\) sont nuls ;
• en dimension finie, \(\dim(F_1 + \cdots + F_p) = \dim F_1 + \cdots + \dim F_p\) ;
• la concaténation de bases des \(F_i\) est une famille libre.

Pour \(p \geq\, 3\), il ne suffit pas que les intersections deux à deux soient nulles. Par exemple, trois droites distinctes du plan \(\mathbb{R}^2\) se coupent deux à deux en \(\{0\}\). Cependant, leur somme n’est pas directe, car la somme des dimensions vaut \(3 > 2\).

Supposons \(E = F_1 \oplus \cdots \oplus F_p\). Tout \(x \in E\) s’écrit de façon unique \(x = x_1 + \cdots + x_p\) avec \(x_i \in F_i\). L’application \(p_i : x \mapsto x_i\) est le projecteur sur \(F_i\) parallèlement à \(\bigoplus_{j \neq i} F_j\).

Les \(p_i\) sont linéaires et vérifient \(p_1 + \cdots + p_p = \mathrm{id}_E\), \(p_i \circ p_i = p_i\) et \(p_i \circ p_j = 0\) pour \(i \neq j\). De plus, \(\operatorname{Im} p_i = F_i\) et \(\ker p_i = \bigoplus_{j \neq i} F_j\).

Dans \(\mathbb{R}^3\), les droites dirigées par \(e_1\), \(e_1 + e_2\) et \(e_1 + e_2 + e_3\) sont en somme directe et engendrent \(\mathbb{R}^3\). En effet, ces trois vecteurs forment une base. Ainsi, \((x, y, z) = (x – y)e_1 + (y – z)(e_1 + e_2) + z(e_1 + e_2 + e_3)\), donc \(p_1(x, y, z) = (x – y, 0, 0)\).

Si les découpages sont compatibles, le produit se calcule comme pour des matrices \(2 \times 2\), en respectant l’ordre des facteurs :

\[\begin{pmatrix} A B \\ C D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A^{\prime} B^{\prime} \\ C^{\prime} D^{\prime} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} AA^{\prime} + BC^{\prime} AB^{\prime} + BD^{\prime} \\ CA^{\prime} + DC^{\prime} CB^{\prime} + DD^{\prime} \end{pmatrix}.\]

La somme, le produit par un scalaire et la transposition se font aussi bloc par bloc (la transposée échange de plus les blocs \(B\) et \(C\)).

Les blocs ne commutent pas en général. Ainsi, on écrit \(BC^{\prime}\) et non \(C^{\prime}B\). Par ailleurs, les tailles doivent correspondre : le nombre de colonnes de \(A\) égale le nombre de lignes de \(A^{\prime}\).

Soit \(N = \begin{pmatrix} 0 B \\ 0 0 \end{pmatrix}\) avec des blocs carrés de même taille. Alors \(N^2 = \begin{pmatrix} 0 0 \\ 0 0 \end{pmatrix}\), donc \(N\) est nilpotente. Par conséquent, \((I + N)^k = I + kN\) pour tout entier \(k\), d’après la formule du binôme (\(I\) et \(N\) commutent).

Si \(A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{K})\), \(C \in \mathcal{M}_q(\mathbb{K})\) et \(B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})\), alors

\[\det \begin{pmatrix} A B \\ 0 C \end{pmatrix} = \det A \times \det C.\]

Plus généralement, le déterminant d’une matrice triangulaire par blocs, à blocs diagonaux carrés \(A_1, \ldots, A_r\), vaut \(\det A_1 \times \cdots \times \det A_r\).

D’abord, un calcul par blocs donne la factorisation

\[\begin{pmatrix} A B \\ 0 C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_p 0 \\ 0 C \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A B \\ 0 I_q \end{pmatrix}.\]

Ensuite, on développe \(\begin{pmatrix} I_p 0 \\ 0 C \end{pmatrix}\) selon sa première colonne, \(p\) fois de suite : son déterminant vaut \(\det C\). De même, on développe \(\begin{pmatrix} A B \\ 0 I_q \end{pmatrix}\) selon sa dernière ligne, \(q\) fois de suite : on obtient \(\det A\). Enfin, le déterminant est multiplicatif, ce qui conclut. Le cas général s’en déduit par récurrence sur le nombre de blocs.

Pour une matrice pleine \(\begin{pmatrix} A B \\ C D \end{pmatrix}\), la formule \(\det A \det D – \det B \det C\) est fausse en général. Seule la forme triangulaire par blocs autorise un calcul direct.

Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\). Un sous-espace \(F\) est stable par \(u\) si \(u(F) \subset F\). L’application \(u_F : F \to F\), \(x \mapsto u(x)\), est alors un endomorphisme de \(F\), appelé endomorphisme induit par \(u\) sur \(F\).

Soit \(F\) un sous-espace de dimension \(p\) et \(\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)\) une base de \(E\) dont les \(p\) premiers vecteurs forment une base \(\mathcal{B}_F\) de \(F\). Alors \(F\) est stable par \(u\) si et seulement si

\[\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} A B \\ 0 C \end{pmatrix}, \quad A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{K}).\]

Dans ce cas, \(A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_F}(u_F)\). De même, si \(E = F_1 \oplus \cdots \oplus F_r\) avec chaque \(F_i\) stable, la matrice dans une base adaptée est diagonale par blocs, et le \(i\)-ème bloc représente l’endomorphisme induit sur \(F_i\).

La \(j\)-ème colonne contient les coordonnées de \(u(e_j)\). Pour \(j \leq\, p\), le bloc sous \(A\) est nul si et seulement si \(u(e_j) \in \mathrm{Vect}(e_1, \ldots, e_p) = F\). Or \(F\) est stable si et seulement si \(u(e_j) \in F\) pour tout \(j \leq\, p\). Le cas d’une somme directe s’obtient en appliquant ce raisonnement à chaque \(F_i\).

Pour exploiter un sous-espace stable \(F\), on complète une base de \(F\) en une base de \(E\). Ensuite, on écrit la matrice triangulaire par blocs obtenue. Enfin, on utilise le théorème du déterminant par blocs : le calcul de \(\det u\), ou du polynôme caractéristique, se ramène à deux calculs de taille plus petite.

Soient \(u, v \in \mathcal{L}(E)\) tels que \(u \circ v = v \circ u\). Alors \(\ker v\) et \(\operatorname{Im} v\) sont stables par \(u\). Plus généralement, \(\ker P(v)\) et \(\operatorname{Im} P(v)\) sont stables par \(u\) pour tout polynôme \(P\).

Soit \(x \in \ker v\). Alors \(v(u(x)) = u(v(x)) = u(0) = 0\), donc \(u(x) \in \ker v\). Ensuite, soit \(y = v(z) \in \operatorname{Im} v\). On a \(u(y) = u(v(z)) = v(u(z))\), qui appartient à \(\operatorname{Im} v\). Enfin, \(u\) commute avec \(P(v)\), ce qui donne le cas général.

Pour trouver des sous-espaces stables par \(u\), on cherche un endomorphisme \(v\) qui commute avec \(u\) et dont on connaît les noyaux. Par exemple, \(v = u – \lambda\,\mathrm{id}_E\) commute avec \(u\). Ainsi, chaque sous-espace propre d’un endomorphisme \(v\) qui commute avec \(u\) est stable par \(u\).

Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\), avec \(E\) de dimension quelconque. Un scalaire \(\lambda \in \mathbb{K}\) est une valeur propre de \(u\) s’il existe \(x \neq 0\) tel que \(u(x) = \lambda x\). Un tel \(x\) est un vecteur propre associé à \(\lambda\). Le sous-espace propre associé est \(E_\lambda(u) = \ker(u – \lambda\,\mathrm{id}_E)\). L’ensemble des valeurs propres est le spectre de \(u\), noté \(\mathrm{Sp}(u)\).

Un vecteur propre est non nul par définition. En revanche, \(E_\lambda(u)\) contient \(0\). Autrement dit, \(E_\lambda(u)\) est formé des vecteurs propres associés à \(\lambda\) et du vecteur nul. Par ailleurs, \(\lambda \in \mathrm{Sp}(u)\) si et seulement si \(u – \lambda\,\mathrm{id}_E\) n’est pas injectif. En dimension finie, cela équivaut à \(\det(u – \lambda\,\mathrm{id}_E) = 0\).

Soit \(D : f \mapsto f^{\prime}\) sur \(E = \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})\). Pour tout \(\lambda \in \mathbb{R}\), l’équation \(f^{\prime} = \lambda f\) a pour solutions les fonctions \(x \mapsto c\,e^{\lambda x}\). Donc tout réel est valeur propre de \(D\), et \(E_\lambda(D) = \mathrm{Vect}(x \mapsto e^{\lambda x})\). Ainsi, en dimension infinie, le spectre peut être infini.

Une droite \(D = \mathrm{Vect}(x)\) est stable par \(u\) si et seulement si \(x\) est un vecteur propre de \(u\). Plus généralement, tout sous-espace propre de \(u\) est stable par \(u\), et \(u\) y induit l’homothétie de rapport \(\lambda\).

Soient \(\lambda_1, \ldots, \lambda_p\) des valeurs propres deux à deux distinctes de \(u\). Alors la somme \(E_{\lambda_1}(u) + \cdots + E_{\lambda_p}(u)\) est directe. En particulier, toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre.

On raisonne par récurrence sur \(p\). Le cas \(p = 1\) est clair. Supposons le résultat vrai au rang \(p – 1\), et soit \(x_1 + \cdots + x_p = 0\) avec \(x_i \in E_{\lambda_i}(u)\). D’une part, on applique \(u\) : \(\lambda_1 x_1 + \cdots + \lambda_p x_p = 0\). D’autre part, on multiplie la relation initiale par \(\lambda_p\). Par différence, on obtient

\[(\lambda_1 – \lambda_p)x_1 + \cdots + (\lambda_{p-1} – \lambda_p)x_{p-1} = 0.\]

Chaque \((\lambda_i – \lambda_p)x_i\) appartient à \(E_{\lambda_i}(u)\). Donc, par hypothèse de récurrence, \((\lambda_i – \lambda_p)x_i = 0\) pour \(i \leq\, p – 1\). Or \(\lambda_i \neq \lambda_p\), donc \(x_i = 0\). Enfin, la relation initiale donne \(x_p = 0\).

En dimension \(n\), un endomorphisme a au plus \(n\) valeurs propres distinctes, et \(\sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)} \dim E_\lambda(u) \leq\, n\).

Pour montrer qu’une famille \((f_1, \ldots, f_p)\) est libre, on cherche un endomorphisme dont les \(f_k\) sont des vecteurs propres pour des valeurs propres distinctes. Par exemple, les fonctions \(x \mapsto e^{a_k x}\), avec des réels \(a_k\) distincts, sont vecteurs propres de la dérivation pour les valeurs propres \(a_k\). Elles forment donc une famille libre, sans aucun calcul de déterminant.

Une matrice réelle peut être vue dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\). On a alors \(\mathrm{Sp}_{\mathbb{R}}(A) = \mathrm{Sp}_{\mathbb{C}}(A) \cap \mathbb{R}\). Par exemple, la matrice de la rotation d’angle \(\pi/2\) a un spectre réel vide, mais son spectre complexe vaut \(\{i, -i\}\).

Le polynôme caractéristique de \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est \(\chi_A = \det(X I_n – A)\). C’est un polynôme unitaire de degré \(n\). Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique. On définit donc \(\chi_u\) comme le polynôme caractéristique de n’importe quelle matrice de \(u\).

Les valeurs propres de \(u\) sont exactement les racines de \(\chi_u\) dans \(\mathbb{K}\) : \(\lambda \in \mathrm{Sp}(u) \Leftrightarrow \chi_u(\lambda) = 0\).

Pour déterminer les éléments propres d’une matrice \(A\) :

1. on calcule \(\chi_A(X) = \det(XI_n – A)\) en faisant apparaître des zéros par opérations sur les lignes ou les colonnes, avant de développer ;
2. on factorise \(\chi_A\) pour lire le spectre et les multiplicités ;
3. pour chaque valeur propre \(\lambda\), on résout le système \((A – \lambda I_n)X = 0\) ;
4. on contrôle le résultat avec la trace, qui doit égaler la somme des valeurs propres comptées avec multiplicité.

Soit \(A = \begin{pmatrix} 0 1 1 \\ 1 0 1 \\ 1 1 0 \end{pmatrix}\). On ajoute à la première colonne de \(XI_3 – A\) les deux autres, puis on factorise par \(X – 2\). Ensuite, on retranche la première ligne aux deux autres. Il vient

\[\chi_A = (X – 2)\begin{vmatrix} 1 -1 -1 \\ 0 X + 1 0 \\ 0 0 X + 1 \end{vmatrix} = (X – 2)(X + 1)^2.\]

Ainsi, \(\mathrm{Sp}(A) = \{2, -1\}\). De plus, \(E_2(A) = \mathrm{Vect}\big((1, 1, 1)\big)\) et \(E_{-1}(A)\) est le plan d’équation \(x + y + z = 0\). La figure montre le graphe de \(\chi_A\) : la courbe est tangente à l’axe en la racine double \(-1\) et le traverse en la racine simple \(2\).

Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), on a

\[\chi_A = X^n – \operatorname{tr}(A)\,X^{n-1} + \cdots + (-1)^n \det A.\]

En particulier, pour \(n = 2\), \(\chi_A = X^2 – \operatorname{tr}(A)\,X + \det A\).

D’abord, le coefficient constant vaut \(\chi_A(0) = \det(-A) = (-1)^n \det A\). Ensuite, on développe \(\det(XI_n – A)\) par la formule des permutations. Un terme associé à une permutation \(\sigma \neq \mathrm{id}\) contient au plus \(n – 2\) coefficients diagonaux, donc il est de degré au plus \(n – 2\). Par conséquent, les termes en \(X^n\) et \(X^{n-1}\) proviennent du seul produit \(\prod_{i=1}^{n}(X – a_{ii})\), qui vaut \(X^n – (a_{11} + \cdots + a_{nn})X^{n-1} + \cdots\).

Si \(\chi_A\) est scindé, de racines \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) comptées avec multiplicité, alors \(\operatorname{tr}(A) = \lambda_1 + \cdots + \lambda_n\) et \(\det A = \lambda_1 \cdots \lambda_n\). C’est toujours le cas sur \(\mathbb{C}\).

Si \(T\) est triangulaire de diagonale \((t_1, \ldots, t_n)\), alors \(\chi_T = \prod_{i=1}^{n}(X – t_i)\). Si \(M = \begin{pmatrix} A B \\ 0 C \end{pmatrix}\) avec \(A\) et \(C\) carrées, alors \(\chi_M = \chi_A\,\chi_C\).

Si \(F\) est un sous-espace stable par \(u\), alors \(\chi_{u_F}\) divise \(\chi_u\). En particulier, toute valeur propre de l’endomorphisme induit \(u_F\) est une valeur propre de \(u\).

La multiplicité d’une valeur propre \(\lambda\) de \(u\), notée \(m_\lambda\), est sa multiplicité comme racine de \(\chi_u\). On parle de valeur propre simple si \(m_\lambda = 1\), double si \(m_\lambda = 2\), et ainsi de suite.

Pour toute valeur propre \(\lambda\) de \(u\), on a \(1 \leq\, \dim E_\lambda(u) \leq\, m_\lambda\). En particulier, si \(\lambda\) est simple, alors \(E_\lambda(u)\) est une droite.

Posons \(d = \dim E_\lambda(u)\). Comme \(\lambda\) est valeur propre, \(d \geq\, 1\). Ensuite, \(E_\lambda(u)\) est stable par \(u\), et \(u\) y induit \(\lambda\,\mathrm{id}\). Dans une base adaptée, la matrice de \(u\) s’écrit donc

\[\begin{pmatrix} \lambda I_d B \\ 0 C \end{pmatrix}, \quad \text{donc} \quad \chi_u = (X – \lambda)^d \chi_C.\]

Par conséquent, \((X – \lambda)^d\) divise \(\chi_u\), c’est-à-dire \(d \leq\, m_\lambda\).

La matrice \(N = \begin{pmatrix} 1 1 \\ 0 1 \end{pmatrix}\) a pour polynôme caractéristique \((X – 1)^2\). Donc \(1\) est valeur propre double. Cependant, \(N – I_2 = \begin{pmatrix} 0 1 \\ 0 0 \end{pmatrix}\) est de rang \(1\), si bien que \(\dim E_1(N) = 1 < 2\). En revanche, pour \(I_2\), la valeur propre \(1\) est double et \(\dim E_1(I_2) = 2\). Ainsi, \(N\) et \(I_2\) ont le même polynôme caractéristique sans être semblables.

Le polynôme caractéristique ne détermine donc pas la classe de similitude. Pour comparer deux matrices de même \(\chi\), on compare les dimensions des sous-espaces propres, c’est-à-dire les rangs des \(A – \lambda I_n\). Le chapitre suivant exploitera l’égalité \(\dim E_\lambda = m_\lambda\) pour caractériser les endomorphismes diagonalisables.