Polynômes : cours de maths sup en PDF.

Un polynôme à coefficients dans \(\mathbb{K}\) est une suite \((a_k)_{k \in \mathbb{N}}\) d’éléments de \(\mathbb{K}\) nulle à partir d’un certain rang. On note \(X\) la suite \((0,1,0,0,\ldots)\) et l’on écrit \(P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k\). L’ensemble de ces polynômes est noté \(\mathbb{K}[X]\).

Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux un à un.

Soit \(P = \sum a_k X^k\) non nul. Son degré est \(\deg P = \max\{k \in \mathbb{N} \mid a_k \neq 0\}\). Le coefficient \(a_{\deg P}\) est le coefficient dominant de \(P\). On dit que \(P\) est unitaire si ce coefficient vaut \(1\). Par convention, \(\deg 0 = -\infty\).

Pour tous \(P, Q \in \mathbb{K}[X]\) :

• \(\deg(P+Q) \leq\, \max(\deg P, \deg Q)\), avec égalité si \(\deg P \neq \deg Q\) ;
• \(\deg(PQ) = \deg P + \deg Q\), et le coefficient dominant de \(PQ\) est le produit des coefficients dominants.

En conséquence, \(\mathbb{K}[X]\) est intègre : si \(PQ = 0\), alors \(P = 0\) ou \(Q = 0\). Enfin, les éléments inversibles de \(\mathbb{K}[X]\) sont les constantes non nulles.

Posons \(n = \deg P\) et \(m = \deg Q\), avec \(P, Q\) non nuls. Le coefficient \(c_{n+m}\) de \(PQ\) vaut \(a_n b_m\). En effet, dans la somme \(\sum_{i+j=n+m} a_i b_j\), tout autre terme contient \(a_i\) avec \(i > n\) ou \(b_j\) avec \(j > m\). Or \(a_n b_m \neq 0\) car \(\mathbb{K}\) est un corps. Pour \(k > n+m\), le même argument donne \(c_k = 0\). Ainsi \(\deg(PQ) = n + m\). Si maintenant \(PQ = 1\), alors \(\deg P + \deg Q = 0\), donc \(P\) et \(Q\) sont des constantes.

Pour \(P = X^2 + 1\) et \(Q = 2X – 3\), on obtient \(P \circ Q = (2X-3)^2 + 1 = 4X^2 – 12X + 10\). Le degré vaut bien \(2 \times 1 = 2\). En revanche, \(Q \circ P = 2X^2 – 1\) : la composition n’est donc pas commutative.

Pour \(n \in \mathbb{N}\), on note \(\mathbb{K}_n[X] = \{P \in \mathbb{K}[X] \mid \deg P \leq\, n\}\). C’est l’ensemble des polynômes \(a_0 + a_1 X + \cdots + a_n X^n\). Il contient le polynôme nul et il est stable par combinaison linéaire. En revanche, il n’est pas stable par produit dès que \(n \geq\, 1\) : \(X^n \times X^n\) est de degré \(2n\).

Soient \(A, B \in \mathbb{K}[X]\). On dit que \(B\) divise \(A\), et l’on note \(B \mid A\), s’il existe \(Q \in \mathbb{K}[X]\) tel que \(A = BQ\). Deux polynômes \(A\) et \(B\) sont associés s’il existe \(\lambda \in \mathbb{K}^*\) tel que \(A = \lambda B\).

On a \(A \mid B\) et \(B \mid A\) si et seulement si \(A\) et \(B\) sont associés. Par conséquent, tout polynôme non nul est associé à un unique polynôme unitaire.

Si \(B = AU\) et \(A = BV\), alors \(A = AUV\). Lorsque \(A = 0\), on a aussi \(B = 0\). Sinon, l’intégrité donne \(UV = 1\), donc \(U\) est une constante non nulle. La réciproque est immédiate.

Soient \(A, B \in \mathbb{K}[X]\) avec \(B \neq 0\). Il existe un unique couple \((Q, R) \in \mathbb{K}[X]^2\) tel que

\[A = BQ + R \quad \text{et} \quad \deg R < \deg B.\]

Le polynôme \(Q\) est le quotient et \(R\) le reste de la division euclidienne de \(A\) par \(B\).

Unicité : si \(BQ + R = BQ_1 + R_1\), alors \(B(Q – Q_1) = R_1 – R\). Le membre de droite est de degré strictement inférieur à \(\deg B\). Par conséquent, \(Q – Q_1 = 0\), puis \(R = R_1\).

Existence : on raisonne par récurrence forte sur \(n = \deg A\). Si \(n < \deg B\), le couple \((0, A)\) convient. Sinon, notons \(a\) et \(b\) les coefficients dominants de \(A\) et \(B\), et \(m = \deg B\). Le polynôme \(A_1 = A – \frac{a}{b} X^{n-m} B\) est de degré strictement inférieur à \(n\). L’hypothèse de récurrence fournit \(A_1 = BQ_1 + R_1\). Finalement, \(A = B(Q_1 + \frac{a}{b}X^{n-m}) + R_1\).

Divisons \(A = X^4 + 2X^3 – X + 3\) par \(B = X^2 + X + 1\). D’abord, \(A – X^2 B = X^3 – X^2 – X + 3\). Ensuite, on retranche \(XB\) et l’on obtient \(-2X^2 – 2X + 3\). Enfin, on ajoute \(2B\), ce qui laisse \(5\). Ainsi

\[X^4 + 2X^3 – X + 3 = (X^2 + X + 1)(X^2 + X – 2) + 5.\]

Pour trouver le reste de \(A\) par \(B\), avec \(\deg B = m\) :

• écrire \(A = BQ + R\) avec \(R = r_0 + r_1 X + \cdots + r_{m-1}X^{m-1}\) inconnu ;
• évaluer en chaque racine \(\alpha\) de \(B\) : on obtient \(A(\alpha) = R(\alpha)\), car \(B(\alpha) = 0\) ;
• si \(\alpha\) est racine double de \(B\), dériver l’égalité et évaluer encore en \(\alpha\).

Par exemple, le reste de \(X^n\) par \((X-1)(X-2)\) est \(R = aX + b\) avec \(a + b = 1\) et \(2a + b = 2^n\). Donc \(R = (2^n – 1)X + 2 – 2^n\).

Un élément \(\alpha \in \mathbb{K}\) est une racine de \(P\) si \(P(\alpha) = 0\).

Le scalaire \(\alpha\) est racine de \(P\) si et seulement si \((X – \alpha)\) divise \(P\).

La division euclidienne de \(P\) par \(X – \alpha\) s’écrit \(P = (X – \alpha)Q + R\), avec \(R\) constant. En évaluant en \(\alpha\), on trouve \(R = P(\alpha)\). Donc \(X – \alpha\) divise \(P\) si et seulement si \(P(\alpha) = 0\).

Un polynôme non nul de degré \(n\) possède au plus \(n\) racines distinctes. Par conséquent :

• un polynôme de \(\mathbb{K}_n[X]\) qui a au moins \(n+1\) racines distinctes est nul ;
• un polynôme qui a une infinité de racines est nul ;
• deux polynômes dont les fonctions polynomiales coïncident sur \(\mathbb{K}\) sont égaux.

Pour montrer que deux polynômes \(P\) et \(Q\) sont égaux :

• majorer le degré de \(D = P – Q\), par exemple \(\deg D \leq\, n\) ;
• exhiber \(n+1\) racines distinctes de \(D\), ou une infinité de racines ;
• conclure que \(D = 0\).

Par exemple, si \(P(x+1) = P(x)\) pour tout réel \(x\), alors \(P – P(0)\) s’annule en tout entier naturel. Il a une infinité de racines, donc \(P\) est constant.

Avec les notations précédentes, le quotient de la division de \(P\) par \(X – \alpha\) est \(Q = b_n X^{n-1} + b_{n-1}X^{n-2} + \cdots + b_1\), et le reste est \(b_0 = P(\alpha)\).

Soient \(P \neq 0\), \(\alpha \in \mathbb{K}\) et \(m \in \mathbb{N}\). On dit que \(\alpha\) est racine de multiplicité \(m\) de \(P\) si \((X-\alpha)^m\) divise \(P\) mais pas \((X-\alpha)^{m+1}\). Autrement dit, \(P = (X-\alpha)^m Q\) avec \(Q(\alpha) \neq 0\). Une racine de multiplicité \(1\) est dite simple, de multiplicité \(2\) double, et ainsi de suite.

La dérivée de \(P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k\) est \(P^{\prime} = \sum_{k=1}^{n} k a_k X^{k-1}\). On définit par récurrence \(P^{(0)} = P\) et \(P^{(j+1)} = (P^{(j)})^{\prime}\).

La dérivation est linéaire. Si \(\deg P = n \geq\, 1\), alors \(\deg P^{\prime} = n – 1\) ; si \(P\) est constant, \(P^{\prime} = 0\). De plus, \((PQ)^{\prime} = P^{\prime}Q + PQ^{\prime}\) et \((P \circ Q)^{\prime} = Q^{\prime} \times (P^{\prime} \circ Q)\). Enfin, on a la formule de Leibniz :

\[(PQ)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom\,{n}{k} P^{(k)} Q^{(n-k)}.\]

Calculons \((X^2 (1+X)^n)^{(n)}\) en \(0\). Seuls les termes où \(X^2\) est dérivé au plus deux fois comptent. Or, en \(0\), les dérivées d’ordre \(0\) et \(1\) de \(X^2\) s’annulent. Il reste le terme \(k=2\) : \(\binom\,{n}{2} \times 2 \times ((1+X)^n)^{(n-2)}(0) = \binom\,{n}{2} \times 2 \times \frac{n!}{2} = \binom\,{n}{2} n!\).

(Formule de Taylor polynomiale) Pour tout \(P\) de degré au plus \(n\) et tout \(a \in \mathbb{K}\),

\[P = \sum_{k=0}^{n} \frac{P^{(k)}(a)}{k!} (X – a)^k.\]

Par linéarité des deux membres, il suffit de traiter \(P = (X-a)^j\) avec \(j \leq\, n\). En effet, ces polynômes engendrent \(\mathbb{K}_n[X]\), puisque \(X^j = ((X-a) + a)^j\) se développe par la formule du binôme. Or \(P^{(k)}(a)\) vaut \(j!\) si \(k = j\) et \(0\) sinon. Le membre de droite vaut donc \((X-a)^j\).

Soit \(P \neq 0\), \(\alpha \in \mathbb{K}\) et \(m \in \mathbb{N}^*\). Le scalaire \(\alpha\) est racine de multiplicité \(m\) de \(P\) si et seulement si

\[P(\alpha) = P^{\prime}(\alpha) = \cdots = P^{(m-1)}(\alpha) = 0 \quad \text{et} \quad P^{(m)}(\alpha) \neq 0.\]

D’après la formule de Taylor en \(\alpha\), on a \(P = \sum_{k=0}^{n} c_k (X – \alpha)^k\) avec \(c_k = \frac{P^{(k)}(\alpha)}{k!}\). Supposons les \(m\) premières dérivées nulles en \(\alpha\) et \(c_m \neq 0\). Alors \(P = (X-\alpha)^m Q\) avec \(Q = \sum_{k \geq\, m} c_k (X-\alpha)^{k-m}\) et \(Q(\alpha) = c_m \neq 0\). Réciproquement, si \(P = (X-\alpha)^m Q\) avec \(Q(\alpha) \neq 0\), la formule de Leibniz montre que \(P^{(k)}(\alpha) = 0\) pour \(k < m\) et \(P^{(m)}(\alpha) = m!\,Q(\alpha) \neq 0\).

Pour déterminer la multiplicité d’une racine \(\alpha\) connue, on calcule \(P(\alpha)\), \(P^{\prime}(\alpha)\), \(P^{\prime\prime}(\alpha)\)… jusqu’à la première valeur non nulle. Son ordre de dérivation est la multiplicité. Pour imposer une racine double, on écrit donc le système \(P(\alpha) = 0\) et \(P^{\prime}(\alpha) = 0\).

Soit \(P = X^3 – 3X + 2\). On a \(P(1) = 0\), \(P^{\prime} = 3X^2 – 3\) donc \(P^{\prime}(1) = 0\), puis \(P^{\prime\prime}(1) = 6 \neq 0\). Ainsi \(1\) est racine double, et \(P = (X-1)^2(X+2)\).

Un polynôme non constant \(P\) est scindé sur \(\mathbb{K}\) s’il s’écrit \(P = a_n \prod_{i=1}^{n} (X – x_i)\), avec \(x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{K}\) non nécessairement distincts. Autrement dit, la somme des multiplicités de ses racines dans \(\mathbb{K}\) est égale à son degré.

Les fonctions symétriques élémentaires de \(x_1, \ldots, x_n\) sont, pour \(1 \leq\, k \leq\, n\),

\[\sigma_k = \sum_{1 \leq\, i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq\, n} x_{i_1} x_{i_2} \cdots x_{i_k}.\]

Ainsi \(\sigma_1 = \sum x_i\) et \(\sigma_n = \prod x_i\).

(Formules de Viète) Si \(P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k = a_n \prod_{i=1}^{n}(X – x_i)\) est scindé, alors pour \(1 \leq\, k \leq\, n\),

\[\sigma_k = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n}.\]

Développons \(\prod_{i=1}^{n} (X – x_i)\). Pour obtenir un terme en \(X^{n-k}\), on choisit \(-x_i\) dans exactement \(k\) facteurs, et \(X\) dans les autres. Le coefficient de \(X^{n-k}\) vaut donc \((-1)^k \sigma_k\). On identifie ensuite avec \(\frac{a_{n-k}}{a_n}\).

Soit \(\omega = e^{2i\pi/n}\) avec \(n \geq\, 2\). Comme \(X^n – 1 = \prod_{k=0}^{n-1}(X – \omega^k)\), le coefficient de \(X^{n-1}\) est nul. Par conséquent, \(\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = 0\). La figure ci-dessous le montre pour \(n = 6\) : les racines forment un hexagone régulier centré en \(0\).

Les formules de Viète supposent \(P\) scindé et chaque racine comptée avec sa multiplicité. Réciproquement, si \(x_1, \ldots, x_n\) ont pour fonctions symétriques \(\sigma_1, \ldots, \sigma_n\), ils sont exactement les racines de \(X^n – \sigma_1 X^{n-1} + \sigma_2 X^{n-2} – \cdots + (-1)^n \sigma_n\). C’est ainsi qu’on résout certains systèmes symétriques.

Les polynômes de Lagrange associés aux points \(x_0, \ldots, x_n\) sont

\[L_i = \prod_{j \neq i} \frac{X – x_j}{x_i – x_j}, \qquad 0 \leq\, i \leq\, n.\]

Chaque \(L_i\) est de degré \(n\), et \(L_i(x_j)\) vaut \(1\) si \(j = i\) et \(0\) sinon.

Il existe un unique \(P \in \mathbb{K}_n[X]\) tel que \(P(x_i) = y_i\) pour tout \(i\), à savoir

\[P = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i.\]

De plus, les polynômes \(Q\) de \(\mathbb{K}[X]\) qui vérifient les mêmes conditions sont exactement les \(Q = P + A\prod_{i=0}^{n}(X – x_i)\), avec \(A \in \mathbb{K}[X]\).

Existence : \(P = \sum y_i L_i\) est de degré au plus \(n\), et \(P(x_j) = \sum_i y_i L_i(x_j) = y_j\). Unicité : si \(P_1\) convient aussi, alors \(P – P_1 \in \mathbb{K}_n[X]\) s’annule aux \(n+1\) points distincts \(x_j\). Il est donc nul. Enfin, \(Q\) convient si et seulement si \(Q – P\) s’annule en chaque \(x_j\). Cela équivaut à la divisibilité de \(Q – P\) par \(\prod (X – x_j)\), car les \(x_j\) sont distincts.

Pour construire le polynôme interpolateur, on peut :

• écrire les \(L_i\) et former \(\sum y_i L_i\), ce qui est utile en théorie ;
• ou, pour peu de points, poser \(P = a_0 + a_1 X + \cdots + a_n X^n\) et résoudre le système \(P(x_i) = y_i\) ;
• vérifier à la fin les valeurs \(P(x_i)\), ce qui détecte toute erreur de calcul.

Cherchons \(P \in \mathbb{R}_2[X]\) avec \(P(0) = 1\), \(P(1) = 2\) et \(P(3) = 10\). On a \(L_0 = \frac{(X-1)(X-3)}{3}\), \(L_1 = -\frac{X(X-3)}{2}\) et \(L_2 = \frac{X(X-1)}{6}\). Donc \(P = L_0 + 2L_1 + 10L_2\). Le coefficient de \(X^2\) vaut \(\frac{1}{3} – 1 + \frac{5}{3} = 1\), celui de \(X\) vaut \(-\frac{4}{3} + 3 – \frac{5}{3} = 0\), et la constante vaut \(1\). Finalement, \(P = X^2 + 1\).

En appliquant l’unicité aux valeurs \(y_i = x_i^k\), avec \(k \leq\, n\), on obtient \(\sum_{i=0}^{n} x_i^k L_i = X^k\). En particulier, \(\sum_{i=0}^{n} L_i = 1\). Ces identités reviennent souvent dans les exercices.